1、2014届四川成都树德中学高三上期期中考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 若函数 的定义域为 R，则实数 m的取值范围是 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：函数 的定义域是 R，则有 恒成立 .设，当 时， 恒成立；当 时，要使得恒成立，则有 ，解得 .所以实数 的取值范围是 ，选 B. 考点： 1.对数函数的定义域； 2.二次函数的图像与性质 记函数 的最大值为 M，最小值为 m，则 的值为 ( ) A B C D 答案： A 试题分析：由已知得， ，解得 ，所以函数的定义域是 . 已知函数求导得， ， 时 ，当时， ，当 时， ，所以 在区间 上先增后减，最大值是 ，因为
2、 ， ，所以 ，所以 . 考点： 1.利用导数研究函数的最值； 2.函数的单调性与导数的关系 已知函数 ，当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：由已知得， ，因为 ，所以，所以函数图像上在 区间内的任意两点连线的斜率大于 1.函数 的导函数为 在区间 上恒成立，即 在区间 上恒成立，设函数，它在区间 上是单调递增的，所以其最大值为 ，所以实数 的取值范围为 . 考点： 1.二次函数的在闭区间上的最值； 2.变化率与导数； 3.不等式的恒成立问题 函数 的值域是 ，则此函数的定义域为 ( ) A B C D 答案： C 试题分析：由已知得 ，
3、即 .因为函数 的值域是，所以 或 ，解得 或 ，所以此函数的定义域是 . 考点：函数的定义域及其求法 成都市某物流公司为了配合 “北改 ”项目顺利进行，决定把三环内的租用仓库搬迁到北三环外重新租地建设已知仓库每月占用费 y1与仓库到车站的距离成反比，而每月车 载货物的运费 y2与仓库到车站的距离成正比据测算，如果在距离车站 10千米处建仓库，这两项费用 y1， y2分别是 2万元和 8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站 ( ) A 5千米处 B 4千米处 C 3千米处 D 2千米处 答案： A 试题分析：设仓库到车站的距离是 千米，那么有 ， ，将 ， 分别代入两个式子，可得
4、 ， ，所以，当且仅当 ，即 时，等号成立，所以要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站 5千米处 . 考点：基本不等式及其应用 在 中，角 所对的边为 ，满足 :,且 若 的面积为 ，则 值为 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 答案： A 试题分析：由 可知，所以 ，因为 ，所以 ， ，由余弦定理可知 ，又，所以 .由已知得 ，解得 ，所以 ，即有 ，解得 ，所以 . 考点： 1.三角函数的和差化积与积化和差公式； 2.解三角形； 3.同角三角函数间的关系； 4.余弦定理 函数 的零点所在区间为 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：根据对数函数的定义可知， ，即 ，所以函数
5、的定义域是 .又因为 ，所以 ，根据零点存在性定理可知函数 的零点所在区间是 . 考点：零点存在性定理的应用 一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为 1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的体积为 ( ) A BC D 答案： C 试题分析：如图所示，这个几何体是一个四棱锥，它的底面 ABCD是边长为 1的正方形， ， 且 ， ， ，取 中点 ，可证点 到此四棱锥的五个顶点的距离是相等的，所以该几何体的外接球的直径是 ，所以该几何体的外接球的体积为. 考点： 1.简单空间几何体的三视图； 2.棱锥的体积公式； 3.球的体积公式 已知 ，则 的值为 ( ) A B C
6、D 答案： D 试题分析：因为 ， ， 所以 . 考点： 1.同角三角函数间的基本关系； 2.三角函数的二倍角公式 填空题 对任意实数 ，函数 如果函数，那么对于函数 对于下列五种说法： (1) 函数 的值域是 ； (2) 当且仅当 时， ； (3) 当且仅当 时，该函数取最大值 1； (4)函数 图象在 上相邻两个最高点的距离是相邻两个最低点的距离的 4倍； (5) 对任意实数 x有 恒成立 其中正确结论的序号是 答案： 试题分析：由已知得，.当 时，；当 时，. 函数 的值域是 ，所以 (1)错误； (2)当 时，所以 (2)正确； (3)该函数的最大值是 ，所以 (3)错误； (4)在区
7、间 上，最高点对应的横坐标是 和 ，最低点对应的横坐标是 和 ，所以最高点间的距离是 ，最低点间的距离是 ，所以 “函数 图象在 上相邻两个最高点的距离是相邻两个最低点的距离的 4倍 ”是正确的； (5)因为 ，所以， 所以对任意实数 x有 恒成立 . 考点： 1.三角函数的积化和差公式； 2.三角函数的最值； 3.三角函数的诱导公式；4.三 角函数的图像与性质 已知函数 满足： 且则 . 答案： 试题分析：取 ， ，有 ， ，所以 .取 可知， ，解得 .取 代入得， .所以，将它代入 可得， ，即有 ，所以函数 是周期为 6的周期函数，所以由 可知， . 考点： 1.抽象函数及其应用； 2
8、.函数的周期性 如图，在平面直角坐标系 中，以 x轴为始边作两个锐角 、 ，它们的终边分别与单位圆交于 A、 B两点已知点 A的横坐标为 ； B点的纵坐标为 则 . 答案： 试题分析：单位圆的半径是 1，根据勾股定理以及点 A的横坐标为 ， B点的纵坐标为 ，可知点 A的纵坐标为 ，点 B的横坐标为 ，所以， ， ，因为 ， 是锐角，所以，所以 . 考点： 1.任意角的三角函数； 2.三角函数的和角公式 已知二次函数 ，满足 ，且 ，若在区间 上，不等式 恒成立，则实数 m的取值范围为 . 答案： 试题分析：由 可知 ，那么 ，所以由，化简整理得： ，所以有 ， ，所以二次函数的式为： .由已
9、知得在区间 上，不等式恒成立，即 恒成立，只要 即可 .又 ，对称轴是 ，开口向上，所以函数在区间 是单调递减的，所以函数 在区间 上的最小值是： ，所以 . 考点： 1.求二次函数的式； 2.二次函数的图像与性质； 3.二次函数在闭区间上的最值； 4.函数与不等式的恒成立问题 计算 : . 答案： 试题分析： ， 所以 . 考点： 1.指数与指数幂的运算； 2.对数与对数运算 解答题 设有关于 x的一元二次方程 (1)若 a是从 0， 1， 2， 3四个数中任取的一个数， b是从 0， 1， 2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率； (2)若 a是从区间 0， 3任取的一个数， b是
10、从区间 0， 2任取的一个数，求上述方程有实根的概率 答案： ； . 试题分 析： 先列举出满足条件 “ 是从 四个数中任取的一个数， 是从三个数中任取的一个数 ”的所有的基本事件，再在基本事件中找到满足条件 “ ”的基本事件 的个数，用基本事件 的个数除以总的事件的个数，所得的比值即是所求； 根据 的取值画出满足条件 “ 是从区间 任取的一个数， 是从区间 任取的一个数 ”的长方形区域，以及在此条件下满足“ ”的基本事件的三角形区域，所求的概率即是两个图形的面积比 . 试题：设事件 为 “方程 有实根 ” 当 时，方程 有实根的充要条件为 基本事件共有 个： 其中第一个数表示 的取值，第二个
11、数表示 的取值 事件 中包含 9个基本事件， 4分 事件 发生的概率为 6分 如图所示： 试验的全部结果所构成的区域为 ，对应长方形 ，8分 构成事件 的区域为 ，对应图中的阴影部分， 10分 所以所求的概率为 12分 考点： 1.离散型随机变量及其应用； 2.连续性随机变量及其应用； 3.古典概型；4.几何概型 已知等差数列 满足： ， 的前 n项和为 (1)求 及 ； (2)已知数列 的第 n项为 ，若 成等差数列，且 ，设数列 的前 项和 求数列 的前 项和 答案： (1) ， ； (2) . 试题分析： (1)由 根据等差中项的性质求得 ，结合 可以求得 和 ，再将 和 代入等差数列的
12、通项公式化简整理即可，然后由等差数列的前 项和公式求得 ； (2)根据等差数列的等差中项的性质，结合可以得到 ，由迭代法求数列 的通项公式，注意讨论 是否符合此通项公式，观察式子特点，利用裂项相消的原则求数列 的前 项和 . 试题： (1)设等差数列 的公差为 ， 因为 ， ，所以 . 2分 则 ， ， 所以 ； 4分 6分 (2)由 (1)知 ， 因为 成等差数列， 所以 ，即 ， 所以 8分 故 又因为 满足上式，所以 10分 所以 故 12分 考点： 1.等差数列及其性质； 2.等差数列的前 项和； 3.数列的递推公式； 4.数列的求和 如图所示，在四棱锥 P-ABCD中，底面 ABCD
13、为矩形， PA 平面 ABCD，点 E在线段 PC上， PC 平面 BDE (1) 证明： BD 平面 PAC； (2) 若 PA 1， AD 2，求二面角 B-PC-A的正切值 答案： (1)见； (2) . 试题分析： (1)先利用直线与平面垂直的性质定理，得到 和 ，因为 ，所以利用直线与平 面垂直的判定定理可知，； (2)首先分别以射线 ， ， 为 轴， 轴， 轴的正半轴建立空间直角坐标系 ，由直线与平面垂直的性质定理得到 ，那么矩形 为正方形，由此可知此正方形的边的长度，根据坐标系表示四棱锥出各个顶点的坐标，分别求出平面 和平面 的法向量的坐标，根据二面角与其法向量夹角的关系，求得二
14、面角的余弦值，再由同角三角函数的基本关系得到所求二面角的正切值 . 试题： (1)证明 ， ， 2分 同理由 ，可证得 又 ， 4分 (2)如图，分别以射线 ， ， 为 轴， 轴， 轴的正半轴建立空间直角坐标系 由 (1)知 ，又 ， 故矩形 为正方形， 6分 设平面 的一个法向量为 ，则 ，即 ， ，取 ，得 ， 为平面 的一个法向量 10分 所以 11分 设二面角 的平面角为 ，由图知 ， ，所以 所以 ，即二面角 的正切值为 12分 考点： 1.直线与平面垂直的判定定理； 2.直线与平面垂直的性质定理； 3.平面和平面所成的角 (二面角 )； 4.勾股定理； 5.同角三角函数的基本关系；
15、 6.平面的法向量 已知函数 (1) 当 时，函数 恒有意义，求实数 a的取值范围； (2) 是否存在这样的实数 a，使得函数 在区间 上为增函数，并且的最大值为 1如果存在，试求出 a的值；如果不存在，请说明理由 答案： (1) ； (2)存在， . 试题分析： (1)首先根据对数函数的底数 ，得到 为减函数，最小值是 ，再根据对数函数的真数大于 0，得到 恒成立，在范围内解不等式即可； (2)先看真数部分 是减函数，由已知 “ 在区间 上为增函数 ”可得， 为减函数，此时得到 ；根据 “ 的最大值为 1”，结合对数函数的真数大于 0，可知 ，解出 ，再判 断它是不是在 的范围内，在这个范围
16、内，那么得到的 的值满足题目要求，不在这个范围内就说明满足题目要求的 是不存在的 . 试题： (1) ，设 ， 则 为减函数， 时， t最小值为 ， 2分 当 ， 恒有意义，即 时， 恒成立即 ； 4分 又 ， 6分 (2)令 ，则 ； ， 函数 为减函数， 又 在区间 上为增函数， 为减函数， ， 8分 所以 时， 最小值为 ，此时 最大值为 ； 9分 又 的最大值为 1，所以 ， 10分 ，即 ， 所以 ，故这样的实数 a存在 12分 考点： 1.对数函数的定义及定义域； 2.对数函数的单调性及其应用； 3.对数函数的值域与最值； 4.简单复合函数的单调性； 5.解不等式 已知函数 （其中
17、 ）的图象如图所示 (1) 求函数 的式； (2) 设函数 ，且 ，求 的单调区间 答案： (1) ； (2)单调增区间为 ，单调减区间为 . 试题分析： (1)根据函数图像可知， ， ，由 求得 ，再根据三角函数过点 ，以及已知的 ，得到 ，将求的量代入函数 的式即可； (2)将求得的函数 的式代入 ，根据三角函数的诱导公式化简整理得， ，再由得到， ，在此范围内根据三角函数的单调性，即可求得函数 的单调增区间和单调减区间 . 试题： (1)由图象可知 ， ， ，即 ，所以 ， 所以 ， 2分 ，即 ， 所以 ，即 ， 3分 又 ，所以 ，所以 ； 4分 (2)由 (1)得， ，所以 6分
18、又由 ，得 ， ， ， 8分 其中当 时， g(x)单调递增，即 ， g(x)的单调增区间为 10分 又 当 时， g(x)单调递减， 即 ； 的单调减区间为 12分 综上所述， 的单调增区间为 ； 的单调减区间为 13分 考点： 1.函数 的图像与性质； 2.对数函数的图像与性质； 3.三角函数的诱导公式； 4.三角函数的图像与性质； 5.复合三角函数的单调性 已知函数 若函数 在 x = 0处取得极值 (1) 求实数 的值； (2) 若关于 x的方程 在区间 0， 2上恰有两个不同的实数根，求实数 的取值范围； (3) 证明：对任意的自然数 n，有 恒成立 答案： (1) ； (2) ；
19、(3)见 . 试题分析： (1)先有已知条件写出 的式，然后求导，根据导数与函数极值的关系得到 ，解得 的值； (2)由 构造函数，则 在 上恰有两个不同的实数根等价于 在 恰有两个不同实数根，对函数 求导，根据函数的单调性与导数的关系找到函数 的单调区间，再由零点的存在性定理得到 ，解不等式组即可； (3) 证明不等式 ，即是证明 .对函数 求导，利用导数研究函数的单调性，找到其在区间 上的最大值 ，则有 成立，那么不等式 成立，利用二次函数的图像与性质可得 的单调性与最小值，根据 ，那么，所给不等式得证 . 试题： (1) 由题意知 则 ， 2分 时， 取得极值， ，故 ，解得 经检验 符合题意 4分 (2)由 知 由 ，得 ， 5分 令 ， 则 在 上恰有两个不同的实数根等价于 在 恰有两个不同实数根 ， 7分 当 时， ，于是 在 上单调递增； 当 时， ，于是 在 上单调递减依题意有 ，即 ， 9分 (3) 的定义域为 ，由 (1)知 ， 令 得， 或 (舍去 )， 11分 当 时， ， 单调递增； 当 时， ， 单调递减 相关试题 2014届四川成都树德中学高三上期期中考试理科数学试卷（带）
