1、2013届甘肃省河西五市部分普通高中高三第二次（ 5月）联考理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 设复数 z=2+bi (b R)且 =2 ，则复数 的虚部为 ( ) A 2 B 2i C 2 D 2 答案： C 试题分析：利用复数的模的求法直接求出 b的值，即可得到复数的虚部解：复数z=2+bi（ b R）且 |z|=2 ，所以 = ,因此复数 的虚部为 2，选 C. 考点：复数的基本运算 点评：本题是基础题，考查复数的基本运算，复数的基本概念，常考题型 ,则下列关于 的零点个数判断正确的是（ ） A当 k=0时，有无数个零点 B当 k 0时，有 3个零点 C当 k 0时，有 3个零点 D无
2、论 k取何值，都有 4个零点 答案： A 试题分析：因为函数 f（ x）为分段函数，函数 y=f（ f（ x） -2为复合函数，故需要分类讨论，确定函数 y=f（ f（ x） +1的式，从而可得函数 y=f（ f（ x） -2的零点个数；解：分四种情况讨论（ 1） 0 x 1时， lnx 0， y=f（ f（ x） +1=-ln（ -lnx）+1，此时的零点为 x= 1；（ 2） x 1时， lnx 0， y=f（ f（ x） +1=klnx+1，则 k 0时，有一个零点， k 0时， klnx+1 0没有零点；（ 3）若 x 0， kx+20时，y=f（ f（ x） +1=k2x+k+1，则
3、 k 0时， kx-2， k2x-k，可得 k2x+k0， y有一个零点，若 k 0时，则 k2x+k0， y没有零点，（ 4）若 x 0， kx+2 0时， y=f（ f（ x） +1=ln（ kx+1） +1，则 k 0时，即 y=0可得 kx+2= ， y有一个零点， k 0时 kx 0， y没有零点，综上可知，当 k 0时，有 4个零点；当 k 0时，有 1个零点，故选 A； k=0， y=f（ f（ x） -2，有无数个零点，故选 A. 考点：复合函数的零点 点评：本题考查分段函数，考查复合函数的零点，解题的关键是分类讨论确定函数y=f（ f（ x） +1的式，考查学生的分析能力，是
4、一道中档题； 若 P点是以 A（ -3， 0）、 B（ 3， 0）为焦点，实轴长为 的双曲线与圆 的一个交点，则 = （ ） A B C D 答案： C 试题分析：根据题意，由于 P点是以 A（ -3， 0）、 B（ 3， 0）为焦点，实轴长为的双曲线那么可知 a= ,那么根据双曲线与圆 的一个交点，根据双曲线的定义可知， ,那么根据圆的半径为 3，可知，结合完全平方差公式得到， = ，选 C. 考点：双曲线的性质 点评：主要是考查了双曲线的方程与性质，以及圆的方程的综合运用，属于基础题 f（ x） = sin(x+)+cos (x+) ( 0， 的最小正周期为 ，且 f（ -x） =f（ x
5、），则下列关于 g（ x） = sin（ x+）的图象说法正确的是（ ） A函数在 x 上单调递增 B关于直线 x= 对称 C在 x 0,上，函数值域为 0， 1 D关于点 对称 答案： B 试题分析：根据题意，由于 f（ x） = sin(x+)+cos (x+) =2sin(x+) ( 0， 的最小正周期为 ,可知 w=2，同时且 f（ -x） =f（ x），说明是偶函数，则可知+= ，故可知 ，因此可知 g（ x） = sin（ x+） =sin(2x+ ),那么可知函数在 x 上单调递增，成立，对于在 x 0, 上，函数值域为 0，1，根据整体的性质可知，满足题意，对于关于点 对称，即
6、将 x=代入，函数值为零成立，故排除法选 B。 考点：三角函数的性质 点评：本题考查命题的 真假判断，解题时要认真审题，注意三角函数的性质的合理运用 （ 2x+ (2x- 5的展开式中各项系数之和为 3，则该展开式中常数项为（ ） A 40 B 160 C 0 D 320 答案： C 试题分析：根据题意，由于（ 2x+ (2x- 5的展开式中各项系数之和为 3，那么令x=1，可知（ 2+a） =3,a=1，那么原式为（ 2x+ (2x- 5，那么根据其展开式的通项公式可知当 时对应的表达式与 2x，分别组合可知得到常数项为 0，故选 C 考点：二项展开式的各项系数和 点评：本题考查求二项展开式
7、的各项系数和问题常用赋值法、考查二项式系数和公式、考查利用二项展开 式的通项公式解决二项展开式的特定项问题 如果实数 x、 y满足 那么 z=2x+y的范围为 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：根据题意，由于实数 x、 y满足 ，那么结合二元一次不等式组表示的平面区域，围成了三角形区域那么当过 y=1,和 x+y+1=0的交点（ -2， 1）时，目标函数最小，当过点， y=1， x-2y-2=0的交点（ 4， 1）时目标函数取得最大值，故可知取值范围是 ，选 B. 考点：线性规划的最优解 点评：主要是考查了线性规划的区域的求解，以及最优解的运用，属于基础题。 已知一个几何体的三视图
8、如右图，则该几何体的体积为 ( ) A B C D 答案： D 试题分析：根据题意，由于三视图的俯视图和正视图可知，该几何体是长方体中放了一个半球体，那么可知，底面是正方形，边长为 2，高为 1的长方体，球的半径为 1，那么可知其体积为长方体的体积减去半球的体积，即为 ，选 D. 考点：三视图求体积 点评：本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知的三视图判断出几何体的形状是解答本题的关键 设等差数列 的前 n项和为 Sn，若 a1=-15, a3+a5= -18,则当 Sn取最小值时 n等于（ ） A 9 B 8 C 7 D 6 答案： B 试题分析：根据等差数列的性质化简 a3+a5=
9、-18，得到 a4的值，然后根据 a1的值，利用等差数 列的通项公式即可求出公差 d的值，根据 a1和 d的值写出等差数列的通项公式，进而写出等差数列的前 n项和公式 Sn，配方后即可得到 Sn取最小值时 n的值解：由等差数列的性质可得 a3+a5=2a4=-18，解得 a4=-9 又 a1=-15，设公差为 d，所以，a4=a1+3d=-15+3d=-9，解得 d=2 则 an=-15+2（ n-1） =2n-17，那么可知所以 a80,当 n=8时， Sn取最小值故选 B. 考点：等差数列的通项公式及前 n项和公式 点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前 n项和 公式化简求值，掌
10、握等差数列的性质，是一道中档题 若 ，则 ( ) A - B - C D 答案： D 试题分析：根据题意，由于 ，而，故选 D. 考点：二倍角的公式 点评：主要是考查了二倍角余弦公式的运用，属于基础题。 阅读如图的程序框图，若运行相应的程序，则输出的 S的值是（ ） A 102 B 39 C 81 D 21 答案： A 试题分析：解：由程序框图可知，当 n=1， S=0时， S1=0+1 31=3， n=2；同理可求S2=3+=21 ， n=3,S3=21+ =102； n=4；此时不符合题意，故输出 S的值为 102，选 A。 考点：框图 点评：本题考查数列的求和，看懂框图循环结构的含义是关
11、键，考查学生推理、运算的能力，属于基础题 下列命题是真命题的是 ( ) A是 的充要条件 B ， 是 的充分条件 C ， D ， 0 答案： B 试题分析：对于选项 A,：若 c=0，由 a b得到 ac2=bc2， 命题 M不是命题 N成立的充要条件，故不正确；对于 B，由于 ， 是 的充分条件，成立，对于 C，由于 x=2, = ，因此错误，对于 D,由于 0恒成立，故 可知 D错误，故选 B. 考点：命题的真假 点评：主要是考查了全称量词和特称量词，以及充分条件的判定，属于基础题。 已知集合 A=yy=3 ,B=xx2 1,，则 ACRB = （ ） A -1,1 B (0,1) C 0
12、,1 D 答案： D 试题分析：根据题意，由于集合 A=yy=3 = y|y0 ,B=xx2 1=x|x1,或x-1,故可知 CRB=x|1x-1，那么可知 ACRB = ，选 D 考点：集合的补集 点评：本题考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，求出 CRB=x|1x-1，是解题的关键 填空题 给出下列命题： 抛物线 x= 的准线方程是 x=1； 若 x R，则 的最小值是 2； ； 若 N（ 3， ）且 P（ 03） =0.4，则 P(6)=0.1 。 其中正确的是（填序号） 答案： 试题分析：根据题意，对于 抛物线 x= 的准线方程是 x=1；成立。对于 若 x R
13、，则 的最小值是 2；由于等号取不到， 故没有最小值，错误。对于 ，结果为零，错误。对于 若 N（ 3， ）且 P（ 03） =0.4，则P(6)=0.1 成立，故答案：为 考点：抛物线以及统计知识 点评：主要是考查了圆锥曲线的性质以及函数的最值，和统计的运用，属于中档题。 如图，在 ABC中， AB=AC=2， BC= ，点 D在 BC边上， ADC= ，则 AD的长为 答案： 试题分析：由 A向 BC作垂线，垂足为 E，根据三角形为等腰三角形求得 BE，进而再RtABE中，利用 BE和 AB的长求得 B，则 AE可求得，然后在 RtADE中利用 AE和 ADC求得 AD解：由 A向 BC作
14、垂线，垂足为 E， AB=AC， BE= AB=2， cosB= AE=BE tan30=1, ADC=75,AD= ，故可知答案：为 考点：解三角形 点评：本题主要考查了解三角形问题考查了学生分析问题和解决问题的能力 6人站一排照相，其中有甲乙两人，则甲乙两人之间间隔两人的排法有 答案： 试题分析：根据题意，先确定出甲乙之间的两个人，即从剩余的 4人中选出来排列共有 ,r然后将甲乙排列一下有 ，然后将其作为给整体与剩余的两个人排列共有，根据分步计数原理可知为 =144，故答案：为 144. 考点：排列组合及简单计数 点评：本题考查排列组合及简单计数问题，在题目中要求元素不相邻，这种问题一般采
15、用插空法，先排一种元素，再在前面元素形成的空间，排列不相邻的元素 已知平面向量 ， 满足： ，则 的夹角为 答案： 试题分析：根据题意，由于平面向量 ， 满足：故答案：为 考点：向量的数量积 点评：本题考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的条件 解答题 设直线 的参数方程为 (t为参数），若以直角坐标系 的点为 极点，轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线 的极坐标方程为 = （ 1）将曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线； （ 2）若直线 与 曲线 交于 A、 B两点，求 . 答案： (1) 曲线 C表示顶点在原点，焦点在 x上的抛物线 (2)10 试题分析
16、：解：（ 1）由 = 得 曲线 C表示顶点在原点，焦点在 x上的抛物线 （ 5分） （ 2） 化为 代入 得 （ 10分）（或将直线方程化为直角坐标方程用弦长公式求解均可） 考点：直线参数方程，极坐标方程 点评：主要是考查了极坐标与直角坐标的互化，以及直线参数方程的运用，属于基础题。 在 中， AB=AC，过点 A的直线与其外接圆交于点 P，交 BC延长线于点 D。 （ 1）求证： ； （ 2）若 AC=3，求 的值。 答案：（ 1）主要是利用圆的内接四边形的性质，结合相似来证明。 （ 2）根据 PAB BAD 的相似来得到长度的 求解。 试题分析：（ 1） 证明：连结 BP， 四边形 ABC
17、P内接于圆， PCD= BAD 又 PDC= BDA PCD BAD 又 AB=AC （ 5分） （ 2）连结 BP。 AB=AC， ABC= ACB 又 四边形 ABCP内接于圆 ACB= APB 从而 ABC= APB 又 BAP= BAD PAB BAD 又 AB=AC=3 = （ 10分） 考点：平面几何中圆的性质运用 点评：主要是考查了相似三角形以及圆内的几何性质的运用，属于基础题。 已知函数 （ )若曲线 在 和 处的切线互相平行，求 的值及函数 的单调区间； （ ）设 ，若对任意 ，均存在 ，使得 ，求实数 的取值范围 答案：（ 1）其单调递增区间为单调递减区间为 （ 2） 试题
18、分析：（ ） ，由得 ， （ 2分） 得其单调递增区间为单调递减区间为 . （ 5分） （ ）若要命题成立，只须当 时， ，由 可知 当 时 ,所以只须 （ 7分） 对 来说， ， 当 时， 当 时，显然小于 0，满足题意，当 时，可令 求导可知该函数在 时单调递减， ，满足题意，所以 满足题意， 当 时， 在 上单调递增， 得 综上所述，满足题意的 （ 12分） 考点：导数的运用 点评：主要是考查了导数在研究函数性质中的运用，属于基础题。 如图，已知圆 C与 y轴相切于点 T(0， 2)，与 x轴正半轴相交于两点 M， N (点 M在点 N的右侧），且 。椭圆 D：的焦距等于 ，且过点 (
19、I ) 求圆 C和椭圆 D的方程； ( ) 若过点 M的动直线 与椭圆 D交于 A、 B两点，若点 N在以弦 AB为直径的圆的外部，求直线 斜率的范围。 答案：（ 1） ， （ 2） 试题分析：）解：（ 1）设圆半径为 r, 由条件知圆心 C（ r,2） 圆在 x轴截得弦长 MN=3 r= 圆 C的方程为： （ 3分） 上面方程中令 y=0,得 解得 x=1或 x=4, 点 M在点 N的右侧 M（ 4,0） ,N(1,0) 椭圆焦距 2c=2 =2 c=1 椭圆方程可化为： 又椭圆过点（ 代入椭圆方程得： 解得 或 （舍） 椭圆方程为： （ 6分） （ 2）设直线 l的方程为： y=k(x-4
20、) 代入椭圆方程化简得： （ =32 0 设 A（ x1,y1） ,B(x2,y2) 则 x1+x2= x1x2= (7分 ) 点 N在以弦 AB为直径的圆的外部， 0 （ 0 即： 0 -（ + 0 化简得： k 考点：圆与椭圆 点评：主要是考查了圆的方程，以及椭圆性质的运用，并联立方程组设而不求的数学思想的运用，属于中档题。 高三年级有 3名男生和 1名女生为了报某所大学，事先进行了多方详细咨询，并根据自己的高考成绩情况，最终估计这 3名男生报此所大学的概率都是 ，这 1名女生报此所大学的概率是 且这 4人 报此所大学互不影响。 （ ）求上述 4名学生中报这所大学的人数中男生和女生人数相等
21、的概率； （ ）在报考某所大学的上述 4名学生中，记为报这所大学的男生和女生人数的和，试求的分布列和数学期望 答案：（ 1） （ 2） 的公布列为： 0 1 2 3 4 P E（ ） =0 +1 +2 +3 +4 = 试题分析：解：（ 1）记 “报这所大学的人数中男生和女生人数相等的 ”事件为 A，男生人数记为 Bi(i=0、 1、 2、 3)，女生人数记为 Ci(i=0、 1) P(A)=P(B0C0)+P(B1C1)= = (5分 ) （ 2） =0， 1， 2， 3， 4 P（ =0） = P（ =1） = = P（ =2） = P（ =3） = P（ =4） = （ 9分） 的公布列为
22、： 0 1 2 3 4 P E（ ） =0 +1 +2 +3 +4 = （ 12分） 考点：独立重复试验，以及分布列 点评：主要是考查了独立重复试验的概率公式的运用，以及分布列的求解和性质的运用，属于基础题。 在三棱柱 ABC-A1B1C1中， AB BC CA AA1 2，侧棱 AA1 面 ABC， D、 E分别是棱 A1B1、 AA1的中点，点 F在棱 AB上，且 （ ）求证： EF 平面 BDC1； （ ）求二面角 E-BC1-D的余弦值 答案：（ 1）要证明线面平行，则先证明 EF A1O，然后利用下面平行的判定定理来得到。 （ 2） 试题分析：（ 1）证法一：设 O为 AB的中点，连
23、结 A1O， AF= AB ， O为 AB的中点 F为 AO的中点，又 E为 AA1的中点 EF A1O 又 D为 A1B1的中点， O为 AB的中点 A1D=OB 又 A1D OB 四边形 A1DBO为平行四边形 A1O BD 又 EF A1O EF BD 又 EF 平面 DBC1， BD 平面 DBC1 EF 平面 DBC1 （ 6分） 证法二：建立如图所示的坐标系。（坐标系建立仅为参考） AB=BC=CA=AA1=2， D、 E分别为 A1B1、 AA1的中点， AF= AB E（ -1， 0， 1）， F ， B（ 1， 0， 0）， D（ 0， 0， 2）， C1（ 0， ） 设平面
24、平面 DBC1的法向量为 , , 令 z=1,则 y=0,x=2 又 EF 平面 BDC1 EF 平面 BDC1 （ 6分） （ 2）设面 EBC1的法向量为 ， 令 x=1,则 z=2， y=- cos = 由图知二面角 E-BC1-D为锐二面角，所以二面角的余弦值为 （ 12分） 考点：线面平行，和二面角的平面角 点评：主要是考查了熟练的根据几何性质来证明平行性质，以及运用空间向量法求解角，属于中档题。 各项均为正数的等比数列 an中，已知 a2=8, a4=128, bn=log2an . （ 1）求数列 an的通项公式； （ 2）求数列 bn的前 n项和 Sn （ 3）求满足不等式 的
25、正整数 n的最大值 答案：（ 1） （ 2） 2013 试题分析：解：（ 1） 等比数列 an的各项为正， a2=8, a4=128 设公比为 q q=4 a1=2 an=a1qn-1=2 = (4分 ) （ 2） = （ 8分） （ 3） （ 1- = = n2013 n的最大值为 2013 （ 12分） 考点：等比数列 点评：主要是考查了等比数列的通项公式法运用，以及数列的求解积的运算，属于基础题。 设函数 （ 1）求 f(x)6 的解集 （ 2）若 f(x)m 对任意 x R恒成立，求 m的范围。 答案：（ 1）不等式的解集为 -2， 10 （ 2） m-3 试题分析：解：（ 1） 6 不等式等价于： 或 或 等价于 或 或 不等式的解集为 -2， 10 （ 5分） （ 2）由（ 1）知 容易求得函数最小值为 -3 f(x)m 对任意 x R恒成立 m-3 （ 10分） 考点：绝对值不等式 点评：主要是考查了绝对值不等式的求解，以及不等式恒成立的运用，属于基础题。
