1、2014届上海市高三八校联合调研考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 等差数列 的公差 ， ，前 项和为 ，则对正整数 ，下列四个结论中： （ 1） 成等差数列，也可能成等比数列； （ 2） 成等差数列，但不可能成等比数列； （ 3） 可能成等比数列，但不可能成等差数列； （ 4） 不可能成等比数列，也不可能成等差数列； 正确的是（ ） A（ 1）（ 3） . B（ 1）（ 4） . C（ 2）（ 3） . D（ 2）（ 4） . 答案： D 试题分析：根据等差数列的性质， ， ，因此 (1)错误， (2)正确，由上显然有 ， ， ，故 (3)错误， (4)正确即填 (2)(4) 考点：等
2、差数列的前 项和，等差数列与等比数列的定义 已知 、 、 是单位圆上三个互不相同的点 .若 ，则 的最小值是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：记单位圆的圆心为 ，由于 ，则 与 同向，可见 最小值为 ， ( 时，取得最小值 )选C 考点：向量的数量积 直线 的法向量是 . 若 ，则直线 的倾斜角为 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：直线 的法向量为 ，方向向量为 或，而其斜率为 ，因此本题中直线斜率为 ， (为直线的倾斜角 )，由于 ， ，所以 ，选 B 考点：直线方程与法向量，直线的倾斜角与斜率 函数 的反函数是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：求反函数，
3、除了求式以外，还要求出定义域，即原函数的值域由得 ，又 ，所以 ，另外当 时， ，因此所求反函数为 D 考点：求反函数 填空题 在复平面上，复数 对应的点到原点的距离为 答案： 试题分析：复平面上复数 对应的点到原点的距离就是它的模，而，本题不需要把复数化简为 形式 . 考点：复数的模 . 已知 “ ”为 “ ”的一个全排列设 是实数，若“ ”可推出 “ 或 ”，则满足条件的排列 “ ”共有 _个 答案： 试题分析：解决本题问题要考虑清楚在排列中， 有哪些要求，假如 ，则命题若 “ ”可推出 “ 或”为 ，从这方面考虑，我们把 作为一组数， 为一组数， 为一组数， 显然不能取 中的任何一个，下
4、面我们用列举法列举出各种可能： a,b c,d e,f 排列数 a,b相邻 2,3 1,4,5,6任意排列 4,5 1,2,3,6任意排列 3,4 1,5 2,6 1,6 2,5 2,6 1,5 相关试题 2014届上海市高三八校联合调研考试理科数学试卷（带） 免责声明 联系我们 地址：深圳市龙岗区横岗街道深峰路3号启航商务大厦5楼 邮编：518000 2004-2016 21世纪教育网 粤ICP备09188801号 粤教信息 (2013)2号 工作时间 : AM9:00-PM6:00 服务电话 : 4006379991 将 的图像向右平移 2个单位后得曲线 ，将函数 的图像向下平移 2个单位
5、后得曲线 ， 与 关于 轴对称若的最小值为 且 ，则实数 的取值范围为 答案： 试题分析：首先应求出 的表达式，曲线 对应的函数式为 ，曲线 与 关于 轴对称，因此 的函数式为 ，向上平移 2个单位，就是函数 的图象，则 .，其最小值大于 ，说明函数的最小值大于 .下面观察函数，若 ，则当 时， ， 无最小值，同理当时， 时 ， ， 无最小值，因此， ，当且仅当 时等号成立，即 最小值为 ，从而，解得 . 考点：图象的变换，函数的最小值，解不等式 . 已知直线 与抛物线 相交于 、 两点， 为抛物线的焦点若 ，则实数 答案： 试题分析：如下图， 是抛物线的准线，直线 过准线与 轴的交点 ，作
6、， 是垂足，则 ，由于，所以 ，设 ，则 ，再由抛物线方程 得 ，代入直线方程可得 ，所以有 ， ，由 解得. 考点：直线和圆锥曲线相交问题 . 某地球仪上北纬 纬线长度为 cm，该地球仪的表面上北纬 东经对应点 与北纬 东经 对应点 之间的球面距离为 cm（精确到 0.01） 答案： 试题分析：如下图球 中， 是北纬 纬线圈的圆心， ， ， ， ，在 中， 两点间的球面距离即 所对的大圆弧长为 约等于 考点：球面距离 已知数列 的首项 ，其前 n项和为 若 ，则 答案： 试题分析：已知数列的前 项和 的关系，要求项 ，一般把已知中的 用 代换得 ，两式相减得 ，又 ， ，所以数列 从第二项开
7、始成等比数列，因此其通项公式为 考点：数列的前 项和 与项 的关系，数列通项公式 在 中， 所对边分别为 、 、 若 ，则 答案： 试题分析：三角形中问题在解决时要注意边角的互化，本题求角，可能把边化为角比较方便，同时把正切化为正弦余弦，由正弦定理可得 ，所以有，即 ，在三角形中 ，于是有 ， ， 考点：解三角形 已知函数 的最小正周期是 ，则 答案： 试题分析：要把函数式化简为 或 的形式，本题中 ，因此其最小正周期为 ， . 考点：三角函数的周期 . 向量 在向量 方向上的投影为 答案： 试题分析：向量投影的定义是，向量 在向量 方向上的投影是 ，它还等于 ，故所求投影为 . 考点：向量的
8、数量积与投影 . 已知正数 满足 ，则行列式 的最小值为 答案： 试题分析：首先把行列式化简为普通代数式，又 ，即 ，所以 ，当且仅当 时等号成立，故最小值为 3. 考点：行列式的定义与基本不等式 . 阅读下边的程序框图，如果输出的函数值 在区间 内，则输入的实数的取值范围是 答案： 试题分析：本题程序框图所反映的数学问题就是当函数 的值域为 时，求定义域 . ， ， . 考点：程序框图与函数的定义域 . 设 是一元二次方程 的两个虚根 .若 ，则实数 答案： 试题分析：复数范围一元二次的韦达定理仍然适用，因此一定有 ，故， ，又实系数二次方程有虚根，从而 ，即 ，所以 同 . 考点：实系数一
9、元二次方程根的判别式与韦达定理 . 集合 ， 若 “a 1”是 “ ”的充分条件， 则实数 b的取值范围是 答案： 试题分析： “a 1”是 “ ”的充分条件的意思是说当 时， ，现在 ， ，由 得 或 ，即 或 ，所以 的范围是 . 考点：充分条件，解不等式 . 已知椭圆的焦点在 轴上，一个顶点为 ，其右焦点到直线的距离为 ，则椭圆的方程为 答案： 试题分析：据题意，椭圆方程是标准方程， ，右焦点为 ，它到已知直线的距离为 ， ，所以 ，椭圆方程为 . 考点：椭圆的标准方程 . 解答题 在直三棱柱 中 , , ，求： （ 1）异面直线 与 所成角的大小； （ 2）直线 到平面 的距离 答案：
10、 (1) ； (2) 试题分析： (1)求异面直线所成的角，就是根据定义作出这个角，当然异面直线的平移，一般是过其中一条上的一点作另一条的平行线，特别是在基本几何体中，要充分利用几何体中的平行关系寻找平行线，然后在三角形中求解，本题中 ， 就是我们要求的角 (或其补角 )； (2)直线 到平面的距离等于直线 上的任一点 (如 )到平面 的距离，而点 到平面的距离可以看作是三棱锥 底面 上的高，这样可以用体积法求出这个距离，下面关键就是看三棱锥 的体积能否很快求出，事实上本题中三棱锥 的体积是三棱柱体积的 ，因此高 (距离 )易求 试题：（ 1）因为 ，所以 （或其补角）是异面直线 与所成角 .
11、 1分 因为 , ,所以 平面 ，所以 . 3分 在 中 , ,所以 5分 所以异面直线 与 所成角的大小为 6分 （ 2）因为 /平面 所以 到平面 的距离等于 到平面 的距离 8分 设 到平面 的距离为 ， 因为 ，所以 10分 可得 11分 直线 与平面 的距离为 12分 考点： (1)异面直线所成的角； (2)直线到平面的距离 已知 ，其中 是常数 （ 1）若 是奇函数，求 的值； （ 2）求证： 的图像上不存在两点 A、 B，使得直线 AB平行于 轴 答案： (1) ； (2)证明见 试题分析： (1)奇函数的问题，可以根据奇函数的定义，利用 来解决，由于本题中有对数符号，有根式，因
12、此根据 求出 后，最好能再求出函数的定义域，验证下它是奇函数； (2)要证明函数 的图像上不存在两点 A、 B，使得直线 AB平行于 轴，即方程 不可能有两个或以上的解，最多只有一个解，由于 表达式不太简便，因此我们可以从简单的方面入手试试看，看 是不是单调函数，本题函数正好能根据 单调性的定义证明此函数是单调函数，故本题结论得证 试题：（ 1）解法一：设 定义域为 ,则： 因为 是奇函数，所以对任意 ，有 ， 3分 得 . 5分 此时， ， ，为奇函数。 6分 解法二：当 时，函数 的定义域不关于原点对称，函数不是奇函数 . 2分 当 时，函数 的定义域是一切实数 . 3分 要使得函数是奇函
13、数，则 对 成立。 5分 所以 6分 （ 2）设定义域内任意 ，设 9分 当 时，总有 ， ，得 ； 11分 当 时， ，得 。 故总有 在定义域上单调递增 13分 的图像上不存在两点，使得所连的直线与 轴平行 14分 考点： (1)函数的奇偶性； (2)函数的单调性与方程的解 如图，制图工程师要用两个同中心的边长均为 4的正方形合成一个八角形图形由对称性，图中 8个三角形都是全等的三角形，设 （ 1）试用 表示 的面积； （ 2）求八角形所覆盖面积的最大值，并指出此时 的大小 答案： (1) ； (2) 时面积的最大值为 试题分析： (1)要求 的面积，关键是求出两直角边长，因此我们要把这两
14、直角边与正方形的边长联系起来，由已知， ，从而直的三边长之和为正方形的边长 4，所以 的边长可以用 表示，也就求出了它的面积； (2)由 (1) ，要求这个式子的最大值，我们要用换元法变形，这里我们设 ，则 ，于是 就变为 的代数函数 ，不能忘记的是 的范围是 ，时 取最大值 试题：（ 1）设 为 , ， ， 3分 , ， 7分 （ 2）令 ， 9分 只需考虑 取到最大值的情况，即为 ， 11分 当 , 即 时 , 达到最大 13分 此时八角形所覆盖面积的最大值为 14分 考点： (1)方程与三角形面积； (2)换元法与三角函数的最大值 已知点 、 为双曲线 ： 的左、右焦点，过 作垂直于轴的
15、直线，在 轴上方交双曲线 于点 ，且 圆 的方程是 （ 1）求双曲线 的方程； （ 2）过双曲线 上任意一点 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为 、，求 的值； （ 3）过圆 上任意一点 作圆 的切线 交双曲线 于 、 两点，中点为 ，求证： 答案： (1) ； (2) ； (3)证明见 试题分析： (1)从双曲线方程中发现只有一个参数，因此我们只要找一个关系式就可求解，而这个关系式在 中， ， ，通过直角三角形的关系就可求得 ； (2)由 (1)知双曲线的渐近线为，这两条渐近线在含双曲线那部分的夹角为钝角，因此过双曲线上的点 作该双曲线两条渐近线的垂线 ， 为锐角，这样这题我们只要认真计
16、算，设 点坐标为 ，由点到直线距离公式求出距离 ，利用两条直线夹角公式求出 ，从而得到向量的数量积 ； (3)首先 等价于 ，因此设 ，我们只要证，而 可以由切线的方程 与双曲线方程联立方程组得到，再借助切线方程得到 ，验证下是否有 ，注意上述情形是在 时进行的，而 时，切线为 或 ，直接验证即可 试题：（ 1）设 的坐标分别为 因为点 在双曲线 上，所以 ，即 ，所以 在 中 ， ， ，所以 2分 由双曲线的定义可知： 故双曲线 的方程为： 4分 （ 2）由条件可知：两条渐近线分别为 5分 设双曲线 上的点 ，设两渐近线的夹角为 ，则 则点 到两条渐近线的距离分别为 7分 因为 在双曲线 ：
17、 上，所以 又 ， 所以 10分 （ 3）由题意，即证： 。 设 ，切线 的方程为： 11分 当 时，切线 的方程代入双曲线 中，化简得： 所以： 又 13分 所以 15分 当 时，易知上述结论也成 在等差数列 和等比数列 中， ， ， 是前 项和 （ 1）若 ，求实数 的值； （ 2）是否存在正整数 ，使得数列 的所有项都在数列 中？若存在，求出所有的 ，若不存在，说明理由； （ 3）是否存在正实数 ，使得数列 中至少有三项在数列 中，但 中的项不都在数列 中？若存在，求出一个可能的 的值，若不存在，请说明理由 答案： (1) ； (2)存在， ； (3)存在， (答案：不唯一 ) 试题分析
18、： (1)数列 是等比数列，其前 和的极限存在，因此有公式 满足，且极限为 ； (2)由于 是正整数，因此可对 按奇偶来分类讨论，因此当 为奇数时，等比数列 的公比不是整数，是分数，从而数列 从第三项开始每一项都不是整数，都不在数列 中，而当 为偶数时，数列 的所有项都在 中，设 ，则 ， 展开有，这里用到了二项式定理，结论为真； (3)存在时只要找一个 ，首先 不能为整数，下面我们只要写两数列的通项公式，让 ，取特殊值求出 ，如取，可得 ，此时 在数列 中，由于 是无理数，会发现数列 除第一项以外都是无理数，而 是整数，不在数列 中，命题得证， (如取其它的 又可得到另外的 值 ) 试题：（ 1）对等比数列 ，公比 因为 ，所以 分 解方程 ， 分 得 或 因为 ，所以 分 （ 2）当 取偶数 时， 中所有项都是 中的项 8分 证 : 由题意： 均在数列 中， 当 时， 说明 的第 n项是 中的第 项 10分 当 取奇数 时，因为 不是整数， 所以数列 的所有项都不在数列 中。 12分 综上，所有的符合题意的 。 （ 3）由题意，因为 在 中，所以 中至少存在一项 在中，另一项 不在 中。 14分 由 得 相关试题 2014届上海市高三八校联合调研考试理科数学试卷（带）
