1、2013届辽宁省沈阳市第二十中学高三高考领航考试（一）理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知全集为实数集 R，集合 ，则 A B C D 2 答案： D 试题分析：因为 ，所以，所以 。 考点：集合的运算；不等式的解法。 点评：直接考查集合的运算，属于基础题型。 已知 且函数 恰有 3个不同的零点，则实数 a的取值范围是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：因为当 x0的时候， f（ x） =f（ x-1），所以所有大于等于 0的 x代入得到的 f（ x）相当于在 -1， 0）重复的周期函数， x -1， 0）时， ，对称轴 x=-1，顶点（ -1， 1+a），（ 1）如果 a -
2、1，函数 y=f（ x） -x至多有 2个不同的零点；（ 2）如果 a=-1，则 y有一个零点在区间（ -1， 0），有一个零点在（ -， -1），一个零点是原点；（ 3）如果 a -1，则有一个零点在（ -， -1）， y右边有两个零点，故实数 a的取值范围是 -1， +），故选 C 考点：函数的零点与方程根的关系。 点评：本题重点考查函数的零点与方程根的关系，考查函数的周期性，有一定的难度 抛物线 的焦点为 F，点 A、 B在抛物线上，且 ，弦 AB的中点 M在准线 l上的射影为 ，则 的最大值为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：设 ，则 ，在 ABF中，由余弦定理得：， 所以
3、 ，所以 的最大值为 。 考点：抛物线的简单性质；抛物线的定义；余弦定理；基本不等式。 点评：本题以抛物线为载体，考查抛物线的焦半径的性质，解题的关键是正确运用抛物线的定义，合理转化，综合性强。 已知点 P是双曲线 右支上一点， 分别为双曲线的左、右焦点， I为 的内心，若 成立，则 的值为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：因为 I为 的内心，所以 I到 的 三边距离相等 又 成立，所以 PF1=PF2+ 2c又由双曲线的定义可得 PF1-PF2=2a，所以 。 考点：双曲线的简单性质；双曲线的定义。 点评：本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，得到 2c=2a，是
4、解题的关键 一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图是腰长为 1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为 （ ） A B C D 答案： C 试题分析：由三视图可知，原几何体为四棱锥，四棱锥的底面为边长是 1的正方形，高为 1，且一侧棱垂直底面，球心为最长侧棱的中点，所以外接球的半径为 ，所以外接球的表面积为 。 考点：三视图；球的表面积公式。 点评：做这类问题的关键是：根据三视图正确还原几何体的形状，并把外接球的球心位置找出。考查了学生的空间想象能力。属于常见题型。 已知平面向量 ，且满足 。若，则 （ ） A 有最大值 -2 B z有最小值 -2 C z有最大值 -
5、3 D z有最小值 -3 答案： A 试题分析：因为 ，所以 ，画出线性约束条件的可行 域，目标函数 ，由可行域可知 z有最大值 -2. 考点：平面向量的数量积；简单的线性规划问题。 点评：措辞提的关键是，能转化为线性规划的有关问题。考查了学生分析问题可转化问题的能力。求目标函数的最值，通常要把目标函数 转化为斜截式的形式，即 的形式，但要注意 的正负。当 为正时，求 z的最大值就是求直线 在 y轴上的截距最大时对应的点；当 为负时，求 z的最大值就是求直线 在 y轴上的截距最小时对应的点。 已知二项式 的展开式中第 4项为常数项，则项的系数为（ ） A -19 B 19 C 20 D -20
6、 答案： C 试题分析： ，因为二项式 的展开式中第 4项为常数项，所以 ，所以 项的系数为 。 考点：二项式定理。 点评：多个二项式运算结果中的指定项的系数求解问题，是常见题型。在求解过程中，我们要注意方法的灵活应用。 如果执行右面的程序框图，输入正整数 n=5， m=4，那么输出的 p等于（ ） A 5 B 10 C 20 D 120 答案： D 试题分析： ，因此选 D。 考点：程序框图。 点评：对于循环结构的程序框图，一般的时候，如果循环次数较少，我们可以一一写出，若循环次数较多，我们需要寻找规律。 如图在棱长为 5的正方体 中， 是棱 上的一条线段，且， 是 中点，点 是棱 上动点，
7、则四面体 的体积（ ） A是变量且有最大值 B是变量且有最小值 C是变量且有最大值和最小值 D是常量 答案： D 试题分析：连接 QA，则 QA到为 Q点到 AB的距离，又 EF=2，故 为定值，又 C1D1 AB，则由线面平行的判定定理易得 C1D1 面 QEF，又由 P是棱 C1D1上动点，故 P点到平面 QEF的距离也为定值，即四面体 PQEF的底面积和高均为定值，故四面体 PQEF的体积为定值。 考点：三棱锥的体积公式。 点评：本题考查的知识点是棱锥的体积，其中根据空间中点、线、面之间的位置关系及其性质，判断出四面体 PQEF的底面积和高均为定值，是解答本题的关键 将函数 的图像向左平
8、移 个单位长度，所得图像的式是 A B C D 答案： B 试题分析：因为 ，所以将此函数的图像向左平移个单位长度，所得图像的式是。 考点：三角函数图像的平移变换；公式 = 。 点评：函数图像左右平移的原则是：左加右减。但要注意 x前得系数不为 1，一定要先提取系数在进行加减。 如果过曲线 上点 处的切线平行于直线 ，那么点 的坐标为 A B C D ( 答案： A 试题分析：设 ，因为 ，所以 ，因为过曲线 上点 处的切线平行于直线 ，所以 ，代入曲线方程 得 ，所以点 P的坐标为 。 考点：导数的几何意义；直线平行的条件。 点评：我们要灵活应用导数的几何意义求曲线的切线方程，尤其要注意切点
9、这个特殊点，充分利用切点即在曲线方程上，又在切线方程上，切点处的导数等于切线的斜率这些条件列出方程组求解。属于基础题。 若复数 为虚数单位 为非纯虚数，则实数 不可能为 A 0 B 1 C D 2 答案： A 试题分析： ，因为 z为非纯虚数，所以 。 考点：复数的运算，复数的有关概念。 点评：复数 ，当 b=0时，为实数；当 b0时，为虚数；当a=0,b0时为纯虚数。 填空题 如图 ,在三棱锥 中 , 、 、 两两垂直 , 且.设 是底面 内一点 ,定义 ,其中 、 、分别是三棱锥 M-PAB、 三棱锥 M-PBC、三棱锥 M-PCA的体积 .若,且 恒成立 ,则正实数 的最小值为 _ _.
10、答案： 试题分析： PA、 PB、 PC两两垂直，且 PA=3 PB=2， PC=1 ，即 ， 解得 ，所以正实数 a的最小值为 1。 考点：不等式的综合应用；基本不等式；棱柱、棱锥、棱台的体积。 点评：本题主要考查了棱锥的体积，同时考查了基本不等式的运用，是题意新颖的一道题目，属于中档题 由 “若 ”类比 “若 为三个向量，则”； 设圆 与坐标轴的 4个交点分别为 A (x1， 0)、 B (x2， 0)、 C (0， y1)、 D (0， y2)，则 ； 在平面内 “三角形的两边之和大于第三边 ”类比在空间中 “四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积 ”； 在实数列 中，已知 a1
11、 = 0，则 的最大值为 2上述四个推理中，得出的结论正确的是 _（写出所有正确结论的序号） 答案： 试题分析： 由 “若 ”类比 “若 为三个向量，则”，此结论错误， 表示与 共线的向量， 表示与 共线的向量，不一定相等； 设圆 与坐标轴的 4个交点分别为 A (x1， 0)、 B (x2， 0)、 C (0， y1)、 D (0， y2)，则 ，正确。因为 ,同理， ，所以 ； 在平面内 “三角形的两边之和大于第三边 ”类比在空间中 “四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积 ”，正确； 在实数列 中，已知 a1 = 0，则 的最大值为 2，正确。记 ， 则所有的情况为共六种，易得的
12、最大值为 2。 考点：类比推理；平面向量数量积的性质；圆的一般式方程；数列的应用。 点评：本题考查类比推理归纳推理，本题解题的关键是正确理解类比和归纳的含义，注意本题所包含的四个命题都要正确解出才能做对本题 在 中，角 A， B， C所对的边分别是 a， b， c，若 ，且，则 的面积等于 . 答案： 试题分析：因为 ，即 ， 所以由余弦定理得 ，所以 ，又 ， 即 。所以 。 考点：余弦定理；平面向量的数量积；三角形的面积公式。 点评：我们要注意余弦定理的形式，一般情况下，有平方关系多想余弦定理。属于基础题型。 古代 “五行 ”学说认为： “物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，
13、土克水，水克火，火克金 .”将五种不同属性的物质任意排成一列，则排列中属性相克的两种物质不相邻的排列种数是 （用数字作答） 答案： 试题分析：由题意，可看作五个位置排列五种事物，第一位置有五种排列方法，不妨假设排上的是金，则第二步只能从土与水两者中选一种排放，故有两种选择不妨假设排上的是水，第三步只能排上木，第四步只能排上火，第五步只能排上土，故总的排 列方法种数有 52111=10。 考点：排列、组合及简单计数问题。 点评：本题考查排列排列组合及简单计数问题，解答本题关键是理解题设中的限制条件及 “五行 ”学说的背景，利用分步原理正确计数，本题较抽象，计数时要考虑周详。 解答题 （本小题满分
14、 12分）设数列 满足 且对一切 ，有 （ 1）求数列 的通项 ; （ 2）设 ，求 的取值范围 答案：（ 1） ；（ 2） 。 试题分析：（ 1）由 可得： 数列 为等差数列，且首项 ，公差为 3 分 4 分 （ 2）由（ 1）可知： 7分 10 分 易知： 在 时，单调递增， 11 分 12 分 考点：等差数列的性质；等差数列的通项公式；数列通项公式的求法；数列前n项和的求法。 点评：求数列的通项公式和数列的前 n项和是数列中常见题型。这儿求数列的前 n项和用的是裂项法。常见的裂项公式： ， ， ， 。 （本小题 12分） 某研究机构对高三学生的记忆力 x和判断力 y进行统计分析，得下表数
15、据 x 6 8 10 12 y 2 3 5 6 （ 1）请画出上表数据的散点图； （ 2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y关于 x的线性回归方程； （ 3）试根据（ II）求出的线性回归方程，预测记忆力为 9的同学的判断力。 （相关公式： ） 答案： (1) (2) . (3)约为 4. 试题分析：（ 1）如图： 3分 (2)解： =6 2+8 3+10 5+12 6=158， = ， = ， ， ， ， 故线性回归方程为 10分 (3)解：由回归直线方程预测，记忆力为 9的同学的判断力约为 4. 12分 考点：散点图；回归直线方程；回归分析。 点评：本题主要考查回归分析，我们可以利
16、用回归方程 预报在 x取某一值时 y的估计值。属于基础题型。在计算时一定要仔细认真，避免出现计算错误。 （本小题满分 12分）已知四棱锥 中 平面 ， 且 ，底面为直角梯形， 分别是 的中点 （ 1）求证： / 平面 ； （ 2）求截面 与底面 所成二面角的大小； （ 3）求点 到平面 的距离 答案：（ 1）只需证 /平面 ；（ 2） ；（ 3） 。 试题分析：以 为原点，以 分别为 建立空间直角坐标系， 由 ， 分别是 的中点， 可得： ， ， 2 分 设平面的 的法向量为 ， 则有： 令 ，则 ， 3 分 ，又 平面 /平面 4 分 （ 2）设平面的 的法向量为 ，又则有： 令 ，则 ，
17、6 分 又 为平面 的法向量， ，又截面 与底面 所成二面角为锐二面角， 截面 与底面 所成二面角的大小为 8 分 （ 3） ， 所求的距离 12 分 考点：线面垂直的性质定理；线面平行的判定定理；二面角；点到面的距离。 点评：综合法求二面角，往往需要作出平面角，这是几何中一大难点，而用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角，只需求出平面的法向量，经过简单运算即可，从而体现了空间向量的巨大作用二面角的向量求法： 若 AB、CD分别是二面 的两个半平面内与棱 垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量 与 的夹角； 设 分别是二面角 的两个面 ， 的法向量，则向量 的夹角 (或其补角 )的大小就是二
18、面角的平面角的大小。 （本小题满分 12分，（ ）小问 3分，（ ）小问 9分） 直线 称为椭圆 的 “特征直线 ”，若椭圆的离心率（ 1） 求椭圆的 “特征直线 ”方程； （ 2）过椭圆 C 上一点 作圆 的切线，切点为 P、 Q，直线 PQ与椭圆的 “特征直线 ”相交于点 E、 F， O为坐标原点，若 取值范围恰为 ，求椭圆 C的方程 答案：（ 1） ；（ 2） ； 试题分析：（ 1）设 ，则由 ，得 ，椭圆的 “特征直线 ”方程为： .3分 （ 2）直线 PQ的方程为 （过程略） .5分 设 联立 ，解得 ，同理 .7 分 ， 是椭圆上的点，从而 .10 分 或 考点：椭圆的简单性质；直线与椭圆的综合应用。 点评：本题考查椭圆的简单性质，两个向量的数量积公式，以及不等式的性质的应用，较为综合。直线与椭圆的综合应用，在考试中经常考到，这种类型的题目，计算较为繁琐，我们在计算时要有耐心、又要细心。
