1、2014届上海市六校高三下学期第二次联考理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 对于函数 ，若存在区间 ，使得 ，则称函数 为 “可等域函数 ”，区间 为函数 的一个 “可等域区间 ”给出下列 4个函数： ； ； ； 其中存在唯一 “可等域区间 ”的 “可等域函数 ”为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：根据题意， 中 与 都是 的可等域区间， 中，且 在 时递减，在 时递增，若 ，则 ，于是 ，又 ， ，而 ，故 ， 是一个可等域区间，有没有可等域区间 ，且 呢？若 ，则 ，解得 ，不合题意，若 ，则 有两个非负解，但此方程的两解为 1和 ，也不合题意，故函数 只有一个等可域区间 ，
2、 中函数 的值域是 ，所以 ，函数在 上是增函数，考察方程 ，由于函数 与只有两个交点 ，即方程 只有两个解 0和 1，因此此函数只有一个等可域区间 ，对于 ，函数 在定义域上是增函数，若上函数有等可域区间 ，则 ，但方程无解（方程 无解），故此函数无可等域区间综上只有 正确，选 B 考点：函数的定义域与值域，单调性，方程的解等综合问题 已知 和 是两条不同的直线， 和 是两 个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出 的是（ ） A 且 B 且 C 且 D 且 答案： C 试题分析：本题考查线面垂直的问题， 中直线 与平面 的位置关系不确定，平行，垂直，相交，线在面内都有可能， 是线面垂直的
3、判定定理， 中直线与平面没有一点点的关系，应选 C 考点：直线与平面垂直的判定 下列函数中，既是偶函数，又在区间 内是增函数的为（ ） A B C D 答案： A 试题分析：由于 ， ，因此 都是偶函数， ， 都是偶函数，而当 时，是增函数，故选 A 考点：函数的奇偶性与单调性 若 ，则 “ 成立 ”是 “ 成立 ”的（ ） A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分又非必要条件 答案： C 试题分析：本题考查不等式的基本性质，由不等式基本性质 4,5可知应选 C 考点：不等式的基本性质 填空题 已知 ， ，则 答案： 试题分析：由题意， ， 考点：同角间的三角函数关系 已知数
4、列 的通项公式为 ，数列 的通项公式为 ， 设 若在数列 中， 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是 答案： 试题分析：数列 是取 和 中的最大值，据题意 是数列 的最小项，由于函数 是减函数，函数 是增函数，所以 或 ，即 或 ，解得 或 ，所以 考点：分段函数与数列的通项公式，数列的最小项问题 已知 、 、 为直线 上不同的三点，点 直线 ，实数 满足关系式 ，有下列命题： ； ； 的值有且只有一个； 的值有两个； 点 是线段 的中点 则正确的命题是 （写出所有正确命题的编号） 答案： 试题分析：由已知得 ， 三点都在直线 上且 ， ，解得 所以 正确， 错误，此时 ，故 正确， ，从而
5、正确， 错误，填空 . 考点：向量数量积的性质，向量中三点共线的的条件 已知点 为椭圆 的左焦点，点 为椭圆 上任意一点，点的坐标为 ，则 取最大值时，点 的坐标为 答案： 试题分析：椭圆的左焦点为 ，右焦点为 ，根据椭圆的定义， ，由三角形的性质，知 ，当 是 延长线与椭圆的交点 时，等号成立，故所求最大值为 考点：椭圆的定义，三角形的性质 从 这 个整数中任意取 个不同的数作为二次函数的系数，则使得 的概率为 答案： 试题分析：首先从 这 个整数中任意取 个不同的数分别为 ，取法数为 ，使 ，即使 为偶数的取法有，所概率为 考点：古典概型 若点 在曲线 （ 为参数， ）上，则 的取值范围是
6、 答案： 试题分析：由 消去参数 得 ，设 ，则，代入 式并化简得： ，此方程有实数解， ，解得 或 考点：参数方程化普通方程，直线和圆有公共点 已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为 ，圆心角为 的扇形，则此圆锥的体积为 答案： 试题分析：由 ，得 ，即 ， 考点：圆锥的侧面图与体积 已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围是 答案： 试题分析： 且 ， ， 考点：集合的概念 设等差数列 的前项和为 ，若 ， ，则 等于 答案： 试题分析：由等差数列的性质知 ， 考点：等差数列的性质 若 是纯虚数（ 是虚数单位），则实数 的值为 答案： 试题分析： 是纯虚数，则，解得 考点：复数的概念 抛物线
7、 的焦点到双曲线 的渐近线的距离是 答案： 试题分析：抛物线 的焦点为 ，双曲线的渐近线为 ，即，所求距离为 考点：点到直线的距离公式 执行下图的程序框图，如果输入 ，则输出的 值为 答案： 试题分析：由题意， 考点：程序框图 不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是 答案： 试题分析：原不等式为 ，即 ， 时，不等式为，符合题意，当 时，有 ，综上所述 的范围是 考点：行列式的定义，不等式恒成立问题 若 是 展开式中 项的系数， 则 答案： 试题分析：由题意 ， ， ， 考点：二项展开式的通项与裂项相消法求和，极限 解答题 在 中，角 、 、 所对的边长分别为 、 、 ， 且 （ 1）若
8、 ， ，求 的值； （ 2）若 ，求 的取值范围 答案： (1) 或 ；（ 2） 试题分析： (1)已知两边，要求第三边，最好能求出已知两边的夹角，然后用余弦定理可求得，而由已知条件 可得 ，从而可知 ，即 ，问题得解；（ 2）这是三角函数的一般性问题，解决它的一般方法是把函数化为 的形式，然后利用正弦函数的知识解决问题，首先用二倍角公式，降幂公式把二次式化为一次式 ，再利用两角和的正弦公式把两个三角函数化为一个三角函数， ，接下来我们只要把 作为一个整体，求出它的范围，就可借助于正弦函数求出 的取值范围了 试题：（ 1）在 中， 所以 ，所以 3分 由余弦定理 ，得 解得 或 6分 （ 2）
9、 . 9分 由（ 1）得 ，所以 ， ， 则 . . . 的取值范围是 . 12分 考点：（ 1）余弦定理；（ 2）二倍角公式与降幂公式，三角函数的取值范围 如图，几何体 中， 为边长为 的正方形， 为直角梯形， ， ， ， ， （ 1）求异面直线 和 所成角的大小； （ 2）求几何体 的体积 答案： (1) ；（ 2） 试题分析：（ 1）求异面直线所成的角，一般根据定义，过异面直线中的一条上某一点作中一条直线的平行线，把异面直线所成的角化为相交直线所夹的锐角或直角，而这可能通过在三角形中求得 ,如果图形中有两两相互垂直且交于同一点的三条直线，那么我们可以建立空间直角坐标系，把异面直线所成的角
10、转化为空间两向量的夹角，要注意异面直线所成的角的范围是 ，而向量的夹角范围是 ，解题时注意转化；（ 2）这个几何体我们要通过划分，把它变成几个可求体积的几何体，如三棱锥 和四棱锥 ，这两个棱锥的体积都易求，故原几何体的体积也易求得 试题：（ 1）解法一：在 的延长线上延长至点 使得 ,连接. 由题意得， ， ， 平面 ， 平面 ， ，同理可证 面 . ， ， 为平行四边形， . 则 （或其补角）为异面直线 和 所成的角 . 3分 由平面几何知识及勾股定理可以得 在 中，由余弦定理得 异面直线的夹角范围为 ， 异面直线 和 所成的角为 7分 解法二：同解法一得 所在直线相互垂直，故以 为原点，所
11、在直线 分别为 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 2分 可得 ， ， 得 . 4分 设向量 夹角为 ，则 异面直线的夹角范围为 ， 异面直线 和 所成的角为 7分 （）如图，连结 ，过 作 的垂线，垂足为 ，则 平面 ，且 . 9分 相关试题 2014届上海市六校高三下学期第二次联考理科数学试卷（带） 为了保护环境，某工厂在国家的号召下，把废弃物回收转化为某种产品，经测算，处理成本 （万元）与处理量 （吨）之间的函数关系可近似的表示为： ，且每处理一吨废弃物可得价值为 万元的某种产品，同时获得国家补贴 万元 （ 1）当 时，判断该项举措能否获利？如果能获利，求出最大利润； 如果不能获利，请求出
12、国家最少补贴多少万元，该工厂才不会亏损？ （ 2）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？ 答案： (1) 国家最少需要补贴 万元，该工厂才能不会亏损；（ 2） 30. 试题分析：（ 1）本题考查函数应用，属于容易题，解题的关键是列出收益函数，收益等于收入减成本，因此有利润 ，化简后它是关于 的二次函数，利用二次函数的 知识求出 的取值范围，如果 有非负的取值，就能说明可能获利，如果 没有非负取值，说明不能获利，而国家最小补贴就是 中最大值的绝对值 . （ 2）每吨平均成本等于 ，由题意 ，我们根据基本不等式的知识就可以求出它的最小值以及取最小值时的 值 . 试题：（ 1）根据题意得，利润
13、 和处理量 之间的关系： 2分 ， . ， 在 上为增函数， 可求得 . 5分 国家只需要补贴 万元，该工厂就不会亏损 7分 （ 2）设平均处理成本为 9分 11分 当且仅当 时等号成立，由 得 因此，当处理量为 吨时，每吨的处理成本最少为 万元 14分 考点：函数应用题，二次函数的值域，基本不等式的应用 . 已知数列 中， ，对任意的 ， 、 、 成等比数列，公比为 ； 、 、 成等差数列，公差为 ，且 （ 1）写出数列 的前四项； （ 2）设 ，求数列 的通项公式； （ 3）求数列 的前 项和 答案：（ 1） 或 ；（ 2） 或 ；（ 3） 时， 时， . 试题分析：（ 1）求数列的前 4
14、项，相对较容易，由题意可得 成等比数列，而 ，要求得 ，对应再求得 ；（ 2）要求 ，实质上就是求，我们应求出 的递推关系，从而求出通项，由题意 ，而 ，这样就有 ，于是关于 的递推关系就有了： ，把它变形或用 代入就可得到结论；（ 3）由（ 2）我们求出了 ，下面为了求 ，我们要把数列 从前到后建立一个关系，分析已知，发现 ，这样就由而求出 ，于是 ， ，得到数列 的通项公式后，其前 项和也就可求得了 . 另外由于第（ 1）题中已知求出的数列 的前 4 项（我们还可再求出接下来的一些项，增强想象），然后用猜想的方法猜测出其通项公式（ ），再数学归纳法证明之 . 试题：（ 1）由题意得 ， ，
15、 或 . 2分 故数列 的前四项为 或 . 4分 （ 2） 成公比为 的等比数列， 成公比为 的等比数列 ， 又 成等差数列， . 得 ， ， 6分 ， ， ，即 . 数列数列 为公差 等差数列，且 或 . 8分 或 . 10分 （ 3）当 时，由（ 2）得 . ， ， . 13分 当 时，同理可得 ， . &nb 如图，圆 与直线 相切于点 ，与 正半轴交于点 ，与直线 在第一象限的交点为 .点 为圆 上任一点，且满足，动点 的轨迹记为曲线 （ 1）求圆 的方程及曲线 的方程； （ 2）若两条直线 和 分别交曲线 于点 、 和 、 ，求四边形 面积的最大值，并求此时的 的值 （ 3）证明：曲
16、线 为椭圆，并求椭圆 的焦点坐标 答案：（ 1）圆 的方程为 ，曲线 的方程为（ ）；（ 2）当 时，四边形 的面积最大值为；（ 3）证明见，其焦点坐标为 ， . 试题分析：（ 1）圆的半径等于圆心到切线的距离，曲线的方程可通过已知变形得到，条件是 ， ，把已知式平方可得出 的方程；（ 2）从 方程可看出 ，即 ，因此，我们把 方程与曲线 方程联立方程组可解得 两点坐标，从而得到 ，把 中的 ，用 代可得出 ，从而求出，变形为，易知 ，故当 即 时， 取得最大值 ，为了求最大值，也可作变形，应用基本不等式基本不等式知识得出结论；（ 3）要证曲线 为椭圆，首先找它的对称轴，从方程中可看出直线 是其对称轴，接着求出曲线与对称轴的交点即椭圆的顶点，这样可求得长轴长 和短轴长 ，根据公式 ，求出半焦距 ，这样可求出焦点 ，下面我们只要按照椭圆的定义证明曲线的点到两定点 的距离之和为定值 ，也可求出到两定点 的距离之和为定值 的点的轨迹方程是曲线的方程，这样就完成了证明 . 试题：（ 1）由题意圆 的半径 ， 故圆 的方程为 . 2分 由 得， ， 即 ，得 （ ）为曲线 的方程 .（未写 范围不扣分） 4分 （ 2）由 得 ， 所以 ，同理 . 6分 由题意知 ，所以四边形 的面积 . ， ， . 8分 当且仅当 时等号成立，此时 . 当 时，四边形 的面积最大值为 . &n
