1、2013届重庆市三峡联盟高三 3月联考理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 若集合 ，则 （ ） A B C D 答案： C 试题分析：根据题意，由于集合，那么可知= 考点：交集 点评：解决的关键是利用集合的交集定义，以及不等式的求解得到几何 A,B，属于基础题。 函数 为定义在 上的减函数，函数 的图像关于点（ 1,0） 对称， 满足不等式 ， ， 为坐标原点，则当 时， 的取值范围为 （ ） A B C D 答案： D 试题分析：判断函数的奇偶性，推出不等式，利用约束条件画出可行域，然后求解数量积的范围即可解：函数 y=f（ x-1）的图象关于点（ 1， 0）对称，所以 f（ x）为 奇函
2、数 f（ x2-2x） f（ -2y+y2） 0， x2-2x-2y+y2， x2-2xy2-2y, 1x4画出可行域如图， =x+2y 0， 12故选 D 考点：线性规划 点评：本题考查函数的奇偶性，线性规划的应用，向量的数量积的知识，是综合题，考查数形结合与计算能力 点 为双曲线 ： 和圆 ： 的一个交点，且 ，其 中为双曲线 的两个焦点，则双曲线 的离心率为 A B C D 答案： B 试题分析：根据题意，由于点 为双曲线 ： 和圆 ： 的一个交点，且有 ，其 中 为双曲线 的两个焦点，那么借助于斜率公式可知，该三角形是直角三角形，那么利用勾股定理可知得到双曲线 的离心率为 ，选 B.
3、考点：双曲线的几何性质 点评：解决的关键是根据已知的方程，结合角的二倍关系来得到边长的比例，进而得到 ab的比值，进而得到离心率。 设函数 的图像关于直线 对称 ,它的周期是 ,则（ ） A 的图象过点 B 在 上是减函数 C 的一个对称中心是 D将 的图象向右平移 个单位得到函数 的图象 答案： C 试题分析：根据题意，由于函数 的图像关于直线 对称 ,可知 它的周期是 ,可知 w=2，,那么可知 ，那么可知式，当 x=0代入可知函数值不是为 A错误 ,对于 B，由于将 代入式判定函数不具有单调性，故错误。对于 D，由于将 的图象向右平移 个单位得到函数 的图象 ,g故错误，因此选 C. 考
4、点：三角函数的性质 点评：解决的关键是对于对称性的理解以及图像变换的准确表示，属于基础题。 已知 ， 由如右程序框图输出的 （ ） A B C D 答案： C 试题分析：根据题意，由于 ，那么可知 不成立，可知将 S=M= ,故可知答案：为 。 考点：流程图 点评：要判断程序的运行结果，我们要先根据已知判断程序的功能，构造出相应的数学模型，转化为一个数学问题 若在区域 内任取一点 P，则点 P恰好在单位圆 内的概率为（ ） A B C D 答案： A 试题分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的 AB0及其内部单位圆x2+y2=1位于 AB0内的部分为一个圆心角为 的扇形，由此结合几何概
5、型计算公式和面积公式，即可算出所求的概率 解：作出不等式组 表示的平面区域，得到如图的 AB0及其内部，其中 A（ 1， 0）， B（ 0， 1）， 0为坐标原点 单位圆 x2+y2=1位于 AB0内的部分为一个扇形，其圆心角为 ，区域内任取一点 P，点 P恰好在单位圆 x2+y2=1内的概率为扇形的面积比上三角形 AOB的面积，那么可知为 ，故答案：为 A. 考点：不等式的解法以及运 用 点评：本题给出不等式组表示的平面区域内一点，求点 P恰好在单位圆 x2+y2=1内的概率着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和几何概型等知识，属于基础题 已知某三棱锥的三视图（单位 :Cm)如图所示，则
6、该三棱锥的体积是（ ） A 6cm3 B 2cm3 C 3 cm3 D 1cm3 答案： D 试题分析：解：由三视图知，几何体是一个三棱锥，底面是直角边长为 1cm和 2cm的直角三角形，面积是 12=1cm2，三棱锥的一条侧棱与底面垂直，且长度是 3cm，这是三棱锥的高， 三棱锥的体积是 13=1cm3，故选 D 考点：三视图还原几何体 点评：本题考查由三视图还原几何体，本题解题的关键是根据三视图看出几何体的形状和长度，注意三个视图之间的数据关系，本题是一个基础题 若两个非零向量 ， 满足 ，则向量 与 的夹角为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：根据题意，由于两个非零向量 ， 满
7、足 ，说明两个向量 ， 垂直，同时平方后可知， 向量 与 即为 ,故可知夹角为 ，选 B. 考点：向量的数量积运用 点评：解决的关键是利用向量的数量积性质来表示向量的夹角，属于基础题。 若 是纯虚数，则 的值为 ( ) A B C D 或 答案： A 试题分析：根据题意，由于 是纯虚数，,则 ，故选 A. 考点：三角函数方程 点评：解决的关键是结合复数的概念得到角的函数值，进而结合两角和差的公式 求解，属于基础题。 已知数列 an 满足 a1= ，且对任意的正整数 m,n，都有 am+n= am + an，则 等于（ ） A B C D 2 答案 ： B 试题分析：解： 数列 an满足 a1=
8、 ，且对任意的正整数 m， n，都有 am+n=am+an， an=an-1+a1=an-1+ ， 数列 an是首项为 a1= ，公差 d= 的等差数列， an= + (n-1)= n， = 故选 B 考点：数列的递推关系 点评：本题考查数列的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意递推公式的合理运用 填空题 关于 的不等式 的解集为空集，则实数 的取值范围为 _ 答案： 试题分析：解： |x-1|+|x|表示数轴上的 x对应点到 0和 1对应点的距离之和，其最小值等于 1，由题意可得， 1，解得 0 a 1，故答案：为 考点：绝对值的意义 点评：本题考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，得
9、到 a2+a+1 1，是解题的关键 如图 ABC的外角平分线 AD交外接圆于 D, ，则 答案： 试题分析：根据题意，由于 ABC的外角平分线 AD交外接圆于 D, ，则根据三角形 BD弧和 CD弧长相等来得到对应的圆周角相等，进而可知 4，故答案：为4. 考点：外角平分线的性质 点评：解决的关键是利用圆内的同弧所对的圆周角相等来得到求解。属于基础题。 曲线 与曲线 的交点间距离为 答案： 试题分析：由于曲线 与曲线 分别表示的为圆和直线，那么圆的圆心为（ 0， 2），半径为 2，直线 x= ,那么联立方程组可知，当 x= 时，交点之间的距离即为 2，故答案：为 2. 考点：曲线的交点 点评：
10、解决的关键是理解圆与直线的位置关系的运用，属于基础题。 给出以下命题： 双曲线 的渐近线方程为 ； 命题 “ ， ”是真命题； 已知线性回归方程为 ，当变量 增加 个单位，其预报值平均增加 个单位； 设随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 ； 已知 ， ， ， ，依照以上各式的规律，得到一般性的等式为 ，（ ） 则正确命题的序号为 （写出所有正确命题的序号） 答案： 试题分析：对于 双曲线 的渐近线方程为 ；满足双曲线的几何性质成立。 对于 命题 “ ， ”是真命题；错误，因为只有当 sinx0取到最小值 2，反之不成立。 对于 已知线性回归方程为 ，当变量 增加 个单位，其预报值平均增加个单位
11、，符合直线斜率的含义，成立。 对于 设随机变量 服从正态分布 ，若 ，则应该是；错误 对于 已知 ， ， ， ，依照以上各式的规律，得到一般性的等式为 ，（ ）这是归纳推理可知结论成立。故答案：为 考点：命题的真假 点评：本题考查圆锥曲线的共同特征，解题的关键是 熟练掌握圆锥曲线的性质，回归方程和正态分布知识的灵活运用，并能根据它们的性质进行推理判断，得出结论 在矩形 ABCD中， AB=2,BC=1,E为 BC的中点，若 F为该矩形内（含边界）任意一点，则： 的最大值为 _: 答案： 试题分析：画出向量在向量上的投影，推出 F的位置，使得 的最大值，通过 E，C的坐标，求出向量的数量积如图，
12、 F在 C位置时 AP最大，设 AB为 x轴， AD为 y轴，则 E（ 2， ）， C（ 2， 1）所以 的最大值为：（ 2， ） （ 2， 1） = ，故答案：为 。 考点：向量的数量积 点评：本题考查向量的数量积的应用，向量在向量方向上的投影的应用，考查计算能力 点 P是曲线 上任一点，则点 P到直线 的最小 距离为 答案： 试题分析：根据题意可知，由于点 P是曲线 上任一点，那么点 P(x, ),则利用点到直线的距离公式 ,令 f（ x） = （ x0），则 f(x)= ，令 f（ x） =0，解得 x=1当 x 1时， f（ x） 0，函 数 f（ x）单调递增；当 0 x 1时， f
13、（ x） 0，函数 f（ x）单调递减 当 x=1时，函数 f（ x）取得极小值，也是最小值，且 f（ 1） =1 0 点 P到直线 y=-x的最小距离 d= ,故答案：为 。 考点：导数的运用 点评：整理掌握利用导数研究函数的极值和最值、点到直线的距离公式是解题的关键 解答题 如图，在 中， ， 为 中点， .记锐角 且满足 （ 1）求 ； （ 2）求 边上高的值 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：（ 1） ， ， ， -6分 （ 2）方法一、由（ 1）得 ， ， 7 ， -10分 在 中，由正弦定理得： ， ， - 12分 则高 -13分 方法二、如图，作 边上的高为 在直角 中，由（
14、1）可得 ， 则不妨设 则 9分 注意到 ，则 为等腰直角三角形，所以 ， 则 -11分 所以 ，即 13分 考点：解三角形的运用 点评：解决的关键是利用三角函数值来表示边和长度，进而结合三角形的性质来得到 求解。属于基础题。 现有长分别为 、 、 的钢管各 根（每根钢管质地均匀、粗细相同且附有不同的编号），从中随机抽取 根（假设各钢管被抽取的可能性是均等的 , ），再将抽取的钢管相接焊成笔直的一根 （ 1）当 时 ,记事件 抽取的 根钢管中恰有 根长度相等 ，求 ； （ 2）当 时 ,若用 表示新焊成的钢管的长度（焊接误差不计） , 求 的分布列； 令 ， ，求实数 的取值范围 答案：（ 1
15、） （ 2） 的分布列为： 2 3 4 5 6 ， 试题分析：解： (1)事件 为随机事件， 4分 （ 2） 可能的取值为 的分布列为： 2 3 4 5 6 9分 11分 ， ， 13分 考点：分布列和期望值 点评：主要是考查了离散型随机变量的分布列和 期望值的求解以及古典概型概率的求解运用，属于基础题。 如图，四边形 PCBM是直角梯形， ， ， 又 ，直线 AM与直线 PC所成的角为 （ 1）求证： ； （ 2）求二面角 的余弦值 . 答案： 试题分析：方法 1：（ 1） ， 平面 ABC， 5分 （ 2）取 BC的中点 N，连 MN ， ， 平面 ABC作 ，交 AC的延长线于 H，连结
16、 MH由三垂线定理得 ， 为二面角的平面角 直线 AM与直线 PC所成的角为 ， 在 中， 在 中， 在 中， 在 中， 在 中， ， 故二面角 的余弦值为 13分 方法 2：（ 1） ， 平面 ABC， 5分 （ 2）在平面 ABC内，过 C作 BC的垂线，并建立空间直角坐标系如图所示设 ，则 5分 ， 且 ， ，得 ， 8分 设平面 MAC的一个法向量为 ，则由 得 得 10分 平面 ABC的一个法向量为 12分 显然，二面角 为锐二面角， 二面角 的余弦值为 13分 考点：二面角的平面角，线线垂直 点评：解决的关键是借助于空间向量法或几何性质法来得到证明和求解，属于基础题。 已知函数 （
17、 1）若 为 的极值点，求实数 的值； （ 2）当 时，方程 有实根，求实数 的最大值。 答案： (1) (2) 当 时， 取得最大值 0 试题分析：（ 1） 1分 因为 为 的极值点，所以 2分 即 ，解得 3分 又当 时， ，从而 的极值点成立 4分 （ 2）若 时，方程 可化为， 问题转化为 在 上有解， 即求函数 的值域 7分 以下给出两种求函数 值域的方法： 方法 1：因为 ，令 ， 则 ， 9分 所以当 ，从而 上为增函数， 当 ，从而 上为减函数， 10分 因此 而 ，故 ， 因此当 时， 取得最大值 0 12分 方法 2：因为 ，所以 设 ，则 当 时， ，所以 在 上单调递增
18、； 当 时， ，所以 在 上单调递减； 因为 ，故必有 ，又 ， 因此必存在实数 使得 ， ，所以 上单调递减； 当 ，所以 上单调递增； 当 上单调递减； 又因为 ， 当 ，则 ，又 因此当 时， 取得最大值 0 12分 考点：导数的运用 点评：主要是考查了运用导数来判定函数单调性以及函数的 极值问题，通过利用函数的单调性放缩法来证明不等式，进而得到最值，属于中档题。 已知抛物线和椭圆都经过点 ，它们在 轴上有共同焦点，椭圆的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点 （ 1）求这两条曲线的方程； （ 2）对于抛物线上任意一点 ，点 都满足 ，求 的取值范围 答案： (1) , (2) 试题分析
19、：解：（ 1）设抛物线方程为 ，将 代入方程得 -2分 由题意知椭圆、双曲线的焦点为 3分 对于椭圆， ， 所以椭圆方程为 - -6分 （ 2）设 -（ 7分） 由 得 - （ 9分） 恒成立 10分 则 12分 考点：圆锥曲线方程的求解和运用 点评：解决的关键是根据圆锥曲线的性质来求解其方程，同时在抛物线中利用两点的距离公式结合不等式来得到求解范围，注意中档题。 已知正项数列 的前 项和为 ，且 . （ 1）求 的值及数列 的通项公式； （ 2）求证： ； （ 3）是否存在非零整数 ，使不等式 对一切 都成立？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由 . 答案： (1) , (2)根据题意，由
20、于 ， .放缩法来得到证明。 (3) ，由 是非零整数，知存在 满足条件 试题分析： (1）由 . 当 时，解得 或 （舍去） 2分 当 时， 由 ， ， ，则 ， 是首项为 2，公差为 2的等差数列，故 4分 另法：易得 ，猜想 ，再用数学归纳法证明 (略 ) （ 2）证法一： ， 4分 当 时， . 7分 当 时，不等式左边 显然成立 . 8分 证法二： ， . . 4分 当 时， . 7分 当 时，不等式左边 显然成立 . 8分 （ 3）由 ，得 ， 设 ，则不等式等价于 . ， 9分 ， ，数列 单调递增 . 假设存在这样的实数 ，使得不等式 对一切 都成立，则 当 为奇数时，得 ； 11分 当 为偶数时，得 ，即 . 12分 综上， ，由 是非零整数，知存在 满足条件 12分 考点：数列与不等式 点评：解决的关键是利用数列的单调性来证明不等式，以及分离参数的思想来求解参 数的取值范围。
