1、2014届上海市闵行区高三三模冲刺文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 下图揭示了一个由区间 到实数集 上的对应过程：区间 内的任意实数 与数轴上的线段 （不包括端点）上的点 一一对应（图一），将线段 围成一个圆，使两端 恰好重合（图二），再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在 轴上，点 的坐标为 （图三） .图三中直线 与轴交于点 ，由此得到一个函数 ，则下列命题中正确的序号是 （ ） ； 是偶函数； 在其定义域上是增函数； 的图像关于点 对称 . A（ 1）（ 3）（ 4） . B（ 1）（ 2）（ 3） . C（ 1）（ 2）（ 4） . D（ 1）（ 2）（ 3）（ 4） . 答案
2、： A 试题分析：由题意得： 对应点 为 ，此时直线 与 轴交于坐标原点，所以 成立，由于函数 定义区间为 ，所以是偶函数不成立，由题意得：直线 与 轴的交点从左到右，因此 在其定义域上是增函数成立，根据直线 与 轴的交点关于原点对称，而由知 的图像关于点 对称成立 . 考点：函数对应关系 一无穷等比数列 各项的和为 ，第二项为 ，则该数列的公比为 （ ） A . B . C . D 或 . 答案： D 试题分析：设公比为 由题意得 消 得解得 或 考点：无穷等比数列各项的和 角 终边上有一点 ，则下列各点中在角 的终边上的点是 （ ） A . B . C . D . 答案： B 试题分析：因
3、为角 终边上有一点 ，所以 因此即角 的终边上的点在第三象限，所以选 C. 考点：三角函数定义 下列函数中，与函数 的值域相同的函数为 （ ） A . B . C . D . 答案： B 试题分析：函数 的值域为 R，而 ，只有 ，所以选 B. 考点：函数值域 填空题 集合 ， ，则 等于 答案： 试题分析：因为 所以结合数轴可得： 考点：集合运算 在直角坐标平面上，有 个非零向量 ，且 ，各向量的横坐标和纵坐标均为非负实数，若 （常数），则 的最小值为 答案： 设角 的终边在第一象限，函数 的定义域为 ，且 ，当 时，有 ，则使等式 成立的的集合为 答案： 试题分析：令 得： ，令 得：，由
4、 得： ，又角 的终边在第一象限，所以 因而 的集合为 . 考点：抽象函数赋值法 设 分别为双曲线 的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点 P，满足 ，则该双曲线的渐近线方程为 答案： 试题分析：设 中点为 M，因为 所以 为 到直线 的距离，即 由 得： ，因此，双曲线的渐近线方程为 ，即 . 考点：双曲线定义，双曲线渐近线 函数 图像的对称中心是 答案： 试题分析：因为函数 为奇函数，对称中心是 ，因此函数图像的对称中心是 . 考点：奇函数性质，图像变换 某班级有 3名学生被复旦大学自主招生录取后，大学提供了 3个专业由这 3名学生选择，每名学生只能选择一个专业，假设每名学生选择每个专业都是
5、等可能的，则这 3个专业中恰有一个专业没有学生选择的概率是 答案： 试题分析： 3名学生选择 ，每名学生各有 3种不同选择，共有 种基本事件，若这 3 个专业中恰有一个专业没有学生选择 ,则必有一个专业有两个学生同时选，另一个专业有一个学生选，即有 因此所求概率为 考点：排列组合 已知实数 满足 ，则目标函数 的取值范围是 答案： 试题分析：可行域表示一个三角形 ABC，其中 当直线过点 A时取最大值 4，过点 B时取最小值 2，因此 的取值范围是 . 考点：线性规划求取值范围 函数 的定义域是 答案： 试题分析：根据偶次根式下被开方数非负得： ，因此函数 的定义域是 . 考点：函数定义域 已
6、知函数 ，则 答案： 试题分析：因为 ，所以 因此考点：反函数 若复数 的实部与虚部相等，则 的值为 答案： 试题分析：因为 ，所以由题意得： 考点：复数概念 若对任意正实数 ，不等式 恒成立，则实数 的最小值为 答案： 试题分析：因为对任意正实数 ，不等式 恒成立，所以，因此 考点：不等式恒成立 等比数列 的前 n项和为 ，已知 成等差数列，则数列 的公比为 答案： 试题分析：设等比数列 的公比为 则由 成等差数列得：，因为 所以 而所以 考点：等比数列 已知平面上四点 ，若 ，则 答案： 试题分析：因为 ，所以 考点：向量表示 如图，水平放置的正三棱柱 的主视图是一边长为 2的正方形，则该
7、三棱柱的左视图的面积为 答案： 试题分析： 左视图为一个矩形，长宽分别为 ，因此面积为 . 考点：三视图 解答题 （本题满分 12分）本题共有 2个小题，第 1小题满分 4分，第 2个小题满分 8分。 已知复数 （ 是虚数单位）在复平面上对应的点依次为 ，点 是坐标原点 . （ 1）若 ,求 的值； （ 2）若 点的横坐标为 ,求 . 答案：（ 1） ，（ 2） 试题分析：（ 1）根据复数与平面上点一一对应关系有： ，从而 ， ，由 得 ， ，（ 2）由 ， 记 ， ， 试题： 解法 1:由题可知： ， ， ， 2分 ，得 ， 4分 解法 2:由题可知： ， ， ， 2分 ， ， 得 4分 (
8、2)解法 1:由 ， 记 ， ， （每式 1分） 6分 ，得 （列式计算各 1分） 8分 （列式计算各 1分） 10分 （列式计算各 1分） 12分 解法 2:由题意得： 的直线方程为 6分 则 即 （列式计算各 1分） 8分 则点 到直线 的距离为 （列式计算各 1分） 10分 又 ， 12分 解法 3: 即 （每式 1分） 6分 即： ， 7分 ， ， 9分 10分 则 （列式计算各 1分） 12分 考点：向量垂直坐标表示，两角差正弦公式 （本题满分 14分）本题共有 2个小题，第 1小题满分 6分，第 2个小题满分 8分。 某加油站拟造如图所示的铁皮储油罐（不计厚度，长度单位：米），其中
9、储油罐的中间为圆柱形，左右两端均为半球形， （ 为圆柱的高， 为球的半径， ） .假设该储油罐的建造费用仅与其表面积有关 .已知圆柱形部分每平方米 建造费用为 千元，半球形部分每平方米建造费用为 3千元 .设该储油罐的建造费用为 千元 . （ 1）写出 关于 的函数表达式，并求该函数的定义域； （ 2）求该储油罐的建造费用最小时的 的值 . 答案：（ 1） ， （ 2） . 试题分析：（ 1）求实际问题函数式，关键正确理解题意，列出正确的等量关系，明确自变量取值范围 . 储油罐的建造费用等于圆柱形部分建造费用与半球形部分建造费用之和， 由 得： ，（ 2）所研究函数是一个关于 的一元二次函数，
10、求其最值关键在于研究对称轴 与定义区间 之间位置关系，上是增函数，所以当 时，储油罐的建造费用最小 . 试题： 解 ： (1） 3分 （ ） 6分 (2) 8分 上是增函数 12分 所以当 时，储油罐的建造费用最小 . 14分 考点：函数式，二次函数最值 （本题满分 14分）本题共有 2个小题，第 1小题满分 6分，第 2个小题满分 8分。 已知 . (1)当 , 时 ,若不等式 恒成立 ,求 的范围； (2)试证函数 在 内存在零点 . 答案：（ 1） ，（ 2）详见 . 试题分析：（ 1）不等式恒成立问题，通常利用变量分离法转化为求最值问题 . 由 , 则 ,不等式 恒成立就转化为，又 在
11、 上是增函数 , ，所以.（ 2）证明判断函数 在 内存在零点，关键利用零点存在性定理 .， 由零点存在性定理有 在 内至少存在一个的零点 . 试题： 解 (1)由 , 则 , 2分 又 在 上是增函数 , 4分 所以 . 6分 (2) 是增函数 ,且 ， 8分 12分 所以 在 内存在唯一的零点 . 14分 考点：不等式恒成立，函数零点 （本题满分 16分）本题共有 3个小题，第 1小题满分 4分，第 2小题满分6分， 第 3小题满分 6分 已知椭圆 过点 ，两焦点为 、 ， 是坐标原点，不经过原点的直线 与椭圆交于两不同点 、 . (1)求椭圆 C的方程； (2) 当 时，求 面积的最大值
12、； (3) 若直线 、 、 的斜率依次成等比数列，求直线 的斜率 . 答案：（ 1） ，（ 2） 1，（ 3） . 试题分析：（ 1）求椭圆标准方程，通常利用待定系数法求解，即只需两个独立条件解出 a,b即可 . 由 及 ，解得 所以椭圆 的方程为.（ 2）解几中面积问题，通常转化为点到直线距离 . 当且仅当 时，等号成立 所以 面积的最大值为 .（ 3）涉及斜率问题，通常转化为对应坐标的运算 . 由 消去 得 : ，因为直线 的斜率依次成等比数列，所以，故 试题： 解 (1)由题意得 ,可设椭圆方程为 2分 则 ，解得 所以椭圆 的方程为 . 4分 （ 2） 消去 得 : 则 6分 设 为点
13、 到直线 的距离 ,则 8分 当且仅当 时，等号成立 所以 面积的最大值为 . 10分 (2) 消去 得 : 12分 则 故 14分 因为直线 的斜率依次成等比数列 所以 ,由于 故 16分 考点：椭圆方程，直线与椭圆位置关系 （本题满分 18分）本题共有 3个小题，第 1小题满分 4分，第 2小题满分6分， 第 3小题满分 8分 如果数列 同时满足：（ 1）各项均为正数，（ 2）存在常数 k, 对任意都成立，那么，这样的数列 我们称之为 “类等比数列 ” .由此各项均为正数的等比数列必定是 “类等比数列 ” .问： （ 1）若数列 为 “类等比数列 ”，且 k (a2-a1)2，求证： a1
14、、 a2、 a3 成等差数列； （ 2）若数列 为 “类等比数列 ”，且 k ， a2、 a4、 a5成等差数列，求的值； （ 3）若数列 为 “类等比数列 ”，且 a1 a， a2 b(a、 b为常数 )，是否存在常数 ，使得 对任意 都成立？若存在，求出 ；若不存在，说明理由 答案：（ 1）详见，（ 2） 或 ，（ 3）试题分析：（ 1）解决新定义问题，关键根据 “定义 ”列条件，当 时，在 中，令 得 即 因为 所以 即 故 成等差数列，（ 2）根据 “定义 ”，将所求数列转化为等比数列 .当 时， ，因为数列的各项均为正数，所以数列 是等比数列，设公比为 因为成等差数列，所以 即 因为
15、所以 ， ,解得 或 (舍去负值 )所以 或 ,（ 3）存在性问题，通常从假设存在出发，列等量关系，将是否存在转化为对应方程是否有解 . 先从必要条件入手，再从充分性上证明：因为所以 所以 即得 所以而 试题： 解 (1)当 时，在 中，令 得 即 2分 因为 所以 即 故 成等差数列 4分 (2)当 时， ，因为数列 的各项均为正数 所以数列 是等比数列 6分 设公比为 因为 成等差数列，所以 即 因为 所以 ， 8分 解得 或 (舍去负值 )所以 或 10分 (3)存在常数 使 （仅给出结论 2分） （或从必要条件入手 ） 证明如下：因为 所以 所以 即 12分 由于 此等式两边同除以 得 14分 所以 即当 相关试题 2014届上海市闵行区高三三模冲刺文科数学试卷（带）
