1、2014届上海市嘉定区高三上学期期末考试（一模）文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 设函数 的定义域为 ，若存在闭区间 ，使得函数 满足： 在 上是单调函数； 在 上的值域是 ，则称区间是函数 的 “和谐区间 ”下列结论错误的是（ ） A函数 （ ）存在 “和谐区间 ” B函数 （ ）不存在 “和谐区间 ” C函数 ）存在 “和谐区间 ” D函数 （ ）不存在 “和谐区间 ” 答案： B 试题分析：根据 “和谐区间 ”的定义，我们只要寻找到符合条件的区间 即可，对函数 （ ）， “和谐区间 ” ，函数 是增函数，若存在 “和谐区间 ” ，则 ，因为方程 有两个不等实根和 ，故 ，即区间 是函
2、数 的 “和谐区间 ”， B错误，选 B，根据选择题的特征，下面 C， D显然应该是正确的（事实上， 函数）的 “和谐区间 ”为 ， 在其定义域内是单调增函数，若有 “和谐区间 ” ，则方程 有两个不等实根，但此方程无实根，因此函数 不存在 “和谐区间 ”） 考点：新定义的理解，函数的单调性，方程的解 若将函数 （ ）的图像向左平移 （ ）个单位后，所得图像关于原点对称，则 的最小值是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：先把函数化为一个三角函数， ，平移后函数图象关于原点对称，则所得函数式就为 形式，向左平移 （ ）个单位后函数式为 ，则 ，最小的正数 应该为 考点：图象变换与正弦函
3、数的诱导公式 若 展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：只有第六项的二项式系数最大，说明 是偶数，且 ，于是其展开式通项为 ，常数项为 ，即 ，所以常数项为 选 A 考点：二项展开式中二项式系数与通项公式 设向量 ， ，则 “ ”是 “ ”的（ ） A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充分必要条件 D既非充分又非必要条件 答案： B 试题分析：要说明是 “充分 ”还是 “必要 ”条件，实际上是研究两个命题，首先“ ”时， ，有 “ ”成立，故是必要的，又若 “ ”，则 ，不一定能得到 ，故不是充分的，因此选 B 考点：向量的平行
4、与充分必要条件 填空题 函数 的定义域是 _ 答案： 试题分析：函数的定义域是使函数式有意义的自变量的集合，求定义域时要注意基本初等函数的定义域 考点：函数的定义域 已知函数 是偶函数，直线 与函数 的图像自左至右依次交于四个不同点 、 、 、 ，若 ，则实数 的值为 _ 答案： 试题分析：首先根据偶函数定义可得 ，其次有 在 轴左边，由于 以及对称性，知 ，把 代入 表达式，有，即 ，所以 ，又由刚才分析有，代入可求得 ，而 ，因此有 考点：偶函数的定义，二次方程根与系数的关系 设集合 ， ，若存在实数 ，使得 ，则实数 的取值范围是 _ 答案： 试题分析：首先集合 实际上是圆上的点的集合，
5、即 表示两个圆，说明这两个圆相交或相切（有公共点），由于两圆半径都是 1，因此两圆圆心距不大于半径这和 2，即 ，整理成关于 的不等式： ，据题意此不等式有实解，因此其判别式不大于零，即 ，解得 考点：两圆位置关系及不等式有解问题 在平面直角坐标系中，动点 到两条直线 与 的距离之和等于 ，则 到原点距离的最小值为 _ 答案： 试题分析：本题考虑到两直线 与 相互垂直，且交点就是坐标原点，因此我们把这两条直线同时绕原点旋转到与坐标轴重合，在旋转过程中，动点 到原点距离的最小值不变，这时动点 变成到两坐标轴的距离这和为 4，在第一象限内为线段 ， 到原点距离最小值为 ，在其它三个象限也一样最小值
6、为 这就是所求的最小值（也可直接考虑，原 点轨迹是一个边长为 的正方形，原点是正方形的中心） 考点：轨迹问题与距离的最小值 设等比数列 的前 项和为 ，且 ，则 _ 答案： 试题分析：根据数列和的定义知 ，故，即 ，从而，所以这个等比数列的相邻两项的和都是 0，所以 考点：等比数列的前 项和 函数 （ , ）的图像经过点 ，则_ 答案： 试题分析：显然应该求出 （ ），其次求出和，这里 ，因此极限可求 考点：等比数列的和，极限 在边长为 的正方形 中， 为 的中点，点 在线段 上运动，则 的最大值为 _ 答案： 试题分析：由于点 在运动，故向量 ， 都在变化，但我们可以把它们用同一个变化量与不
7、变量表示出来， ， ，注意到与 都垂直，因此，而 最大值为 ，故所求最大值为 考点：向量的数量积 已知 是虚数单位，复数 满足 ，则 _ 答案： 试题分析：本题可直接根据复数模的性质 求解，则有 ，当然也可先求出 ，再求其模 考点：复数的模 已知函数 存在反函数 ，若函数 的图像经过点，则 的值是 _ 答案： 试题分析：本题关键是出函数 的反函数，由 得， ，即函数 的反函数为 ，那么这个反函数图象一定过点 ，所以 ， 考点：反函数的性质与求反函数 已知数列 的前 项和 （ ），则 的值是 _ 答案： 试题分析：只要理解数列的项 与前 项和 的关系即可很快得解， 考点：数列的项 与前 项和 的
8、关系： 已知圆锥的母线长为 ，侧面积为 ，则此圆锥的体积为_ 答案： 试题分析：要求圆锥体积，必须求出圆锥的底面半径和高，侧面积，所以 ，而 ，因此体积为 考点：圆锥的侧面积和体积 已知 为第二象限角， ，则 _ 答案： 试题分析：关键要求出 ，可通过直角三角形求解，也可利用同角间的三角函数的关系求解， 为第二象限角，则 ， 考点：同角间三角函数关系和两角和的正切公式 已知双曲线 （ ， ）满足 ，且双曲线的右焦点与抛物线 的焦点重合，则该双曲线的方程为 _ 答案： 试题分析：抛物线 的焦点是 ，说明双曲线中有 ，而的关系是通过行列式给出的，我们要把它化为一般式，根据行列式的定义知，再由 ，得
9、 ，即得双曲线方程 考点：抛物线的焦点，双曲线的标准方程 分别从集合 和集合 中各取一个数，则这两数之积为偶数的概率是 _ 答案： 试题分析：这属于古典概型，首先求出从两个集合中各取一个数和的取法总数为 ，而两数之积为偶数可从反而入手，两数之积为奇数的取法数为，因此为偶数的取法数为 12，从而所求概率为 考点：古典概型 解答题 如图，正三棱锥 的底面边长为 ，侧棱长为 ， 为棱 的中点 （ 1）求异面直线 与 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （ 2）求该三棱锥的体积 答案： (1) ；（ 2） 试题分析：（ 1）求异面直线所成的角，一般是按照定义作出这个角，即作平行线，把空间角化为平
10、面角，通过解三角形来处理，而作平行线，一般都是过异面直线中一条上的某点作一条的平行线，如本题中有 是 的中点，我们只要取 中点 ，则就有 ， （或其补角）就是所求；（ 2）要求棱锥体积，就要求出底面积（本题底面是正三角形，面积易求）和高 ，正棱锥中我们知道棱锥的高，侧棱，侧棱在底面上的射影构成一个直角三角形，可在这个直角三角形中求出正棱锥的高 试题：（ 1）取 中点 ，连结 、 ，因为 ，所以 就是异面直线 与 所成的角（或其补角） （ 2分） 在 中， ， ， （ 1分） 所以 （ 2分） 所以，异面直线 与 所成的角的大小为 （ 1分） （ 2）作 平面 ，则 是正 的中心， （ 1分）
11、连结 ， ， （ 1分） 所以 ， （ 1分） 所以， （ 2分） 考点：（ 1）异面直线所成的角；（ 2）棱锥的体积 设 ，函数 ， （ 1）求函数 的最小正周期和单调递增区间； （ 2）若 ，求 的值 答案：（ 1）周期为 ，单调递增区间是 （ ）；（ 2） 试题分析：（ 1）首先三角函数的问题必须把函数化为 的形式，才能应用正弦函数的知识解决问题，本题中；（ 2）本题中已知条件要化简，待求值的式子也要化简，已知为 ，即为，问题变成已知 ，求一个式子的值，这个式子一般是关于的齐次式，分子分母同时除以 的幂可化为 的式子，当然也可直接把 用 代入化简得出结论，如 试题：（ 1） （ 1分）
12、， （ 2分） 所以，函数 的最小正周期为 （ 2分） 由 （ ），得 （ ），（ 2分） 所以函数 的单调递增区间是 （ ） （ 1分） （ 2）由题意， ， ， （ 1分） 所以， （ 1分） 所以， （ 4分） （中间步骤每步 1分，答案： 2分） 考点： (1)三角函数的周期与单调区间； (2)三角函数的求值问题 已知椭圆 的中心在原点，焦点在 轴上，长轴长为 ，且点 在椭圆 上 （ 1）求椭圆 的方程； （ 2）设 是椭圆 长轴上的一个动点，过 作方向向量 的直线 交椭圆 于 、 两点，求证： 为定值 答案：（ 1） ；（ 2）证明见 试题分析：（ 1）已知椭圆的长轴长，就是已知 ，
13、那么在椭圆的标准方程中还有一个参数 ，正好椭圆过点 ，把这个点的代入椭圆标准方程可求出 ，得椭圆方程；（ 2）这是直线与椭圆相交问题，考查同学们的计算能力，给定了直线的方向向量，就是给出了直线的斜率，只要设动点 的坐标为 ，就能写出直线 的方程，把它与椭圆方程联立方程组，可求出 两点的坐标，从而求出 的值，看它与 有没有关系（是不是常数），当然在求时，不一定要把 两点的坐标直接求出（如直接求出，对下面的计算没有帮助），而是采取设而不求的思想，即设 ， 然后求出 ， ，而再把 用 ， 表示出来然后代入计算，可使计算过程简化 试题：（ 1） 因为 的焦点在 轴上且长轴为 ， 故可设椭圆 的方程为
14、（ ）， （ 1分） 因为点 在椭圆 上，所以 ， （ 2分） 解得 ， （ 1分） 所以，椭圆 的方程为 （ 2分） （ 2）设 （ ），由已知，直线 的方程是 ， （ 1 分） 由 （ *） （ 2分） 设 ， ，则 、 是方程（ *）的两个根， 所以有， ， （ 1分） 所以， （定值） （ 3分） 所以， 为定值 （ 1分） （写到倒数第 2行，最后 1分可不扣） 考点： (1)椭圆的标准方程；（ 2）直线与椭圆相交问题 已知函数 和 的图像关于原点对称，且 （ 1）求函数 的式； （ 2）解不等式 ； （ 3）若函数 在区间 上是增函数，求实数 的取值范围 答案： (1) ； (2)
15、 解集为 ； (3) 试题分析： (1)两个函数的图象关于某点或某条直线对称，一般设待求式的函数图象上任一点的坐标为 ，求出这点的对称点的坐标 ，当然这里是用 表示的式子，然后把点 代入已知式，就能求出结论； (2)这是含有绝对值的不等式，解题时，一般按照绝对值的定义分类讨论以去掉绝对值符号，便于解题； (3) ，这是含参数的二次函数，解题时，首先对二次项系数 分类，即分二次项系数为 0，不为 0，其中 不为 0还要分为是正数，还是负数进行讨论，在二次项系数 不为 0时，只要讨论其对称轴与给定区间的关系就能求得结论 试题：（ 1）设 是函数 图像上任一点，则 关于原点对称的点在函数 的图像上，
16、 （ 1分） 所以 ，故 （ 2分） 所以，函数 的式是 （ 1分） （ 2）由 ，得 ， （ 1分） 即 （ 1分） 当 时，有 ， ，不等式无解； （ 1分） 当 时，有 ， ，解得 （ 2分） 综上，不等式 的解集为 （ 1分） （ 3） （ 1分） 当 时， 在区间 上是增函数，符合题意 （ 1分） 当 时，函数 图像的对称轴是直线 （ 1分） 因为 在区间 上是增函数，所以， 1）当 时， ，函数 图像开口向上，故 ， 解得 ； （ 1分） 2）当 时， ，函数 图像开口向下，故 ，解得 （ 1分） 综上， 的取值范围是 （ 1分） 考点： (1)函数图象的对称问题； (2)含绝对值
17、的不等式； (3)函数的单调性 已知数列 满足 （ ） （ 1）若数列 是等差数列，求它的首项和公差； （ 2）证明：数列 不可能是等比数列； （ 3）若 ， （ ），试求实数 和 的值，使得数列为等比数列；并求此时数列 的通项公式 答案：（ 1）首项为 ，公差为 ；（ 2）证明见；（ 3） ， ， 试题分析：（ 1）这个问题可以用特殊值法，数列 是等差数列，则前 3项也成等差数列，利用它就可求出 ，或者先由已知求出 通项公式，再与等差数列的通项公式比较求出 ，或者假设 是等差数列，则 代入已知，求出 ，然后与其通项公式 比较，得出 ；（ 2）要证数列不是等比数列，只要证明 不能成等比数列即可
18、，但本题条件较少，可用反证法，假设它是等比数列，由 成等比，求出 ，然后再求 ，看是否成等比，如果不成等比，则假设错误，命题得证；（ 3）数列为等比数列，则 是常数，设 ，这是关于 的恒等式， ，于是有对应项系数相等，由此可求出 ，从而得到结论 试题：（ 1）解法一：由已知 ， ， （ 1分） 若 是等差数列，则 ，即 ， （ 1分） 得 ， ， 故 （ 1分） 所以，数列 的首项为 ，公差为 （ 1分） 解法二：因为数列 是等差数列，设公差为 ，则 ， 故 ， （ 1分） ，又 ，所以有 ， （ 1分） 又 ，从而 （ 1分） 所以，数列 的首项为 ，公差为 （ 1分） （ 2）假设数列 是等比数列，则有 ， 即 ， （ 1分） 解得 ，从而 ， ， （ 1分） 又 （ 2分） 因为 ， ， ， 不成等比数列，与假设矛盾， 所以数列 不是等比数列 （ 2分） （ 3）由题意，对任意 ，有 （ 为定值且 ）， 即 （ 2分） 即 ，
