1、2014届上海市闵行区高三下学期教育质量调研（二模）文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 下列命题中，错误的是（ ） A过平面 外一点可以作无数条直线与平面 平行 B与同一个平面所成的角相等的两条直线必平行 C若直线 垂直平面 内的两条相交直线，则直线 必垂直平面 D垂直于同一个平面的两条直线平行 答案： B 试题分析：按顺序考察，对 ，我们知道，我平面外一点有且只有一个平面与这个平面平行，而那个平面内的所有直线与与这个平面平行，故 正确；对 ，如圆锥的所有母线与底面所成的角都相等，但它们不平行， 错误，故选 是线面垂直的判定与性质定理 考点：线面平行与垂直的判定与性质 已知等差数列 的前 项
2、和为 ，向量 ， ， ，且 ，则用 表示 （ ） A B C D 答案： C 试题分析：由题意 ，所以 ， ， 在同一条直线上，那么由 得 ，且 ，解得选 C 考点：向量中三点共线的性质，向量的线性表示 已知全集 ，集合 ，则 = 答案： 试题分析： ，所以 考点：集合的运算 若曲线 上存在两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的自公切线，下列方程的曲线有自公切线的是（ ） A B C D 答案： C 试题分析： 中曲线方程为 ，曲线是抛物线，没有自公切线， 中方程化简为 时， ， 时， ，此曲线是两段劣圆弧，不存在自公切线， 中曲线如下图，是两个圆弧，相应的两个圆有公切线，即曲线有自公切
3、线，选 C 考点：方程与曲线，曲线的切线 已知集合 ， ,若 “ ”是 “ ”的充分非必要条件，则 的取值范围是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：由题意 ， ，题设条件说明，所以 考点：解不等式，充分必要条件 填空题 有标号分别为 1、 2、 3的蓝色卡片和标号分别为 1、 2的绿色卡片，从这五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且标号之和小于 4的概率是 答案： 试题分析：由题意，从中任取两张卡片的总方法数为 ，颜色不同，标号和小于 4的有：蓝 1、红 1，蓝 1、红 2，蓝 2、红 1共 3种，因此其概率为 考点：古典概型 已知数列 ，对任意的 ，当 时， ；当 时，那么该数列
4、中的第 10个 2是该数列的第 项 答案：（ ） 试题分析：由题意， ， ，由此可得 ， ，故第 10个 2应该是 ，即第 项 考点：数列的通项公式与数列的项 对于函数 ，有下列 4个命题： 任取 ，都有 恒成立； ，对于一切 恒成立； 函数 有 3个零点； 对任意 ，不等式 恒成立 则其中所有真命题的序号是 答案： 试题分析：从函数的定义可知 ， ，因此， 正确；由定义，因此 ， 错误；函数 与 的图象如下图所求，它们有三个交点，因此方程 有 3个解， 正确；对 ，从函数定义或图象可知 ，因此不等式 要成立，必须有 ， ，而当 时， 的最大值为 （ 时取得），故 ），故填 考点：函数的综合应
5、用 答案： 试题分析： 考点：数列的极限 若不等式 对任意正实数 恒成立 ,则正实数 的最小值为 答案： 试题分析： ，因此 最小值为 4 考点：基本不等式 将函数 的图像向右平移 个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则 的最小值等于 答案： 试题分析：函数 的图像向右平移 个单位长度后得函数式为 ，它和 相同，则 ， 最小值为 6 考点：三角函数图象平移，诱导公式 关于方程 的解为 答案： 试题分析：原方程为 ，即 ， ，所以 ， 考点：行列式，指数方程 设 ，向量 ， ，且 ，则 答案： 试题分析：由题意 ， ， ， 考点：向量垂直与向量的模 在 中，若 ， ， ，则 答案： 试题分析：
6、由正弦定理得 ，即 ，解得 考点：正弦定理 若点 位于曲线 与 所围成的封闭区域内 (包括边界 ), 则的最小值为 答案： 试题分析：曲线 与 围成的封闭区域如图 内部（含边界），作直线 ，将直线 向上平移我，当它过点 时， 取得最小值 考点：线性规划 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 答案： 试题分析：本题几何人体体是由同底的圆锥和圆柱放在一起形成的， 考点：三视图，组合体的体积 复数 ( ，且 )，若 是实数，则有序实数对可以是 （写出一个有序实数对即可） 答案： 或满足 的任意一对非零实数对 试题分析： 是实数，则，由于 ，故 考点：复数的概念 已知关于 的不等式 的解集为
7、 ，则实数 的取值范围 答案： 试题分析：由题意 ，解得 考点：一元二次不等式的解集问题，不等式恒成立问题 解答题 如图，在体积为 的正三棱锥 中， 长为 ， 为棱 的中点，求 （ 1）异面直线 与 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （ 2）正三棱锥 的表面积 答案：（ 1） ；（ 2） 试题分析：（ 1）本题求异面直线所成的角，根据定义要把这个角作出来，一般平移其中一条，到与另一条相交为此，题中由于有 的中点 ，因此我们以中点 ，就有 ，那么 就是所求的角（或其补角）；（ 2）要求正三棱锥的表面积，必须求得斜高，由已知体积，可以先求得棱锥的高，取的中心 ，那么 就是棱锥的高，下面只要
8、根据正棱锥的性质（正棱锥中的直角三角形）应该能求得侧棱长或斜高，有了斜高，就能求得棱锥的侧面积了，再加上底面积，就得到表面积了 试题：（ 1）过点 作 平面 ，垂足为 ，则 为 的中心，由得 （理 1分文 2分） 又在正三角形 中得 ，所以 （理 2分文 4分） 取 中点 ，连结 、 ，故 ， 所以 就是异面直线 与 所成的角（理 4分文 6分） 在 中， ， ， （理 5分文 8分） 所以 （理 6分文 10分） 所以，异面直线 与 所成的角的大小为 （理 7分文 12分） （ 2）由 可得正三棱锥 的侧面积为 （理 10分） 所以正三棱锥 的表面积为 （理 12分） 考点：（ 1）异面直线
9、所成的角；（ 2）棱锥的体积与表面积 如图，点 A、 B是单位圆 上的两点，点 C是圆 与 轴的正半轴的交点，将锐角 的终边 按逆时针方向旋转 到 . （ 1）若点 A的坐标为 ，求 的值； （ 2）用 表示 ，并求 的取值范围 . 答案：（ 1） ；（ 2） ， 试题分析：（ 1）已知单位圆上点 的坐标为 ，根据三角函数的定义有，这样我们很快可求得 ，也即求出 的值；（ 2） 在 中，此三角形的两边长为 1， 而，因此只要应用余弦定理就能求得 的长， ，要求其范围，首先求得 的范围，根据已知 ，此时可得 ，那么必有 ， 的范围随之而得， 试题：（ 1）由已知， （ 2分） （ 4分） = .
10、 （ 6分） （ 2） （ 8分） （ 10分） ， ， （ 12分） （ 14分） 考点：（ 1）三角函数的定义与求值；（ 2）余弦定理与三角函数的范围问题 为了寻找马航 残骸 ,我国 “雪龙号 ”科考船于 2014年 3月 26日从港口出发，沿北偏东 角的射线 方向航行，而在港口北偏东 角的方向上有一个给科考船补给 物资的小岛 ， 海里，且 .现指挥部需要紧急征调位于港口 正东 海里的 处的补给船，速往小岛 装上补给物资供给科考船该船沿 方向全速追赶科考船，并在 处相遇经测算当两船运行的航线与海岸线 围成的三角形 的面积 最小时，这种补给方案最优 . （ 1）求 关于 的函数关系式 ； （
11、 2）应征调位于港口正东多少海里处的补给船只，补给方案最优？ 答案：（ 1） ；（ 2） 1400 试题分析：（ 1）本题已知条件可以理解为 是固定的，点 也是不变，直线 过点 ，要求 面积的最小值，根据已知条件，我们用法来解题，以 为坐标原点，向东方向为 正半轴，向北方向为 轴正半轴，建立直角坐标系，则可得直线 的方程为 ，点 坐标为 ，又有点 坐标为 ，可得直线 方程，它与直线 的交点 的坐标可解得，而，这样要求的表达式就可得；（ 2）在（ 1）基础上，其最小值求法，把分式的分子分母同时除以 ，得，分母是关于 的二次函数，最值易求 . 试题：（ 1）以 O点为原点，正北的方向为 y轴正方向
12、建立直角坐标系， （ 1分） 则直线 OZ的方程为 ，设点 A（ x0， y0），则 ，即 A（ 900， 600）， （ 3分） 又 B（ m， 0），则直线 AB的方程为： ， （ 4分） 由此得到 C点坐标为： ， （ 6分） （ 8分） （ 2）由（ 1）知 （ 10分） （ 12分） 所以当 ，即 时， 最小， （或令 ，则 ，当且仅当 时， 最小） 征调 海里处的船只时，补给方案最优 . （ 14分） 考点：法解应用题 . 设椭圆 的中心和抛物线 的顶点均为原点 ， 、 的焦点均在 轴上，过 的焦点 F作直线 ，与 交于 A、 B两点，在 、 上各取两个点，将其坐标记录于下表中：
13、（ 1）求 ， 的标准方程； （ 2）若 与 交于 C、 D两点， 为 的左焦点，求 的最小值； （ 3）点 是 上的两点，且 ，求证： 为定值；反之，当 为此定值时， 是否成立？请说明理由 . 答案：（ 1） ： ；（ 2） ；（ 3）证明见 . 试题分析：（ 1）分析哪些点在椭圆上，哪些点在抛物线上，显然 是椭圆的顶点，因此 ，从而点 是椭圆上的点，另两点在抛物线上，代入它们的标准方程可求得其方程；（ 2） 与 的顶点都是 ，底在同一直线上，因此基、其面积之比为底的比，即 ，这样我们只要求出直线 与已知两曲线相交弦长即可，直线 与曲线 交于两点，其弦长为 ，当然由于直线过圆锥曲线的焦点，弦
14、长也可用焦半径公式表示；（ 3）从题意可看出，只有把 ， 求出来，才能得出结论，为了求 ， ，我们可设 方程为 ，则 方程为，这样 ， 都能用 表示出来，再计算 可得其为定值 ，反之若 ，我们只能设 方程为 ， 方程为，分别求出 ，代入此式，得出 ，如果一定能得到 1，则就一定有 ，否则就不一定有 . 试题：（ 1） 在椭圆上， 在抛物线上， ： （ 4分） （ 2） (理 ) = . 是抛物线的焦点，也是椭圆的右焦点， 当直线 的斜率存在时， 设 ： , ， 联立方程 ，得 ， 时 恒成立 . （也可用焦半径公式得： ） （ 5分） 联立方程 ，得 ， 恒成立 . , （ 6分） = . （
15、 8分） 当直线 的斜率不存在时， ： ， 此时， 已知曲线 的方程为 ，过原点作斜率为 的直线和曲线 相交，另一个交点记为 ，过 作斜率为 的直线与曲线 相交，另一个交点记为 ，过 作斜率为 的直线与曲线 相交，另一个交点记为 ，如此下去，一般地，过点 作斜率为 的直线与曲线 相交，另一个交点记为 ，设点（ ） （ 1）指出 ，并求 与 的关系式（ ）； （ 2）求 （ ）的通项公式，并指出点列 ， ， ，向哪一点无限接近？说明理由； （ 3）令 ，数列 的前 项和为 ，试比较 与的大小，并证明你的结论 答案：（ 1） ；（ 2） ， ；（ 3） . 试题分析：（ 1）由于 ，点 ， 又都是
16、抛物线上的点，代入进去变形可得到 与 的关系为 ；（ 2）由于只要求数列 的奇数项，因此把（ 1）中得到的关系式中 分别为 代换，得到两个等式相减可得 与 的关系式 ，用累加法可求得通项公式 ，当 时， ，即得极限点为 ；（ 3）求出 ，是一个等比数列，其 ，于是，要比较 与 的大小，只要比较 与 的即可，可计算前几个数 ， 时， ， 时， ，时， ， 时， ，可以归纳出结论， 时有，这个可用二项式定理证明，由于 ，展开式中至少有 4项，因此. 试题：（ 1） （ 1分） 设 ， ，由题意得 （ 2分） （ 4分） （ 2）分别用 、 代换上式中的 n得 ( ) （ 6分） 又 ， ， （ 8分） 因 ，所以点列 ， ， ， ， 向点 无限接近 . （ 10分） （ 3） ， （ 12分） ，只要比较 （ 13分） （ 15分） 当 n=1时， （ 16分） 当 n=2时， （ 17分） 当 n2时， &nb
