1、2014届宁夏省银川九中高三上学期第四次月考理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知全集 ，设函数 的定义域为集合 ，函数 的值域为集合 ，则 =（ ） A 1,2 B 1,2) C (1,2 D (1,2) 答案： D 试题分析：由 的定义域知 ， 的值域知，所以 ，故选 D. 考点： 1.函数定义域和值域的求解； 2.集合的交集与补集的运算 . 若函数 （ 0且 ）在（ ）上既是奇函数又是增函数，则 的图象是（ ） 答案： C 试题分析：因为 是奇函数，则 ，所以 ，又函数是增函数，所以 ，因而 ，则选 C. 考点： 1.函数的单调性与奇偶性； 2.函数的图像 . 已知数列 满足 且 是
2、函数 的两个零点，则 等于（ ） A 24 B 32 C 48 D 64 答案： D 试题分析：由题意 ，则 ，两式相除 ，所以成等比数列， 成等比数列，而 ，则 ，所以，又 ，所以 .故选 D 考点： 1.二次函数根与系数的关系； 2.等比数列的性质 . 已知实数 成等比数列，且对函数 ，当 时取到极大值，则 等于（ ） A 1 B 0 C 1 D 2 答案： A 试题分析：由 ，即 ，所以 ， y的极大值为，所以 ，又因为 ，所以 .故选A. 考点： 1.等比数列性质； 2.函数的最值求解 . 函数 在区间 上的最大值是（ ） A BC D 答案： C 试题分析：化简 ，当 ，则 ，所以当
3、 时，故选 C. 考点： 1.三角函数的恒等变形； 2.三角函数的最值求解 . 在应用数学归纳法证明凸 n变形的对角线为 条时，第一步检验 n等于（ ） A 1 B 2 C 3 D 0 答案： C 试题分析：因为凸 n变形的 最小为 3，所以第一步检验 等于 3，故选 C. 考点： 1.数学归纳法的应用 . 设 若 是 与 的等比中项，则 的最小值为（ ） A 8 B 4 C 1 D答案： B 试题分析：由题意 ，所以 ，则，故选 B. 考点： 1.等比数列的性质； 2.均值不等式的应用 . 若 是锐角，且 cos（ ） = ，则 sin 的值等于（ ） A B C D 答案： B 试题分析：
4、因为 是锐角，则 ， 所以，故选 B. 考点： 1.同角三角函数求值； 2.两角和差的正弦 . 已知数列 是等差数列，且 ，则 的值为（ ） A B C D 答案： A 试题分析：因为 ，所以 ，则.故选 A. 考点： 1.等差数列的性质； 2.二倍角公式的应用 . 设点 是线段 BC 的中点，点 A在直线 BC 外， ， .,则 （ ） A 2 B 4 C 6 D 8 答案： A 试题分析：由 ， ，如下图，则以 ，且 ,所以 2，故选 A. 考点： 1.向量加法的运算法则 . 已知平面向量 ， ，且 ，则 （ ） A B C D 答案： D 试题分析：由 知， ，解得 ，而，故选 D. 考
5、点： 1.向量的平行； 2.向量的坐标运算 . 已知复数 ，则 =（ ） A B C D 答案： B 试题分析： ，故选 B. 考点： 1.复数的运算 . 填空题 已知 为 上的偶函数，对任意 都有 且当， 时，有 成立，给出四个命题： 直线 是函数 的图像的一条对称轴 函数 在 上为增函数 函数 在 上有四个零点 其中所有正确命题的序号为 _. 答案： 试题分析：当 ，则 ，所以 ，周期 ；当 ， 时，有 成立，则 在 上单增，又 在 上单减 .其图像如下： 则 正确， 不正确，应该是单减 . 考点： 1.函数的奇偶性与周期性； 2.函数图像的应用 . 在 中， 分别为 内角 、 、 的对边
6、 ,若，则角 B为 . 答案： 试题分析：由正弦定理得， ，而余弦定理，所以 ，得 . 考点： 1.正余弦定理的应用 . 设向量 ，若 ，则 =_. 答案： 试题分析：由 ，则 ，所以 ，故. 考点： 1.向量的垂直坐标表示； 2.两角差和的正切公式应用 . 已知正项等比数列 的前 n项和为 ，且 ，则 = _. 答案： 试题分析：因为 是等比数列，则 ，所以 ，则，所以 ，因而 考点： 1.等比数列的概念及性质 . 解答题 在直角坐标系 中，以 O 为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系曲线 C的极坐标方程为 ， M， N 分别为 C与 x轴， y轴的交点 （ ）写出 C的直角坐标方程，并求
7、 M， N 的极坐标； （ ）设 MN 的中点为 P，求直线 OP的极坐标方程 答案：（ ） , ；（ ） . 试题分析：（ ）将 展开得 ，则转化成直角坐标方程为 ，那么 M， N 的极坐标 时， ，所以， 时， ，所以 ；（ ）先将 MN 的极坐标转化成直角坐标 点的直角坐标为（ 2， 0）， 点的直角坐标为 ，从而点的直角坐标为 ，则 点的极坐标为 ，所以直线 的极坐标方程为 . 试题：（ ）由 得 从而 的直角坐标方程为 ，即 时， ，所以 时， ，所以 （ ） 点的直角坐标为（ 2， 0）， 点的直角坐标为 所以 点的直角坐标为 ，则 点的极坐标为 所以直线 的极坐标方程为 考点：
8、1.极坐标方程和直角坐标方程之间的转化 . 如图 ,已知 切 于点 E,割线 PBA交 于 A、 B两点 , APE的平分线和 AE、 BE分别交于点 C、 D.求证 : ( ) ; ( ) . 答案： ( ) ; ( ) . 试题分析： ( )要证两边相等，只需证明角相等，根据圆中切线与割线的关系进行转化， 切 于点 , ， 平分, .（ 2）证明边长成比例，需要证明两个三角形相似， , 同理 , 试题： ( )证明 : 切 于点 , 平分 , ( )证明 : , 同理 , 考点： 1.简单的几何证明 . 已知函数： （ 1）讨论函数 的单调性； （ 2）若对于任意的 ，若函数 在 区间 上
9、有最值，求实数 的取值范围 . 答案：（ 1）当 时， 的单调增区间为 ，减区间为 ；当 时， 的单调增区间为 ，无减区间；（ 2） 试题分析：（ 1）这是一道含参函数的单调性问题，先求出定义域 ，求导 ，根据 进行讨论，当 时， 的单调增区间为 ，减区间为 ；当 时， 的单调增区间为 ，无减区间；（ 2）有（ 1）知，代入 ，得 这是一个二次函数， 在区间 上有最值，在区间 上总不是单调函数，又 ， 由题意知：对任意 恒成立， 因为 ，对任意 ， 恒成立， . 试题：（ 1）由已知得 的定义域为 ，且 ， 当 时， 的单调增区间为 ，减区间为 ； 当 时， 的单调增区间为 ，无减区间； （
10、2） 在区间 上有最值， 在区间 上总不是单调函数， 又 由题意知：对任意 恒成立， 因为 对任意 ， 恒成立 考点： 1.含参函数单调性求解； 2.恒成立求参数取值范围 . 已知 是正数组成的数列， ，且点 在函数的图象上 （ ）求数列 的通项公式； （ ）若数列 满足 ， ，求证： 答案：（ ） ；（ ） . 试题分析：（ ）将点 代入到 ，得 ，即，又 ，所以数列 是以 1为首项，公差为 1的等差数列故 （ ）因为 ，即 ，利用迭加法求出 ，再作差比较 ，化简得出，所以得证 . 试题：（ ）由已知得 ，即 ，又 ， 所以数列 是以 1为首项，公差为 1的等差数列故 （ ）由（ ）知： 从
11、而 ， 因为 ， 所以 考点： 1.数列通项公式的求解； 2.数列与不等式的综合 . 某工厂某种产品的年固定成本为 250万元，每生产 千件，需另投入成本为，当年产量不足 80千件时， （万元） .当年产量不小于 80千件时， （万元） .每件商品售价为 0.05万元 .通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完 . （ ）写出年利润 （万元）关于年产量 （千件）的函数式； （ ）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 答案：（ ） ；（ ）当产量为 100千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为 1000万元 . 试题分析：（ ）由题意，每件商品售价为 0.05万元，则
12、 千件商品销售额为0.051000 万元，投入成本跟产量有关，根据 “利润 =销售额 -成本 ”，当时， ，当时， ，所以 （ ）利润最大值的求解需要根据（ ）的公式，当 时， 这是一个二次函数，则当时， 取得最大值 万元 . 当 时， 此时，当 时，即 时 取得最大值 1000 万元，而 ，所以，当产量为 100千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元 . 试题：（ ）因为每件商品售价为 0.05万元，则 千件商品销售额为 0.051000万元，依题意得： 当 时， 当 时， = 所以 （ ）当 时， 此时，当 时， 取得最大值 万元 . 当 时， 此时，当 时，即 时
13、取得最大值 1000万元 所以，当产量为 100千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元 . 考点： 1.对实际应用性问题的理解； 2.函数最值的求解 . 已知向量 ,函数 （ 1）求函数 的最小正周期 ; （ 2）已知 分别为 内角 、 、 的对边 , 其中 为锐角 ,且 ,求 和 的面积 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）根据题意，再利用二倍角公式及辅助角公式将 化简为 ；（ 2）将 代入，得 ，因为 ，所以 ，再利用余弦定理 ，解出 ，最后根据三角形面积公式求出 . 试题：（ 1）由题意 所以 . 由（ 1） ，因为 ,所以，解得 .又余弦定理 ，所以
14、，解得 ，所以 . 考点： 1.三角函数恒等变形； 2.三角函数周期； 3.余弦定理及三角形面积公式 . 在等差数列 中， ，其前 项和为 ，等比数列 的各项均为正数， ，公比为 ，且 ， . （ 1）求 与 ；（ 2）设数列 满足 ，求 的前 项和 . 答案：（ 1） ， ；（ 2） . 试题分析：（ 1）设出等差数列的公差 ，根据 ， ，带入初始条件 ，求出 和 ，根据等差和等比数列通项公式写出最终的结果；（ 2）由（ 1）求出 其前 项和为 ，则，接着利用裂项相消法，求出 试题：（ 1）设 的公差为 . 因为 所以 解得 或 （舍）， . 故 ， . （ 2）由（ 1）可知， ， 所以 . 故 . 考点： 1.等差、等比数列的通项与求和； 2.数列求和方法 . 设 a， b是非负实数，求证： 答案： 试题分析：要比较两个数大小，最常用的方法是作差， 大小不清，需要进行讨论，当 时，从而 ，得 ；当 时，从而 ，得 ；所以 试题：由 a， b是非负实数，作差得 当 时， ，从而 ，得 ； 当 时， ，从而 ，得 ； 所以 考点： 1.不等式的比较大小与证明 .
