1、2014届吉林省吉林市高三开学摸底考试文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 设集合 U=0， l， 2， 3， 4， 5， 6， M =l， 3， 5， N=4， 5， 6，则=（ ） A 0， 2， 4， 6 B 4, 5， 6 C 4, 6 D 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 答案： C 试题分析：易知 考点：集合的运算 设函数 的最小值为 ，则实数 的取值范围是（ ） A B C D 答案： A. 试题分析：由题意，当 时，函数 有最小值为 ，则当 时， ，即 考点：分段函数 . 已知双曲线 的右焦点 F，直线 与其渐近线交于A， B两点，且 为钝角三角形，则双曲线离心率的取值范
2、围是（ ） A（ ） B（ 1， ） C（ ） D（ 1， ） 答案： D. 试题分析：由题意设直线 与 轴的交点为 D，因三角形 ABF为钝角三角形，且 与 相等，则 ，又因 ，双曲线的渐近线方程为 ，可得 A、 B两点坐标分别为 、 ，所以 ，即 ， 则 ，即 . 考点：双曲线的性质 . 已知数列 ， ，若该数列是递减数列，则实数 的取值范围是（ ） A B C D 答案： A. 试题分析：数列 的通项公式是关于 的二次函数，若数列是递减数列，则 ， 即 考点：数列的性质 . 右图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于（ ） A B C D 答案： B 试题分析：由四棱锥的三视图可知，
3、此四棱锥的底面表面积为 ，垂直底面的侧面面积为 ；左右两个侧面的面积和为；另一个侧面的面积为 ，所以四棱锥的表面积为 考点：四棱锥的三视图及表面积的求法 . 已知向量 ，向量 ，且 ，则 的值是（ ） A B C D 答案： C. 试题分析： ， ，即得 考点：向量的坐标运算 . 直线 和圆 的位置关系是（ ） A相离 B相切 C相交不过圆心 D相交过圆心 答案： A 试题分析：圆 O的圆心坐标为 ，根据点到直线的距离公式得圆心到已知直线的距离为： ，所以直线与圆的位置关系为相离 考点：直线与圆的位置关系 . 设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，有下列四个命题： 若 ； 若 ； 若 ；
4、若 其中正确命题的序号是（ ） A B C D 答案： D. 试题分析：根据题意若 ，则 或 ，故 错误；若，则 ，故 正确；若 ，则 ，又 ，所以 ，故 正确；若 ，则 或 ，故 不正确 . 考点：线面关系和面面关系 . 如图 . 程序输出的结果 s=132 , 则判断框中应填（ ） A i10 B i11 C i11 D i12 答案： B. 试题分析：由题意知当 时， ；当 时， ；当 时，此时应输出 s，则判断框中应填 . 考点：程序框图 . ，若 ，则 （ ） A 0 B 3 C D 答案： A. 试题分析： ，即 ， . 考点：三角函数的性质 . 抛物线 的焦点坐标是（ ） A（
5、2， 0） B（ 0， 2） C（ l， 0） D（ 0， 1） 答案： D 试题分析：由题意易知 ，抛物线的焦点坐标为 ，即 考点：抛物线的性质 . 设 i为虚数单位，则复数 =（ ） A B C D 答案： A 试题分析： 考点：复数的运算 . 填空题 下列说法： “ ，使 3”的否定是 “ ，使 3”； 函数 的最小正周期是 ； “在 中，若 ，则 ”的逆命题是真命题； “ ”是 “直线 和直线 垂直 ”的充要条件； 其中正确的说法是 （只填序号） . 答案： . 试题分析： “ ，使 ”的否定是 “不存在 ，使 ”，即 “ ，使 ”，故 正确；函数 的最小正周期是 ，故 正确； “在
6、中，若 ，则 ”的逆命题为 “在 中，若 ，则 ”是真命题，故 正确；对于 ，由两直线垂直，可得，即 或 ，则 错误 考点：全称命题、三角函数的性质和直线与直线垂直的充要条件 . 边长是 的正 内接于体积是 的球 ，则球面上的点到平面的最大距离为 . 答案： . 试题分析：根据题意球 O的体积为 ，即 ，设 的中心为 D，则球心 O到 的距离为，所以球面上的点到平面的最大距离为 考点：球心到球截面的距离的算法 . 设变量 满足约束条件 ，则 的最大值是 . 答案： . 试题分析：变量 的线性约束区域如下图中 阴影部分所示，则目标函数经过 B（ 2,3）点时取得最大值，最大值为 2+3=5. 考
7、点：线性规划 . 在 中，角 所对的边分别为 ，已知 ， ，则 = . 答案： . 试题分析：根据题意在 中，由余弦定理得 ，即. 考点：余弦定理 . 解答题 在锐角 中， . （ ）求角 的大小； （ ）求 的取值范围 . 答案：（ ） ；（ ） . 试题分析：（ ）在锐角 中，先化简 .即可得角 A；（ ）根据（ I）结论，先化简三角函数式，再由锐角三角形 ABC分析得函数式的取值范围 . 试题：（ ）由题意： 即 ， 3分 ， 即 . 5分 （ ）由（ 1）知： . （ 7分） 为锐角三角形， ， ， ，又 ， ， （ 8分） . （ 10分） 考点： 1、三角函数的二倍角公式； 2、三
8、角函数运算 . 公差不为零的等差数列 中， ，又 成等比数列 . （ ）求数列 的通项公式； （ ）设 ，求数列 的前 n项和 . 答案：（ ） ；（ II） . 试题分析：（ ）设公差为 d（ d ），由已知得：， ，又因为 ，所以 ，从而得通项公式；（ II）由（ 1）得 ，因为 ，知数列 为等比数列，可得前 n项和 . 试题：（ 1）设公差为 d（ d ）由已知得： ， ， 又因为 ，所以 ， 所以 . 6分 （ 2）由（ 1）得 ，因为 ， 所以 是以 为首项，以 8为公比的等比数列，所以 . 12分 考点： 1、等差数列的通项公式； 2、等比数列的性质； 3、等比数列的前 n项和公式
9、 . 某校高三期末统一测试，随机抽取一部分学生的数学成绩分组统计如下表： （ ）求出表中 、 、 、 的值，并根据表中所给数据在下面给出的坐标系中画出频率分布直方图； 分组 频数 频率 合计 （ ）若全校参加本次考试的学生有 600人，试估计这次测试中全校成绩在分以上的人数； （ ）若该校教师拟从分数不超过 60的学生中选取 2人进行个案分析，求被选中 2人分数不超过 30分的概率 答案：（ ） ，图形见；（ ） 342 人；（ ） 试题分析：（ ）先利用频数及频数所对应的频率求出总数 ，易得其他的值，再根据表格数据画出频率分布直方图；（ ）由题意知，全区 90分以上学生估计为 人；（ ）设考
10、试成绩在 内的 3人分别为 A、 B、 C，考试成绩在 内的 3人分别为 a、 b、 c，列出从中任意抽取 2人的结果，易得所求结论 试题：（ I）由频率分布表得 , 1分 所以 ， 2分 ， 3分 4分 6分 （ ）由题意知，全区 90分以上学生估计为 人 9分 （ III）设考试成绩在 内的 3人分别为 A、 B、 C；考试成绩在 内的3人分别为 a、 b、 c， 从不超过 60分的 6人中，任意抽取 2人的结果有： (A， B)， (A， C)， (A ， a)， (A， b)， (A， c)， (B， C)， (B， a)， (B， b)， (B， c)， (C， a)， (C， b)
11、， (C， c)， (a， b)， (a， c)， (b， c)共有 15个 . 设抽取的 2人的分数均不大于 30分为事件 D 则事件 D含有 3个结果： (A， B)， (A， C) ， (B， C)， 12分 考点： 1、频率分布直方图； 2、概率 在四棱锥 中，底面 是正方形，侧面 是正三角形，平面底面 （ ）如果 为线段 VC的中点 ,求证： 平面 ； （ ）如果正方形 的边长为 2, 求三棱锥 的体积 答案：（ ）见；（ ） 试题分析：（ ）连结 AC与 BD交于点 O， 连结 OP，证明 OP VA,易得平面 ；（ ）在面 VAD内，过点 V作 VH AD,可得 VH为三棱锥的高
12、，由体积公式易得三棱锥的体积 试题：（ ）连结 AC与 BD交于点 O， 连结 OP，因为 ABCD是正方形，所以 OA=OC,又因为 PV=PC 所以 OP VA,又因为 面 PBD,所以 平面 6分 （ ）在面 VAD内，过点 V作 VH AD,因为平面 底面 所以VH 面 所以 12分 考点： 1、面面垂直的性质； 2、线面平行的判定定理； 3、 三棱锥的体积公式 已知椭圆 （ ）右顶点到右焦点的距离为 ，短轴长为 . （ ）求椭圆的方程； （ ）过左焦点 的直线与椭圆分别交于 、 两点，若线段 的长为 ，求直线 的方程 答案：（ ） ；（ ） 或 试题分析：（ ）由题意列关于 a、 b
13、、 c的方程组，解方程得 a、 b、 c的值，既得椭圆的方程；（ ）分两种情况讨论：当直线 与 轴垂直时，此时 不符合题意故舍掉；当直线 与 轴不垂直时，设直线 的方程为： ，代入椭圆方程消去 得：，再由韦达定理得 ，从而可得直线的方程 试题：（ ）由题意， ，解得 ，即：椭圆方程为4分 （ ）当直线 与 轴垂直时， ，此时 不符合题意故舍掉； 6分 当直线 与 轴不垂直时，设直线 的方程为： ， 代入消去 得： 设 ，则 8分 所以 ， 11分 由 ， 13分 所以直线 或 14分 考点： 1、椭圆的方程； 2、直线被圆锥曲线所截弦长的求法； 3、韦达定理 已知 是 的一个极值点 . （ ）
14、 求 的值； （ ） 求函数 的单调递减区间； （ ）设 ，试问过点 可作多少条直线与曲线 相切？请说明理由 . 答案：（ ） 3；（ ） ；（ ） 2条 . 试题分析：（ ）先对原函数求导，则 ，即得 的值；（ ）求当时的 的取值范围，就得函数的单调减区间；（ ）易知，设过点（ 2， 5）与曲线 相切的切点为 ， 所以 ， ，令，利用导数求函数 的单调区间及极值，可得 与 轴的交点个数，从而得结论 . 试题：（ I）因为 是 的一个极值点，所 ， 经检验，适合题意，所以 . 3分 （ II）定义域为 ， ， 所以函数的单调递减区间为 6分 （ III） ，设过点（ 2， 5）与曲线 相切的切点为 所以 ， 9分 令 ，所 在 上单调递减，在上单调递增， 因为 ，所以 与 x轴有两个交点， 所以过点 可作 2条直线与曲线 相切 . 12分 考点： 1、利用导数求函数的极值和单调性； 2、导数与基本函数的综合应用 .
