1、2013届陕西省西安市第一中学高三下学期期中考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 设全集为 ,则右图中阴影表示的集合为（ ） A B C D 答案： A 试题分析： ， 考点：集合的交集 点评：两集合的交集是由两集合的相同的元素构成的集合 已知函数 , 则 ( ) A B C D 答案： B 试题分析： 考点：定积分的计算及几何意义 点评：定积分 ，其中 ；几何意义：若函数图像在 x轴上方，则 的值等于 及 围成的图形的面积 已知 ， ，若对任意 ，都存在，使 ，则 的取值范围是（ ） A B C D 答案： A 试题分析： ， ， ，由题意可知 考点：函数图像及性质 点评：求解本题关键在
2、正确理解已知条件：若对任意 ，都存在，使 转化为求两函数的最值并比较大小 已知 满足 ，则 的最小值为（ ） A 6 B 8 C 12 D 15 答案： B 试题分析：做出线性约束条件下的可行域，结合图形可知 过直线与直线 的交点 时 取得最小值 8 考点：线性规划问题 点评：线性规划问题求最值时，取得最值的位置一般位于可行域的边界处或顶点处 已知 ，下列四个条件中，使 “ ”成立的必要而不充分的条件是（ ） A B C D 答案： A 试题分析： ，反之不成立，因此 是的必要不充分条件 考点：充分条件与必要条件 点评：若命题 成立，则 是 的充分条件， 是 的必要条件 若 是空间三条不同的直
3、线， 是空间两个不同的平面，则下列命题中，逆命题不正确的是 ( ) A当 时，若 ，则 B当 时，若 ，则 C当 且 是 在 内的射影时，若 ，则 D当 且 时，若 ，则 答案： B 试题分析： A逆命题：当 时，若 则 是真命题； B逆命题：当时，若 则 是假命题，只有当 垂直于交线时命题才成立； C逆命题：当 且 是 在 内的射影时，若 则 是真命题； D逆命题：当 且 时若 则 是真命题 考点：空间线面平行垂直的判定和性质及四种命题 点评：逆命题是将原命题的条件和结论交换后构成的命题，空间线面的位置关系的判定属于基本知识点的考查，要求学生熟记掌握判定定理和性质定理 为了得到函数 的图像，
4、只需将函数 的图像（ ） A向左平移 个长度单位 B向右平移 个长度单位 C向左平移 个长度单位 D向右平移 个长度单位 答案 ： B 试题分析： ， 比较两式可知只需将函数 的图像向右平移 个长度单位 考点：三角函数图像平移 点评：三角函数 向左平移 个单位得 ；向右平移 个单位得 已知圆 O: ，直线 过点 ,且与直线 OP垂直，则直线 的方程为（ ） A B C D 答案： D 试题分析：圆的圆心为 ，直线 OP斜率为 ，所以直线 斜率为 ，直线方程为 考点：直线与圆方程 点评：两直线垂直，则其斜率乘积为 ，圆 的圆心为函数 的零点所在的一个区间是（ ） A B C D 答案： C 试题
5、分析： ，函数零点在 考点：函数零点 点评：函数 在 上是连续的，若 则 在 上存在零点 复数满足 ，则复数 的实部与虚部之差为（ ） A B C D 答案： D 试题分析： ，实部 1，虚部 ，之差 0 考点：复数 点评：复数 的实部 ，虚部 ，复数运算中 填空题 A.对任意 ， 恒成立，则 满足 _. B.在极坐标系中，点 到直线 ： 的距离是 _. C.如图，点 P在圆 O 直径 AB的延长线上，且 PB OB 2， PC切圆 O 于点 C，CD AB于点 D，则 CD _. 答案： 试题分析： A根据绝对值的几何意义可知 的最小值为 5，所以只需满足 B点 化为直角坐标为 ，直线化为
6、，所以距离C连接 OC，所以 OC PC 考点：不等式，极坐标及平面几何求解 点评：解绝对值不等式时要注意绝对值的几何意义的应用，极坐标方程与直角坐标方程的互化关系如下 下列四种说法中， 命题 “存在 ”的否定是 “对于任意 ”； 命题 “ 且 为真 ” 是 “ 或 为真 ”的必要不充分条件； 已知幂函数 的图像经过点 ，则 的值等于 某路公共汽车每 7分钟发车一次，某位乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间超 过 3分钟的概率是 . 说法正确的序号是 . 答案： 试题分析： 中 的否定是 ，所以错误； 命题 “ 且 为真 ”需满足 同时为真， “ 或 为真 ”需满足 至少一个为真，所以应为
7、充分不必要条件； 幂函数 的图像经过点 ； 几何概型概率，利用时间的长度比求解 考点：命题真假幂函数及几何概型概率 点评：特称命题的否定是全称命题，复合命题的真假是由构成符合命题的两个命题共同确定，几何概型概率通常利用的是长度比面积比或体积比 一个几何体的三视图如图所示（长度单位： cm），则此几何体的体积是_3. 答案： 试题分析：由三视图可知该几何体下半部分是棱长为 4的正方体，上半部分是正四棱锥，底面是边长为 4的正方形，高为 2，所以几何体体积为考点：三视图与几何体的体积 点评：本题先由三视图的特点还原出几何体的形状，再代入相应的体积公式求解 阅读如图程序框图，如果输出的函数值在区间
8、内，则输入的实数 的取值范围是 _. 答案： 试题分析：程序框图的作用是计算分段函数值，函数为令 得 考点：程序框图及分段 函数求值 点评：本题首先把握程序框图的作用是求分段函数值，然后带入相应的式求解的范围 某大学对 1000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到不合格的成绩的频率为 0.4，则合格的人数是 答案： 试题分析：不合格的成绩的频率为 0.4，所以合格的成绩的频率为 0.6，合格的人数 考点：统计 点评：统计中各组的频率值等于频数除以样本容量 解答题 在 中，角 的对边分别是 ，点 在直线 上 . （ 1）求角 的值； （ 2）若 ，求 的面积 . 答案：（ 1） （ 2）
9、试题分析： 因点 在直线 上， 所以 ， 2分 由正弦定理，得 ，即 ， 4分 由余弦定理，得 ， 6分 又 ，所以 8分 12分 考点：解三角形 点评：解三角形的题目中利用正余弦定理可实现边与角的互相转化，求角的大小通常先求其三角函数值，另三角形的面积公式 在求解时经常用到 已知数列 的首项为 ，其前 项和为 ，且对任意正整数 有： 、 成等差数列 （ 1）求证：数列 成等比数列； （ 2）求数列 的通项公式 答案：（ 1） ，当 时， ，所以， 即 ，又 ，所以 成以 4为首项、 2为公比的等比数列（ 2） 试题分析： 因对任意 有 成等差数列，所以 2分 又当 时， ，所以 ， 4分 即
10、 ，又 ， 所以 成以 4为首项、 2为公比的等比数列 6分 由 得 ，所以 当 时， 又 满足此式，所以 12分 考点：等比数列证明及数列求通项 点评：证明数列是等比数列一般采用定义，即相邻两项的比值是常数，本题求通项用到了公式 如图，四棱锥 P-ABCD中，底面 ABCD是矩形， PA 底面 ABCD， PAAB 1， AD ，点 F是 PB的中点，点 E在边 BC 上移动 (1)点 E为 BC 的中点时，试判断 EF 与平面 PAC的位置关系，并说明理由； (2)求证：无论点 E在 BC 边的何处，都有 ； (3)当 为何值时 , 与平面 所成角的大小为 45. 答案： (1)EF/面
11、PAC (2)因 PA 底面 ABCD，所以 DA PA，又 DA AB，所以 DA 面 PAB，又 DA/CB，所以 CB 面 PAB所以 ，因为AF PB所以 AF 面 PBC 有 (3) 试题分析： 当 E是 BC 中点时，因 F是 PB的中点，所以 EF 为 的中位线， 故 EF/PC，又因 面 PAC， 面 PAC，所以 EF/面 PAC 4分 证明：因 PA 底面 ABCD，所以 DA PA，又 DA AB，所以 DA 面 PAB， 又 DA/CB，所以 CB 面 PAB，而 面 PAB，所以 ， 又在等腰三角形 PAB中，中线 AF PB， PB CB=B，所以 AF 面 PBC
12、. 而 PE 面 PBC，所以无论点 E在 BC 上何处，都有 8分 以 A为原点，分别以 AD、 AB、 AP 为 xyz轴建立坐标系，设 ， 则 ， ， ，设面 PDE的法向量为 ， 由 ，得 ，取 ，又 ， 则由 ，得 ，解得 . 故当 时， PA与面 PDE成 角 12分 考点：线面平行垂直的判定及线面角的求解 点评：证明线面平行时常借助于已知的中点转化为线线平行，第三问求线面角采用空间向量的方法思路较简单，只需求出直线的方向向量与平面的法向量，代入公式即可 已知 . （ 1）求 极值； （ 2） 答案：（ 1） 极大值为 极小值为 （ 2）试题分析：（ 1） ， 2分 由单调性即得
13、极大值为 极小值为 6分 （ 2） ，即 ， 12分 考点：函数极值最值 点评：求函数的最值极值一般首先通过导数求得极值点，第二问中的不等式恒成立转化为求 的最值并比较大小 一次考试中共有 8道选择题，每道选择题都有 4个选项 ，其中有且只有一个是正确的 .评分标准规定： “每题只选一个选项，答对得 5分，不答或着打错得 0分 ”. 某考生已确定有 5道题的答案：是正确的，其余题中，有一道题都可判断两个选项是错误的，有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只好乱猜 . （ 1）求出该考生得 40分的概率 ; （ 2）写出该考生所得分数 X的分布列，并求出 X数学期望 . 答案：
14、（ 1） （ 2） X 25 30 35 40 P 试题分析： 其余 3道题中，各题答对的概率分别为 ， ， . 故得 40分的概率为 6分 X的取值为 25、 30、 35、 40 8分 ， ， , . 分布列为 X 25 30 35 40 P 13 分 考点：相互独立事件及分布列期望 点评：求分布列的步骤：确定随机变量所取的值，求出各值对应的概率，汇总成分布列；由分布列可求得期望 如图，已知抛物线 的焦点为 ，过焦点 且不平行于 轴的动直线交抛物线于 ， 两点，抛物线在 、 两点处的切线交于点 . （ ）求证： ， ， 三点的横坐标成等差数列； （ ）设直线 交该抛物线于 ， 两点，求四边
15、形 面积的最小值 答案：（ ）可设直线 的方程 （ ）， ， ，由 消去 ，得 ， . ，由 ，得 ，所以 ，直线 的斜率为直线 的方程为 同理，直线 的方程为 M的横坐标 即 ， ， 三点的横坐标成等差数列（ ） 32 试题分析：（ ）由已知，得 ，显然直线 的斜率存在且不为 0，则可设直线 的方程 （ ）， ， ， 由 消去 ，得 ， . ， 2分 由 ，得 ，所以 ，直线 的斜率为 ， 所以，直线 的方程为 ，又 ， 所以，直线 的方程为 4分 同理，直线 的方程为 5分 - 并据 得点 M的横坐标 ， 即 ， ， 三点的横坐标成等差数列 7分 （ ）由 易得 y=-1,所以点 M的坐标为（ 2k,-1） ( ). 所以 ，则直线 MF的方程为 8分 设 C(x3,y3),D(x4,y4), 由 消去 ，得 ， ， . 9分 又 10分 12分 因为 ，所以 ， 所以， ， 当且仅当 时，四边形 面积的取到最小值 14分 考点：抛物线方程及直线与抛物线的相交的位置关系弦长等 点评：当直线与圆锥曲线相交时，常联立方程组转化为关于 x的二次方程，进而利用方程的根与系数的关系设而不求的方法化简，在求解时弦长公式经常用到，本题中函数在某一点的切线问题要借助于导数的几何意义求出切线斜率
