1、2014届山东省烟台市高三上学期期末考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 设全集 ， ， ，则图中阴影部分表示的集合为 ( ) A B C D 答案： D 试题分析：图中阴影部分表示的集合为 . 因为 ， 所以， ， ，选 D. 考点：集合的运算，简单不等式解法 定义在 R上的函数 ，如果存在函数 (k,b为常数），使得对一切实数 x都成立，则称 为函数 的一个承托函数现有如下命题： 对给定的函数 ，其承托函数可能不存在，也可能有无数个 函数 为函数 的一个承托函数 定义域和值域都是 R的函数 不存在承托函数 其中正确命题的序号是： ( ) A B C D 答案： A 试题分析：对于 ，若
2、 ，则 ，就是它的一个承托函数，且有无数个，再如 就没有承托函数， 命题 正确； 对于 ， 当 时， ， ， 不是 的一个承托函数，故错误； 对于 如 存在一个承托函数 ，故错误； 故选 A 考点：新定义函数，一次函数、指数函数的性质 . 如图， O为线段 外一点，若 中任意相邻两点的距离相等， a， b用 a， b表示 其结果为 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：设 的中点为 ，则 也是 的中点， 由向量的中点公式可得 ，同理可得 ， 故 ，选 B. 考点：平面向量的线性运算，向量的中点公式 . 已知直线 l过抛物线 的焦点 F，交抛物线于 A、 B两点，且点 A、 B到 y轴的
3、距离分别为 m、 n，则 的最小值为 ( ) A B C 4 D 6 答案： C 试题分析：抛物线 的焦点 ，准线方程为 ，由于直线 l过抛物线 的焦点 F，交抛物线于 A、 B两点，且点 A、 B到 y轴的距离分别为 m、 n，所以由抛物线的定义得 ，其最小值即为通径长 .故选 C. 考点：抛物线的定义及其几何性质 若点 P是函数 图象上任意一点，且在点 P处切线的倾斜角为 ，则 的最小值是 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：由导数的几何意义，函数 图象上任意一点 P处切线的斜率，等于该点的导函数值 .而 ，当且仅当 时等号成立，即 ，所以 的最小值是 ，故选 B. 考点：导数的
4、几何意义，导数的计算，基本不等式，直线的斜率、倾斜角 . 若点 为圆 的弦 的中点，则弦 所在直线方程为( ) A B C D 答案： D 试题分析： 化为标准方程为 ， 为圆 的弦 的中点， 圆心与点 P确定的直线斜率为 ， 弦 所在直线的斜率为 2， 弦 所在直线的方程为 ，即 ，故选 D 考点：圆的方程，直线与圆的位置关系，直线的斜率，直线的方程 . 函数 的图像可能是 ( ) 答案： B 试题分析：函数 的定义域为 ，并且为奇函数，其图像关于原点对称，排除 A,C. 又 时， ，故选 B. 考点：函数的奇偶性，函数的图像 . 在 ABC中，若 、 的对边长分别为 b、 c， ，则 (
5、) A B C D 或 答案： D 试题分析：由正弦定理得 ，又，所以 或 ，故选 D. 考点：正弦定理的应用 设 m、 n是不同的直线， 是不同的平面，有以下四个命题： ，其中正确的命题是 ( ) A B C D 答案： C 试题分析：由平面平行的 “传递性 ”可知 正确； 当 时，可能情况有 相交等多种情况， 不正确； 由平面垂直的判定定理可知 正确； 当 时，有 或 ， 不正确 . 故选 C. 考点：平面的平行于垂直 设 ，则下列不等式成立的是 ( ) A B C D 答案： D 试题分析：因为 ，所以，由不等式的性质可得 ， A不正确； ， B不正确；由指数函数的性质得 ， C不正确；
6、 由对数函数的性质知 ，故选 D. 考点：指数函数、对数函数的性质，不等式及不等式的性质 . 右图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为 2和 4，腰长为 4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：由三视图可得该几何体是一个圆台，其两底直径分别为 2和 4，母线长为 4，所以该几何体的侧面积是 ，选 B. 考点：三视图，圆台的侧面积 . 在递减等差数列 中，若 ，则 取最大值时 n等于 ( ) A 2 B 3 C 4 D 2或 3 答案： D 试题分析：因为在递减等差数列 中， ，所以由等差数列的性质得 ，所以 取最大值时 n等于
7、2或 3，选 D. 考点：等差数列的性质，等差数列的求和公式 . 填空题 已知函数 R）的图象如图所示，它与 x轴在原点处相切，且 x轴与函数图象所围成的区域（如图阴影部分）的面积为 ，则a=_ 答案： -1 试题分析：由图知方程 有两个相等的实根 ，于是 ， ， 有 ， 函数 与 轴的交点横坐标一个为 0，另一个 ，根据图形可知 ，得 故答案：为 -1 考点：函数与方程，定积分的应用 已知 ，不等式 成立，则实数 a的取值范围是 _ 答案： 试题分析：由绝对值的几何意义， ，所以恒成立，须 恒成立 .所以，故答案：为 . 考点：绝对值的几何意义，对数函数的性质 . 若 x， y满足约束条件
8、，则目标函数 的最大值是_ 答案： 试题分析：画出可行域及直线 （如图），平移直线 ，当其经过点 时， 为最大值 .故答案：为 13. 考点：简单线性规划的应用 已知 ，且 ，则 _. 答案： 试题分析：因为 ，且 ，所以 ， 故答案：为 . 考点：任意角的三角函数，二倍角的正切公式 . 解答题 已知函数 (1)求 的最小正周期； (2)若将 的图象向右平移 个单位，得到函数 的图象，求函数 在区间 上的最大值和最小值，并求出相应的 x的值 答案：（ 1） 的最小正周期为 （ 2） 时， 取得最大值 2； 时， 取得最小值 试题分析：（ 1）利用三角公式化简得 ， 的最小正周期为 （ 2） 将
9、 的图象向右平移 个单位，得到函数 的图象， 即 根据 得到 ， 进一步求得时， 取得最大值 2； 时， 取得最小值 试题：（ 1） 所以 的最小正周期为 6分 （ 2） 将 的图象向右平移 个单位，得到函数 的图象， 时， ， 当 ，即 时， 取得最大值 2； 9分 当 ，即 时， 取得最小值 12分 考点：和差倍半的三角函数，三角函数的图象性质，三角函数图像的平移 . 如图，菱形 ABCD中， ， 平面 ABCD， 平面ABCD， (1)求证： 平面 BDE； (2)求锐二面角 的大小 答案：（ 1）证明：见；（ 2） . 试题分析：（ 1）利用已有的垂直关系，以 为原点， ， 为 、 轴
10、正向，轴过 且平行于 ，建立空间直角坐标系通过计算 ，得到 ， ， 达到证明目的 . （ 2）由知（ 1） 是平面 的一个法向量， 设 是平面 的一个法向量，利用 , 确定得到 ，由 及二面角 为锐二面角，得解 . “向量法 ”往往能将复杂的证明问题，转化成计算问题，达到化繁为简，化难为易的目的 . 试题：（ 1）证明：连接 、 ，设 ， 为菱形， ，以 为原点， ， 为 、 轴正向， 轴过 且平行于 ，建立空间直角坐标系（图 1）， 2分 则 ， ， ， 4分 ， ， ， ， 又 ， 平面 . 6分 （ 2）由知（ 1） 是平面 的一个法向量， 设 是平面 的一个法向量， ,由 , 得： ，
11、 8分 取 ，得 ，于是 已知数列 的前 n项和为 Sn，对一切正整数 n，点 在函数的图像上，且过点 的切线的斜率为 kn (1)求数列 的通项公式； (2)若 ，求数列 的前 n项和 Tn 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：（ 1）根据点 都在函数 的图像上，得到利用 “两步一验 ”即得数列的通项公式 . （ 2）由导数的几何意义得到 ， 从而可利用 “错位相减法 ”求数列 的前 n项和 Tn 本题综合性较强，但解题思路明确，难度适中 . 试题：（ 1） 点 都在函数 的图像上， 2分 当 时， 当 时， 满足上式， 所以数列 的通项公式为 6分 （ 2）由 求导可得 ， 因为过点 的切
12、线的斜率为 ， ， ， 两式相减得 9分 12分 考点：导数的几何意义，数列的通项公式， “错位相减法 ”. 近日，国家经贸委发出了关于深入开展增产节约运动，大力增产市场适销对路产品的通知，并发布了当前国内市场 185种适销工业品和 42种滞销产品的参考目录为此，一公司举行某产品的促销活动，经测算该产品的销售量 P万件（生产量与销售量相等）与促销费用 x万元满足 (其中 ，a为正常数 )已知生产该产品还需投入成本 10+2P万元 (不含促销费用 )，产品的销售价格定为 元件 (1)将该产品的利润 y万元表示为促销费用 x万元的函数； (2)促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大 答案：（ 1）
13、 ，（ ） . （ 2）当 时 ,促销费用投入 1万元时，厂家的利润最大 ; 当 时 ,促销费用投入 万元时，厂家的利润最大 . 试题分析：（ 1）由题意得到 ， 将 代入化简即得 ，（ ） . （ 2）将原函数变形，应用基本不等式， 当且仅当 时，上式取等号 .根据 ，讨论 ， ,的不同情况，确定最大利润 . 试题：（ 1）由题意知， ， 将 代入化简得： ，（ ）， 6分 （ 2） ， 当且仅当 时，上式取等号 . 9分 当 时 ,促销费用投入 1万元时，厂家的利润最大 ; 当 时 , 在 上单调递增 ,所以在 时 ,函数有最大值促销费用投入 万元时，厂家的 利润最大 . 综上述 ,当 时
14、 ,促销费用投入 1万元时，厂家的利润最大 ; 当 时 ,促销费用投入 万元时，厂家的利润最大 . 12分 考点：函数的应用问题，基本不等式 . 已知函数 (1)若曲线 在 x=l和 x=3处的切线互相平行，求 a的值及函数 的单调区间； (2)设 ，若对任意 ，均存在 ，使得，求实数 a的取值范围 答案：（ 1）单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 . （ 2） . 试题分析：（ 1）首先依题意求得 ，确定函数的式， 进一步求导数： ，求驻点，分区间讨论导数值的正负，确定得到单调区间 . （ 2）将问题加以转化：若要命题成立，只须当 时， . 由 可知， 当 时 , 所以只须 . 问题进一步
15、转化成确定 的最大值，注意到， 分 时， 时， 时， 时，分别讨论 . 试题：（ 1） ， 由 得 ， 3分 所以 ：单调递增区间为 ， ， 单调递减区间为 . 6分 （ 2）若要命题成立，只须当 时， . 由 可知， 当 时 , 所以只须 . 8分 对 来说， ， 当 时， 当 时，显然 ，满足题意， 当 时，令 ， ，所以 递减，所以 ，满足题意， 所以 满足题意； 10分 当 时， 在 上单调递增， 所以 得 ， 12分 综上所述， . 13分 考点：导数的几何意义，应用导数研究函数的单调性、最值 . 椭圆 与双曲线 有公共的焦点，过椭圆 E的右顶点作任意直线 l，设直线 l交抛物线 于
16、 M、 N 两点，且 (1)求椭圆 E的方程； (2)设 P是椭圆 E上第一象限内的点，点 P关于原点 O的对称点为 A、关于 x轴的对称点为 Q，线段 PQ与 x轴相交于点 C，点 D为 CQ的中点，若直线 AD与椭圆 E的另一个交点为 B，试判断直线 PA， PB是否相互垂直？并证明你的结论 答案： (1) ； (2) .证明见 . 试题分析： (1)设点 , 设直线 ,代入 并整理得 利用 解得 ，再由 求得 . (2) 首先判断得出 .可通过证明 或 ，达到目的 . 设 ,得到 , 且 将直线 的方程 代入椭圆的方程并整理得到由 得证 . 试题： (1)设点 , 设直线 ,代入 并整理得 所以 2分 故有 解得 5分 又椭圆与双曲线有公共的焦点，故有 所以椭圆的方程为 . 7分 (2) 证明：设 ,则 , 且 将直线 的方程 代入椭圆的方程并整理得 9分 由题意可知此方程必有一根 , 所以 12分 故有 , 即 13分 考点：椭圆的标准方程，平面向量的坐标运算，直线与抛物线的位置关系 .
