1、2014届上海市普陀区高三上学期 12月月考理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 若 ( )是 所在的平面内的点，且 . 给出下列说法： ； 的最小值一定是 ； 点 、 在一条直线上； 向量 及 在向量 的方向上的投影必相等 . 其中正确的个数是（ ） A 个 . B 个 . C 个 . D 个 . 答案： B 试题分析：由 可得，所以 ，由此可知点 在过点 垂直于 的直线上，所以 “ 点 、 在一条直线上； 向量 及 在向量 的方向上的投影必相等 ”是正确的 . 考点：平面向量 将函数 的图像向右平移 个单位，再向上平移 个单位后得到的函数对应的表达式为 ，则函数 的表达式可以是（ ） A
2、. B . C . D . 答案： C 试题分析：因为 ，所以将其下移一个单位，再向左平移个单位可得到函数 的表达式 . 考点：三角函数图像的平移变换 . 若 和 均为非零实数，则下列不等式中恒成立的是（ ） A . B . C . D . 答案： D 试题分析： 令 ，则 ，于是 ； 令 ，则 ； 令 ，则 ； ，即 ，两边同乘以 得 . 考点：基本不等式 若 和 都是定义在 上的函数，则 “ 与 同是奇函数或偶函数 ”是 “ 是偶函数 ”的（ ） A充分非必要条件 . B必要非充分条件 . C充要条件 . D既非充分又非必要条件 答案： A 试题分析：显然当 与 同是奇函数或偶函数可以得出
3、 是偶函数，而当 是偶函数时，不妨令 ，此时为偶函数， 为偶函数 为奇函数，故 “ 与 同是奇函数或偶函数 ”是 “ 是偶函数 ”的充分非必要条件，答案：选 A. 考点：导数的几何意义 . 填空题 若集合 ， ，则 . 答案： 试题分析：因为 ，,所以 . 考点： 1.不等式的解法； 2.集合的交集 . 已知函数 ，若方程 有且仅有两个解，则实数 的取值范围是 . 答案： 试题分析：如图所示，要使方程 有且仅有两个解，则 即. 考点：函数的图像与零点 . 正三角形 的三个顶点都在半径为 的球面上，球心 到平面 的距离为 ，点 是线段 的中点，过 作球 的截面，则截面面积的最小值为 . 答案：
4、试题分析：如图所示，过 作球 的截面，当截面与 垂直时截面圆最小，根据上图可求得截面圆半径 ，所以面积 . 考点：球体 . 已知全集 ，在 中任取四个元素组成的集合记为，余下的四个元素组成的集合记为 ，若，则集合 的取法共有 种 . 答案： 试题分析：由 可得 时满足要求，当时，需从 选取两个数字之和小于 ，有 种选法；当 时，需从 选取两个数字之和小于 ，有种选法；当 时，需从 选取两个数字之和小于 ，有 种选法；当 时，需从 选取两个数字之和小于 ，有 种选法；当时，需从 选取两个数字之和小于 ，有 种选法；所以共有种取法 . 考点：排列组合 数列 的前 项和为 ，若 （ ），则 . 答案
5、： 试题分析：因为 ，所以于是. 考点：数列求和 . 如图，正四棱柱 的底面边长 ，若直线 与底面所成的角的大小为 ，则正四棱柱 的侧面积为 . 答案： 试题分析：因为直线 与底面 所成的角的大小为 ，所以，于是正四棱柱 的侧面积为 . 考点：正四棱柱的侧面积计算 若函数 ，则不等式 的解集为 . 答案： 试题分析：由 可得 . 考点：不等式的解法 . 设 、 是平面内两个不平行的向量，若 与 平行，则实数 . 答案： 试题分析：不妨假设 ，则 ，因为 ，所以. 考点：平面向量的坐标运算 . 在 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 ， ，则 . 答案： 试题分析：由余弦定理可知 . 考
6、点：余弦定理 . 在 的展开式中，若第 项的系数为 ，则 . 答案： 试题分析：由 可得 . 考点：二项式定理展开式 若圆 的圆心到直线 （ ）的距离为 ，则. 答案： 试题分析：因为 ，所以 . 考点： 1.点到直线的距离公式； 2.极限 . 函数 的反函数 . 答案： 试题分析：由 ，所以. 考点：指数与对数 已知椭圆 的左、右两个焦点分别为 、 ，若经过 的直线 与椭圆相交于 、 两点，则 的周长等于 . 答案： 试题分析： 由 得 ，则 的周长等于. 考点：椭圆的定义 . 数列 中，若 ， （ ），则. 答案： 试题分析：由 可得 ，所以，于是 . 考点： 1.等比数列求和； 2.数列
7、极限 . 解答题 已知点 ，点 在曲线 : 上 . （ 1）若点 在第一象限内，且 ，求点 的坐标； （ 2）求 的最小值 . 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析： (1) 本小题可以通过坐标法来处理，首先根据点 在第一象限内设其 （ ），然后根据两点间距离公式 ，再结合点 在曲线 : 上，联立可解得 ，即点 的坐标为； (2) 本小题根据 (1)中所得 其中 代入可得（ ），显然根据二次函数可知当 时， . 试题：设 （ ） , （ 1）由已知条件得 2分 将 代入上式，并变形得， ，解得 （舍去）或 4分 当 时， 只有 满足条件，所以点 的坐标为 6分 （ 2） 其中 7分 （ ）
8、 10分 当 时， 12分 （不指出 ，扣 1分） 考点： 1.坐标法； 2.二次函数求最值 已知函数 （ ） （ 1）求函数 的最大值，并指出取到最大值时对应的 的值； （ 2）若 ，且 ，计算 的值 . 答案：（ 1）当 时 ；（ 2） . 试题分析：（ 1）本小题首先需要对函数式进行化简变形得，然后根据 求得，结合正弦曲线可得当 时， ，此时； （ 2）本小题首先根据 代入可得 ，利用 可判断，于是求得 ，然后 展开代入求值即可 . 试题：（ 1） 2分 由 得， 4分 所以当 时， ，此时 6分 （ 2）由（ 1）得， ，即 8分 其中 得 10分 所以 11分 13分 14分 考点：
9、 1.三角恒等变换； 2.正弦曲线的图像与性质 . 如图所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体 .开始输液时，滴管内匀速滴下球状液体，其中球状液体的半径 毫米 ,滴管内液体忽略不计 . （ 1）如果瓶内的药液恰好 分钟滴完，问每分钟应滴下多少滴？ （ 2）在条件 (1)下 ,设输液开始后 （单位：分钟），瓶内液面与进气管的距离为 （单位：厘米），已知当 时， .试将 表示为 的函数 .（注 :） 答案：（ 1） ；（ 2） ； 试题分析：（ 1）本小题主要通过题中给出图形与数据求得瓶内液体的体积（两个圆柱体的体积和） ，再计算 滴球状液体的体积 ，然后利用二者相等 ，求得 ； （ 2）本
10、小题任然根据滴管内匀速滴下球状液体体积等于瓶内液体下降的体积，只是需要注意瓶内液体应区分两个圆柱体体积的不同，所以所得为分段函数。 试题：（ 1）设每分钟滴下 （ ）滴， 1分 则瓶内液体的体积 3分 滴球状液体的体积 5分 所以 ，解得 ，故每分钟应滴下 滴。 6分 （ 2）由（ 1）知，每分钟滴下 药液 7分 当 时， ，即 ，此时 10分 当 时， ，即 ，此时 13分 综上可得 14分 考点： 1.几何体体积的计算； 2.分段函数 . 已知数列 中， ， ， . （ 1）证明：数列 是等比数列，并求数列 的通项公式； （ 2）在数列 中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合
11、条件的项；若不存在，请说明理由； （ 3）若 且 ， ，求证：使得 ， ， 成等差数列的点列在某一直线上 . 答案：（ 1）详见；（ 2） ， ， 成等差数列；（ 3）详见 . 试题分析：（ 1）证明一个数列为等比或等差数列，一般都是从定义入手，本小题首先需要将已知条件 变形为 ，由于，则 （常数），然后根据等比数列的定义可知数列 是以 为首项，公比为 的等比数列，即（ ）； （ 2）本小题首先假设在数列 中存在连续三项 ， ， （ ，）成等差数列，则 ，代入通项公式可得 ，即 ， ，成等差数列 . （ 3）本小题首先根据 ， ， 成等差数列，则 ，于是可得，然后通过不定方程的分类讨论可得结论
12、 试题：（ 1）将已知条件 变形为 1分 由于 ，则 （常数） 3分 即数列 是以 为首项，公比为 的等比数列 4分 所以 ，即 （ ）。 5分 （ 2）假设在数列 中存在连续三项成等差数列， 不妨设连续的三项依次为 ， ， （ ， ）， 由题意得， ， 将 ， ， 代入上式得 7分 8分 化简得， ，即 ，得 ，解得 所以，存在满足条件的连续三项为 ， ， 成等差数列。 10分 （ 3）若 ， ， 成等差数列，则 即 ，变形得 11分 由于若 ， 且 ，下面对 、 进行讨论： 若 ， 均为偶数，则 ，解得 ，与 矛盾，舍去； 若 定义在 上的函数 ，如果对任意 ，恒有（ ， ）成立，则称 为
13、 阶缩放函数 . （ 1）已知函数 为二阶缩放函数，且当 时， ，求的值； （ 2）已知函数 为二阶缩放函数，且当 时， ，求证：函数 在 上无零点； （ 3）已知函数 为 阶缩放函数，且当 时， 的取值范围是，求 在 （ ）上的取值范围 . 答案：（ 1） 1；（ 2）详见；（ 3） . 试题分析： (1) 本小题首先利用函数 为二阶缩放函数，所以 ，于是由得， ，由题中条件得； (2)本小题首先对 （ ）时， ，得到，方程或 ， 与 均不属于 ，当（ ）时，方程 无实数解； (3)本小题针对 ， 时，有 ，依题意可得，然后通过分析可得取值范围为 . 试题：（ 1）由 得， 2分 由题中条件得 4分 （ 2）当 （ ）时， ，依题意可得： 6分 方程 或 ， 与 均不属于 8分 当 （ ）时，方程 无实数解。 注意到 所以函数 在 上无零点。 10分 （ 3）当 ， 时，有 ，依题意可得： 当 时， 的取值范围是 12分 所以当 ， 时， 的取值范围是 。 14分 由于 16分 所以函数 在 （ ）上的取值范围是： 。 18分 考点： 1.新定义； 2.函数的单调性 .
