1、2014届山东省青岛二中高三 12月月考理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 设全集 ，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：因为 ，图中阴影部分表示的集合为， 所以，图中阴影部分表示的集合为 ，选 B. 考点：集合的运算 若对任意 ， ，（ 、 ）有唯一确定的 与之对应，称 为关于 、 的二元函数 .现定义满足下列性质的二元函数 为关于实数 、 的广义 “距离 ”: （ 1）非负性 : ，当且仅当 时取等号； （ 2）对称性 : ； （ 3）三角形不等式 : 对任意的实数 z均成立 . 今给出四个二元函数 : ； ； ； .能够成为关于的 、 的广义 “距离
2、 ”的函数的所有序号是（ ） A B C D 答案： A 试题分析： 对于函数 ：满足非负性： ，当且仅当时取等号；满足对称性： ； ，对任意的实数 均成立，因此满足三角形不等式： 可知 能够成为关于的 、 的广义 “距离 ”的函数 ，但是不仅 时取等号， 也成立，因此不满足新定义：关于的 、 的广义 “距离 ”的函数； ，若 成立，则 不一定成立，即不满足对称性； 同理 不满足对称性 综上可知：只有 满足新定义，能够成为关于的 、 的广义 “距离 ”的函数 故选 A 考点：新定义，函数的概念与表示 . 设函数 ，若实数 满足，则（ ） A B C D 答案： D 试题分析：显然， 在 R上是
3、增函数， 由函数零点存在定理知， ； 又 在区间 是增函数，且 ，所以，故 ， ，即 ，故选 D. 考点：函数零点存在定理，函数的单调性 . 若直线 被圆 截得的弦长为4，则 的最小值是 ( ) A 16 B 9 C 12 D 8 答案： B 试题分析：将 化为标准方程，得 . 由直线 被圆 截得的弦长为 4，知直线过圆心（ -1,2），即 ， 所以， ，故选 B. 考点：圆的方程，直线与圆的位置关系，基本不等式的应用 . 正六棱柱的底面边长为 4,高为 6,则它的外接球的表面积为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：如图，正六棱柱的外接球的直径是正六棱柱体对角线 FH的长， 侧棱垂直
4、于底面， FG GH； 在 中，由勾股定理得： ， ，即 ； 它的外接球的表面积为 100故选 C 考点：几何体的结构特征，几何体的面积 . 已知某几何体的三视图如图，其中正 (主 )视图中半圆的半径为 1，则该几何体的体积为 ( ) A B C D 答案： A 试题分析：根据三视图可知，该几何体是组合体：一个长方体 “挖去 ”一个半圆柱 .根据图中数据得到其体积为 ，故选 A. 考点：三视图，几何体的体积 . 如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为 “同簇函数 ”给出下列函数： ； ； ； 其中 “同簇函数 ”的是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：因为， 与 中系
5、数 不同，所以，它们不是 “同簇函数 ”； ，所以， 的图象沿 左平移 平移后能够得到 的图象，即这些函数为 “同簇函数 ”故选 D. 考点：三角函数辅助角公式，三角函数图象的变换 . 已知 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是（ ） A若 B若 C若 D若 则 答案： D 试题分析：若 ，则 或 互为异面直线，即 A错误； 若 则 可能平行、相交、异面，但不一定有 ，即B错误； 若 ，则 ，所以 C错误， D正确，故选 D. 考点：平行关系，垂直关系 . 若直线过 点且在两坐标轴上的截距相等，则这样的直线有几条（ ） A 1条 B 2 条 C 3条 D以上都有可能 答
6、案： B 试题分析：当截距均为零时，显然有一条； 当截距不为零时，设直线方程为 ，则 ，有一条，综上知，直线 过 点且在两坐标轴上的截距相等的直线有两条，故选 B. 考点：直线方程的截距式 已知 且 ，函数 ， 在同一坐标系中的图象可能是（ ） 答案： C 试题分析： 是直线 的纵截距 .根据指数函数、对数函数的性质，时，函数 的图象同时上升； 时 图象同时下降 .对照选项可知， A,B,D均矛盾， C中 ，选 C. 考点：一次函数、指数函数、对数函数的图象和性质 . 已知 ，则 的大小关系为（ ） A B C D 答案： A 试题分析：因为 ， ， ，所以，的大小关系为 ，选 A. 考点：指
7、数函数、对数函数的性质 已知各项均为正数的等比数列 中 , 则 ( ) A B 7 C 6 D 答案： A 试题分析：因为正项等比数列 中， ，由等比数列的性质， 有 所以， ，故选 A. 考点：等比数列的性质 填空题 在正方形 中， 是 的中点， 是侧面 内的动点且 /平面 ，则 与平面 所成角的正切值得取值范围为 . 答案： 试题分析：设平面 与直线 BC交于点 G，连接 AG、 QG，则 G为 BC的中点 分别取 的中点 M、 N，连接 ，则 同理可得 ， 是平面 内的相交直线 平面 ， 由此结合 ，可得直线 ，即点 F是线段 上上的动点 设直线 与平面 所成角为 , 运动点 F并加以观
8、察，可得 :当 F与 M（或 N）重合时， 与平面 所成角等于 ，此时所成角 达到最小值，满足 当 F与 MN中点重合时， 与平面 所成角达到最大值，满足, 与平面 所成角的正切取值范围为 , 故答案：为 . 考点：正方体的结构特征，直线与平面所成角，空间面面平行与线面平行关系的判定 . 若圆 上恰有两点到直线 （ 的距离等于 1，则 的取值范围为 答案： . 试题分析：由圆 ，得到 ,圆心 P坐标为（ 1， -2），半径为 2， 圆 上恰有两点到直线（ 的距离等于 1， 圆心到直线 的距离满足 ，即 ，解得， 答案：为 考点：圆的方程，点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系 . 已知 中 ，
9、若 为 的重心，则 答案： 试题分析： 中 ， ， 为 的重心， ， 又 ， ， 故答案：为 4. 考点：平面向量的线性运算、模、数量积，三角形的性质 . 在 中， 依次成等比数列，则角 的取值范围是 . 答案： 试题分析： 成等比数列， ，根据正弦定理化简得： ， ， 故答案：为 考点：等比数列，正弦定理、余弦定理的应用 . 解答题 命题 函数 既有极大值又有极小值； 命题 直线 与圆 有公共点 . 若命题 “ 或 ”为真，且命题 “ 且 ”为假，试求实数 的取值范围 . 答案： 试题分析：通过讨论命题 为真时，得到 或 ； 通过讨论命题 为真时，得到 由命题 “ 或 ”为真，且命题 “ 且
10、 ”为假，知 、 必一真一假 . 所以，分 真 假， 假 真，得到实数 的取值范围 . 试题：命题 为真时，必有 有两个不同的解， 即 ，即 或 ； 4分 命题 为真时，圆心 到直线 的距离不大于半径 1， 即 ，解得 8分 由命题 “ 或 ”为真，且命题 “ 且 ”为假，知 、 必一真一假 . 若 真 假，则实数 的取值范围是 或 或 或 若 假 真，则实数 的取值范围是 综上知实数 的取值范围是 12分 考点：简单逻辑联结词，真值表，应用导数研究函数的极值，直线与圆的位置关系 . 已知锐角 中，角 所对的边分别为 ，已知， （ ）求 的值； （ ）若 ， ，求 的值 答案：（ ） ；（ ）
11、 . 试题分析：（ ）利用三角函数的同角公式得到 ，应用和差倍半的三角函数即可得到 ； （ ）利用三角形面积公式、余弦定理得到 的方程组求解 . 本题属于基础题型，难度不大，知识覆盖面较广 . 试题：（ ）因为 为锐角三角形，且 ，所以 1分 4分 将 ， 代入得 6分 （ ）由 ，得 8分 得 ， 即 10分 由 解得 12分 考点：三角函数同角公式，和差倍半的三角函数，余弦定理，三角形面积公式 . 已知数列 an的前 n项和为 Sn，且满足 an Sn 1（ n N*）； （ ）求数列 an的通项公式； （ ）若 ， cn ，且 cn的前 n项和为 Tn，求使得对 n N*都成立的所有正整
12、数 k的值 . 答案： ( ) ； ( ) . 试题分析： ( ) 利用 得： ，验证 适合即得所求 . ( ) 根据 ，利用 “裂项相消法 ”可得 ,进一步利用 得到 的不等式组， 根据 k是正整数，得到 . 试题： ( ) 得： ，又易得 , 4分 ( ) 裂项相消可得 8分 10分 欲 对 n N*都成立，须 ， 又 k正整数， 5、 6、 7 12分 考点：数列的通项公式， “裂项相消法 ”，不等式组的解法 . 已知函数 . （ ）若函数 的值域为 ，若关于 的不等式 的解集为，求 的值； （ ）当 时， 为常数，且 ， ，求 的取值范围 . 答案：（ ） ；（ ） . 试题分析：（
13、）根据函数的值域为 ，求得 ，得到；通过解一元二次不等式，解得 . （ ）注意到 ，令 ，遵循 “求导数，求驻点，讨论区间导数值正负，确定极值 ”等步骤，即可得到 的范围为 . 试题：（ ）由值域为 ，当 时有 ， 即 2分 则 ，由已知 解得 ， 4分 不等式 的解集为 ， ， 解得 6分 （ ）当 时， ，所以 因为 ， ，所以 令 ，则 8分 当 时， ， 单调增，当 时， ， 单调减， 所以当 时， 取最大值， 10分 因为 ，所以 所以 的范围为 12分 考点：二次函数，一元二次不等式，应用导数研究函数的单调性、极值 . 四棱锥 底面是平行四边形，面 面 , , 分别为 的中点 .
14、（ 1）求证： （ 2）求证： （ 3）求二面角 的余弦值 . 答案：（ 1）见；（ 2）见； (3) . 试题分析：（ 1）根据已有中点， 推出 ，得到 ，即得证； （ 2）根据 ，由余弦定理得出 进一步得出根据 得证 . 上述两小题，关键是要注意表述的规范性 . (3)解答本小题可利用 “几何法 ”、 “向量法 ”，应用 “几何法 ”，要注意做好 “作图，证明，计算 ”等工作 .利用 “向量法 ”，则要注意计算准确 . 试题：（ 1） 1分 ,所以 2分 4分 （ 2） 中， 由余弦定理,所以， , 6分 7分 由 可知， 9分 (3)取 的中点 , 是二面角 的平面角 11分 由（ 2）
15、知 即二面角 的余弦值为 13分 解法二 （ 1） 所以 建系 令 , 因为平面 PAB的法向量 (2) (3) 设平面 PAD的法向量为 , 令 所以 平面 PAB的法向量 ，即二面角 的余弦值为 考点：平行关系，垂直关系，空间的角的计算 . 在实数集 R上定义运算：（ ）求 的式； （ ）若 在 R上是减函数，求实数 a的取值范围； （ ）若 ，在 的曲线上是否存在两点，使得过这两点的切线互相垂直？若存在，求出切线方程；若不存在，说明理由 . 答案：（ I） （ II） . （ III） 的曲线上不存的两点，使得过这两点的切线点互相垂直 . 试题分析：（ I）由新定义计算即得，关键是理解
16、“新运算 ”的意义； （ II）根据 时， 在减函数，得到 对于 恒成立， 即 恒成立，得到 . 属于常规题目，难度不大，主要是注意应用 “转化与化归思想 ” . （ III）假定 是 曲线上的任意两点，如果存在互相垂直的切线，则有 .因此，只需研究 是否成立即可 . 试题：（ I）由题意， 2分 4分 （ II） ， 6分 当 时， 在减函数， 对于 恒成立，即 恒成立， 8分 ， 恒成立， ， . 9分 （ III）当 时， ， 设 是 曲线上的任意两点， ， 11分 ， 不成立 . 12分 的曲线上不存的两点，使得过这两点的切线点互相垂直 . 13分 考点：新定义，导数的几何意义，应用导数研究函数的单调性
