1、2014届上海市静安区高三上学期期末考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知函数 是定义在实数集 上的以 2 为周期的偶函数，当 时，.若直线 与函数 的图像在 内恰有两个不同的公共点，则实数 的值是 ( ) A 或 ； B 0； C 0或 ；D 0或 . 答案： D 试题分析：根据已知可得函数 ，在直角坐标系中作出它的图象，如图，再作直线 ，可见当直线 与抛物线 相切时，或者直线 过原点时，符合题意，此时 或 . 考点：函数的性质（偶函数，周期函数），直线与函数图象的交点 . 已知函数 的值域是 ，则实数 的取值范围是 ( ) A ； B ； C ； D . 答案： C 试题分析：二次
2、函数 的图象是开口向下的抛物线，最大值为 4，且在 时取得，而当 或 时， ，（也可考虑 在 是单调递增，在 上单调递减），故本题中 的取值范围是 . 考点：二次函数的的值域 . 已知命题 ：如果 ，那么 ；命题 ：如果 ，那么 ；命题 ：如果 ，那么 .关于这三个命题之间的关系，下列三种说法正确的是 ( ) 命题 是命题 的否命题，且命题 是命题 的逆命题 . 命题 是命题 的逆命题，且命题 是命题 的否命题 . 命题 是命题 的否命题，且命题 是命题 的逆否命题 . A ； B ； C D 答案： A 试题分析：本题考查命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题的
3、条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得，故 正确， 错误， 正确，选 A. 考点：四种命题 . “ ”是 “直线 与直线 互相垂直 ”的 ( ) A充要条件； B充分不必要条件； C必要不充分条件； D既不充分也不必要条件 . 答案： B 试题分析：本题考查两条直线垂直的判定，直线 与直线互相垂直的充要条件是 ，即 或 ，故本题应该选 B. 考点：两直线垂直的充要条件 . 填空题 已知集合 ， ，则 . 答案： 试题分析：本题中集合的元素是曲线上的点，因此 中的元素是两个曲线的交点，故我们解方程组 ，得 或 ，所以 考点：集合的运算 已知不等式 的解集为 ，
4、则 ，且 的值为 . 答案： 4 试题分析：设 ， 最小值为 1，因此 (如果 ，则的解集由两个区间构成 )，于是有 ，而由 得，或 ，而函数 的对称轴为 ，故只能有 ，变样 ，得 (另一解舍去 )，所以 考点：二次函数与一元二次不等式 若圆 与圆 的两个交点始终为圆 的直径两个端点，则动点 的轨迹方程为 . 答案： 试题分析：本题是圆与圆相交问题，从已知可知圆 的直径是圆 的弦，从而弦心距也即圆心距为 1故有 考点：圆与圆相交，圆的性质 已知椭圆 ，过椭圆 上一点 作倾斜角互补的两条直线 、 ，分别交椭圆 于 、 两点 .则直线 的斜率为 . 答案： 试题分析：这题有一定的难度，考查的直线与
5、圆锥曲线相交问题，考查同学们的计算打理能力，当然在解题时注意过程的简捷性，设 ，同时设 的方程为 ，代入椭圆方程化简得：，显然 和 是这个方程的两解，因此， ，用 代替 中的 ，得， 所以 考点：直线与圆锥曲线相交，直线的斜率 已知 ，且 ，则 的值用 表示为 . 答案： 试题分析：本题关键是选用适当的公式，由于 ，则 ，所以 ， ，因此 考点：三角函数求值问题 设某抛物线 的准线与直线 之间的距离为 3，则该抛物线的方程为 . 答案： 或 试题分析：与直线 之间的距离为 3的直线有 和 ，而抛物线的准线方程是 ，因此有 或 ，即 或 考点：抛物线的标准方程与准线 如图，平面内有三个向量 、
6、、 ，其中 与 的夹角为 120，与 的夹角为 30，且 | | | | 2， | | ，若 + （ 、 R），则 +的值为 . 答案： 试题分析：由已知根据向量数量积的定义可得 ， ，为了求 ，我们把已知条件 两边分别乘，得 ，即 ，所以 考点：平面向量基本定理，向量的数量积 已知 ， ，则 的值是 . 答案： 试题分析：先由 ，结合 的范围，求出 ，再利用两角和的正切公式可得 考点：已知一个三角函数值，求其他三角函数值；两角和的正切公式 当 时，函数 的值恒大于 1，则实数 的取值范围是 . 答案： 试题分析：这应该是一个指数函数，当 时，函数值恒大于 1，则底数应该大于 1，即 ，从而有
7、 考点：指数函数的性质 关于未知数 的实系数一元二次方程 的一个根是 （其中为虚数单位），写出一个一元二次方程为 . 答案： 试题分析：根据的性质，实系数方程在复数范围的虚数根成对出现，因此方程还有一个根为 ，由此可知 ， 考点：实系数方程的复数解 某班有 38人，现需要随机抽取 5人参加一次问卷调查，抽到甲同学而未抽到乙同学的可能抽取情况有 种 . （结果用数值表示） 答案： 试题分析：甲乙是两个特殊的元素，甲抽到了，而乙未抽到，因此还要从余下的 36人中抽 4人，共有 种抽法 考点：组合 不等式 的解集是 . 答案： 试题分析：解含绝对值的不等式可以分类讨论，当 即 时，不等式变为 得 ，
8、因此 ；当 即 时，不等式变为得 ，因此 ，所以原不等式的解是把所得两个集合合并得 考点：解含绝对值的不等式 若 （其中 、 为有理数），则 . 答案： 试题分析：应用二项式定理把 展开化简即可得， 考点：二项式定理 已知方程 ，则当 时，用列举法表示方程的解的集合是 . 答案： 试题分析：此题可用解三角函数的一般方法，原方程可化为，即 ，也可把方程两边平方得，即 考点：解三角方程 解答题 九章算术是我国古代数学成就的杰出代表 .其中方田章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积 = （弦 矢 +矢 2） .弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中 “弦 ”指圆弧所对弦长， “矢 ”等于
9、半径长与圆心到弦的距离之差 . 按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差 .现有圆心角为，弦长等于 9米的弧田 . （ 1）计算弧田的实际面积； （ 2）按照九章算术中弧田面积的经验公式计算所得结果与（ 1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米？（结果保留两位小数） 答案： (1) ( )； (2)少 试题分析： (1)本题比较简单，就是利用扇形面积公式 来计算弧田面积，弧田面积等于扇形面积 对应三角形面积 (2)由弧田面积的经验计算公式计算面积与实际面积相减即得 试题： (1) 扇形半径 ， 2分 扇形面积等于 5分 弧 田面积 = （ m2） 7分 （ 2）圆心到弦的距离等于
10、 ，所以矢长为 .按照上述弧田面积经验公式计算得 （弦 矢 +矢 2） = . 10分 平方米 12分 按照弧田面积经验公式计算结果比实际少 1.52平米 . 考点： (1)扇形面积公式； (2)弧田面积的经验计算公式 （ 1）设 、 是不全为零的实数，试比较 与 的大小； （ 2）设 为正数，且 ，求证：. 答案： (1) ； (2)证明见 试题分析： (1)比较两个数的大小，一般是用作差法，下面就是确定 与 0的大小，是一个二次三项式，因此我们可用配方法配方，由于 不全为零，因此 ，从而有；另外本题实质是比较 与 的大小，想到基本不等式，有( 时取等号 )，而 ，再讨论下等号能否成立即可；
11、 (2)这是条件不等式的证明，而且已知与求证式都是对称式，因此大胆想象等号成立时，各字母应该相等，事实上也正是在 时取等号，接下来考虑不等式的证明，关键是条件怎么应用，这里我们偿试把 中的分子的 1全部用 代换 ，有，把这个分式展开重新分组为 ，下面易证 试题：（ 1）解法 1： - = = 3分 因为 、 是不全为零的实数，所以 ，即 。 6分 解法 2：当 时， ； 2分 当 时，作差： ； 又因为 、 是不全为零的实数，所以当 时， 。 综上， 。 6分 （ 2）证明：当 时，取得等号 3。 7分 作差比较： 所以， 14分 考点： (1)比较两个实数的大小； (2)条件不等式的证明 已
12、知双曲线 （其中 ） . （ 1）若定点 到双曲线上的点的最近距离为 ，求 的值； （ 2）若过双曲线的左焦点 ，作倾斜角为 的直线 交双曲线于 、 两点，其中 ， 是双曲线的右焦点 .求 的面积 . 答案： (1) 或 ； (2) 试题分析： (1)本题涉及两点间距离，因此我们设双曲线上任一点为 ，这样可表示出距离的平方 ，注意到双曲线上的点 满足 ，故要对 进行分类讨论以求最小值； (2)设 ，由于 ，因此 ，而 可以用直线 方程与双曲线方程联立方程组，消去 可得 的一元二次方程，从这个方程可得 ，从而得三角形面积 试题：（ 1）设点 在双曲线上，由题意得：。 由双曲线的性质，得 。 1分
13、 （ i）若 ，则当 时， 有最小值。最小值 ，所以 。 3分 （ ii）若 ，则当 时， 有最小值，此时 ，解得 。 6分 （ 2） ， ，直线 与 轴垂直时， ，此时， 的面积 = . 7分 直线 与 轴不垂直时，直线 方程为 ， 8分 设 ， 解法 1：将 代入双曲线方程，整理得：，即 10分 所以， 11分 = . 14分 解法 2：将 代入双曲线方程，整理得： ， 10分 ， ， 11分 点 到直线 距离 ， 的面积 = . 14分 考点： (1)定点到双曲线上点的最短距离； (2)直线与双曲线相交弦长及三角形面积 设无穷数列 的首项 ，前 项和为 （ ），且点在直线 上（ 为与 无
14、关的正实数） （ 1）求证：数列 （ ）为等比数列； （ 2）记数列 的公比为 ，数列 满足 ，设 ，求数列 的前 项和 ； （ 3）（理）若（ 1）中无穷等比数列 （ ）的各项和存在，记，求函数 的值域 . 答案： (1)证明见； (2) ； (3) 试题分析： (1)把已知条件变形为 ，要化为数列项的关系，一般方法是用 代 得 ，两式相减，得，从而得前后项比 为常数，只是还要注意看看是不是有 ，如有则可证得 为等比数列； (2)由 定义可知数列是等差数列， ( 是数列 公差 )，从而数列 也是等差数列，其前 和易得，这说明我们在求数列和时，最好能确定这个数列是什么数列； (3)首先无穷等比
15、数列 的和存在说明公比满足 ，从而得出 ，无穷等比数列的和公式得 ，这是一次分式函数，其值域采用分离分式法，即 ，易得 试题：（ 1）由已知，有 ， 当 时， ； 2分 当 时，有 ， 两式相减，得 ，即 ， 综上， ，故数列 是公比为 的等比数列； 4分 （ 2）由（ 1）知， ，则 于是数列 是公差 的等差数列，即 ， 7分 则 = 10分 （ 3）（理）由 解得： 。 12分 14分 ，当 时， ，函数 的值域为 。 16分 考点： (1)数列的前 项和 与 的关系，等比数列的定义； (2)等差数列的前项和； (3)无穷等比数列的和及一次分式函数的值域 已知函数 （其中 且 ）， 是 的
16、反函数 . （ 1）已知关于 的方程 在区间 上有实数解，求实数 的取值范围； （ 2）当 时，讨论函数 的奇偶性和增减性； （ 3）设 ，其中 .记 ，数列 的前 项的和为（ ）， 求证： . 答案： (1) ； (2)奇函数，减函数； (3)证明见 试题分析： (1)这是一个对数方程，首先要转化为代数方程，根据对数的性质有，从而有 ，方程在 上有解，就变为求函数 在 上的值域，转化时注意对数的真数为正； (2)奇偶性和单调性我们都根据定义加以解决； (3) ， ，要证明不等式成立，最好是能把和 求出来，但看其通项公式 ，这个和是不可能求出的，由于我们只要证明不等式，那么我们能不能把 放缩后
17、可求和呢？ ，显然，即 ，左边易证，又由二项式定理 ，在 时， ，所以，注意到 ，至此不等式的右边可以求和了， ，得证 试题：（ 1） 转化为求函数 在 上的值域， 该函数在 上递增、在 上递减，所以 的最小值 5，最大值 9。所以的取值范围为 。 4分 （ 2） 的定义域为 ， 5分 定义域关于原点对称，又 ， ，所以函数 为奇函数。 6分 下面讨论在 上函数的增减性 . 任取 、 ，设 ，令 ，则 ，所以 因为 ， ， ，所以 . 7分 又当 时， 是减函数，所以 .由定义知在上函数是减函数 . 8分 又因为函数 是奇函数，所以在 上函数也是减函数 . 9分 （ 3） ； 10分 因为 ， ，所以 ， 。 11分 设 ， 时，则 ， 12分 且 ， 13分 由二项式定理 ， 14分 所以 ， 从而
