1、2014届广东省广州市执信、广雅、六中高三 9月三校联考理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知全集 ，集合 , ,则图中的阴影部分表示的集合为 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：在集合 A中， ，且 ，所以 .集合 B中，由得 或 2. 所以 .图中阴影部分表示在集合 B中但不在集合 A中的元素的集合 ,所以是 . 考点：集合的基本运算、带绝对值不等式的解法、一元二次方程的解法 函数 的定义域为 D，若对于任意 ，当 时，都有，则称函 数 在 D上为非减函数，设函数 在 0， 1上为非减函数，且满足以下三个条件： ； ； . 则 等于 ( ) A B C D无法确定 答案： A
2、 试题分析：由 ，令 ，得 ，因为 ，所以 .由 ，令 ，得 .由 ，令 ，得，所以 .再由 ，令 ，得 . 中再令 ，得 .又函数 在 0， 1上为非减函数，所以 ，故 .所以有 =1+ + + + + = . 考点：抽象函数的运算、新概念的理解 将函数 y 2cos2x的图象向右平移 个单位长度，再将所得图象的所有点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），得到的函数式为 ( ) A y cos2x B y -2cosx C y -2sin4x D y -2cos4x 答案： D 试题分析：函数 y 2cos2x的图象向右平移 个单位长度得到，再将所得图象的所有点的横坐标缩短到原来的 倍（纵
3、坐标不变），得到 ，即 . 考点：三角函数图象的平移与变换、三角函数诱导公式 已知圆 C： 的圆心为抛物线 的焦点，直线 3x 4y 2 0与圆 C相切，则该圆的方程为 ( ) A B C D 答案： C 试题分析：抛物线 的焦点为（ 1,0），即圆心为（ 1,0），所以 .直线 3x 4y 2 0与圆 C相切 ,所以圆心（ 1,0）到直线 3x 4y 2 0的距离即半径 .由点到直线的距离公式： .所以该圆的方程为. 考点：直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式 若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的 B等于 ( ) A 63 B 31 C 127 D 15 答案： A 试题分析：由该程
4、序框图可知，初始值 A=1、 B=1，然后 B=21+1=3、 A=2，其次 B=23+1=7、 A=3，再 B=27+1=15、 A=4，再 B=215+1=31、 A=5，再B=231+1=63、 A=6，因为 6 5,所以此时输出 B=63. 考点：程序框图 已知 ，若 ，则 等于 ( ) A B C D 答案： D 试题分析：由正态分布知识，因为 ，所以 ，所以 . 考点：正态分布 等差数列 an中， “a1 a3”是 “an an+1”的 ( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案： C 试题分析：等差数列中，由 ，可知公差 ，所以
5、，即.反过来，由 ，可知公差 ，所以 ，即 .等差数列 an中， “a1 a3”是 “an an+1”的充分必要条件 . 考点：等差数列的性质、充要条件 复数 （ i是虚数单位）的共扼复数是 ( ) A B C D 答案： B 试题分析： ，所以其共扼复数为. 考点：复数的运算、共轭复数 填空题 在 中， 是边 的中点，点 在线段 上，且满足 ，延长 交 于点 ，则 的值为 _ 答案： 试题分析：过 点作 的平行线交 于点 ，因为 是边 的中点，所以是 中边 的中位线，因此 是 中点， .又 ，.设 ，则 ， ，即 .所以. 考点：平行截割定理 在直角坐标系 中，以原点 为极点， 轴的正半轴
6、为极轴建立极坐标系曲线 的参数方程为 （ 为参数），曲线 的极坐标方程为 ，则 与 交点在直角坐标系中的坐标为 _. 答案：（ 2,5） 试题分析：曲线 的参数方程为 （ 为参数），将 代入 ，因为 ，所以其一般方程为 .再将曲线 的极坐标方程为转化为直角坐标系中的方程 ,因为 ， ，故曲线 的一般方程为 .联立方程组 ，解得 或 ，又 ，所以 舍去 .所以 与 交点在直角坐标系中的坐标为（ 2,5） . 考点：坐标系与参数方程 将含有 3n个正整数的集合 M分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合 A、 B、 C，其 中 ， ， ，若 A、 B、 C中的元素满足条件： ， ， 1,2，
7、， ，则称 为 “完并集合 ”. （ 1）若 为 “完并集合 ”，则 的一个可能值为 .（写出一个即可） （ 2）对于 “完并集合 ” ，在所有符合条件的集合中，其元素乘积最小的集合是 . 答案：（ 1） 7、 9、 11中任一个；（ 2） . 试题分析：（ 1）由题意， 分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合 A、 B、 C， 设 、 、 ，其中 是中的元素 , 且互不相等 .由定义可知 、 ， ,又它们都是正整数，所以 是 中最大的元 素 .又 ，所以 ，又中元素为正整数， 故 为正奇数 .又由集合元素的互异性， 最小可为 7，由 ，因为5+6=11可知 最大可为 11， 否则就不存
8、在两个数的和等于 了 .所以 的一个可能值为 7、 9、 11中任一个；（ 2）因为 有 12个元素， 所以集合 有 4个元素，设 ，易知 中元素之和为 78，所以，其中 ， 为 中最大元素，所以 ， 最大可分别取 10、 11，所以 最小可等于 39-12-11-10=6，即 .所以集合 的所有可能的集合有： 共三种，计算可知， 元素乘积最小的集合为第 种 . 考点：新概念的理解、集合的含义 设 展开式的中间项，若 在区间 上恒成立，则实数 的取值范围是 _. 答案： 试题分析： 展开共七项，中间项为 = = ，所以 . 在区间 上恒成立 ,即 在区间 上恒成立 . ，因为 ，所以 ，即 在
9、区间上恒成立，所以 ，在区间 上，易知当 ，有最大值，最大值为 5，所以 .即实数 的取值范围是 . 考点：二项式定理、一元二次不等式恒成立问题 已知实数 则 的最小值为 _. 答案： -6 试题分析：作出该不等式组表示的平面区域，设直线 、 与直线 分别交于点 ，则 .直线 与直线的交点是 .该不等式组表示的平面区域即为三角形 围成的平面区域 . 变形得 ，由图可知直线 过点 ，此时在 轴上的截距最小，从而 有最小值，最小值为 23+4（ -3） =-6. 考点：简单的线性规划 某小学对学生的身高进行抽样调查，如图，是将他们的身高（单位：厘米）数据绘制的频率分布直方图若要从身高在 120，
10、130）， 130， 140）， 140， 150三组内的学生中，用分层抽样的方法选取 18人，则从身高在 140， 150内的学生中选取的人数应为 _. 答案： 试题分析：由图可知，身高在 100， 110） , 110， 120）， 120， 130）， 130， 140）， 140， 150这五组的频率分别是 0.05、 0.35、 、 0.2、 0.1，因为五组频率之和应为 1,所以 .根据分层抽样的知识，在 120， 130）， 130， 140）， 140， 150三组内的学生中取 18人，则从身高在 140， 150内的学生中选取的人数应为 . 考点：频率分布直方图、分层抽样 解
11、答题 已知函数 , .求 : (I)求函数 的最小正周期和单调递增区间； (II)求函数 在区间 上的值域 . 答案： (I) ， ； (II) . 试题分析： (I)先由二倍角公式对 进行降次，然后利用公式（其中 ）将 变成的形式，从而可以求出最小正周期和单调递增区间 ,在求单调区间时要特别注意 的正负，结合复合函数同增异减的规律，避免把单调增区间错求为单调减区间； (II)求函数 在区间 上的值域问题，先由的范围即区间 相位 的范围，从而得到 ，最后即得到的范围，也就是 的值域 . 试题： (I)由二倍角的正余弦公式及其变形，得 4分 函数 的最小正周期 ， 6分 即 时 为单调递增函数
12、的单调递增区间为 8分 (II)由题意得 10分 ，即 ， 的值域为 12分 考点： 1.三角恒等变换； 2.三角函数的基本运算； 3.函数 的图像和性质 . 在某校教师趣味投篮比赛中 ,比赛规则是 :每场投 6个球 ,至少投进 4个球且最后 2个球都投进者获奖 ;否则不获奖 .已知教师甲投进每个球的概率都是 . ( )记教师甲在每场的 6 次投球中投进球的个数为 X,求 X 的分布列及数学期望； ( )求教师甲在一场比赛中获奖的概率 . 答案： ( )X的分 布列 X 0 1 2 3 4 5 6 P 数学期望 ； ( ) . 试题分析： ( )先定出 X的所有可能取值，易知本题是 6个独立重
13、复试验中成功的次数的离散概率分布，即为二项分布 .由二项分布公式可得到其分布列以及期望 .( )根据比赛获胜的规定，教师甲前四次投球中至少有两次投中，后两次必须投中，即可能的情况有 1.前四次投中 2次（六投四中）； 2.前四次投中 3次（六投五中） 3.前四次都投中（六投六中） .其中第 1种情况有 种可能，第2中情况有 （或 ）种可能 .将上述三种情况的概率相加即得到教师甲获胜的概率 . 试题： ( )X的所有可能取值为 0,1,2,3,4,5,6. 依条件可知， 3分 X的分布列为： X 0 1 2 3 4 5 6 P 6分 . 或因为 ，所以 . 即 的数学期望为 4. 7分 ( )设
14、教师甲在一场比赛中获奖为事件 A，则 11分 答：教师甲在一场比赛中获奖的概率为 . 考点： 1.二项分布； 2.离散型随机变量的分布列与期望； 3.随机事件的概率 . 如图 ,四棱柱 的底面 是平行四边形 ,且 , , 为 的中点 , 平面 . ( )证明 :平面 平面 ； ( )若 ,试求异面直线 与 所成角的余弦值； ( )在 ( )的条件下 ,试求二面角 的余弦值 . 答案： ( )详见； ( ) ； ( ) . 试题分析： ( )证明面面垂直问题转化为证明线面垂直问题，即某一个平面中的某条直线垂直于另一个平面 .然后将线面垂直问题转化为线线垂直问题，即该直线与平面中的两条相交直线垂直
15、 .在本题中，我们选取的是平面 中的直线 ，因为易知 ，那么只需要在平面 再找一条直线垂直于即可 .因为底面 是平行四边形 ,且 , , , 为 的中点，所以可以证 ，从而得证； ( )求异面直线所成角，一般将两条异面直线平移到一个公共点上以便求出其夹角 .这里，我们选择将直线 平移至点 ，所以需要取 的中点 ,连接 ，易知 即所求，将其放在求出余弦值 .( )二面角 的余弦值可以通过建立空间直角坐标系用向量来解决 .其中前两问又可以用向量来解决 .第一问的面面垂直可以用两个平面的法向量垂直来证明，即法向量的数量积为 0，第二问用向量的夹角公式直接解出（需注意异面直线角的范围） .二面角同样可
16、以用两个半平面的法向量的夹角解决，不过这里要注意所求的二面角是锐角还是 钝角，从而选择是法向量夹角还是其补角为所求 . 试题： ( )依题意 , , 所以 是正三角形 , 又 所以 , 2分 因为 平面 , 平面 ,所以 3分 因为 ,所以 平面 4分 因为 平面 ,所以平面 平面 5分 ( )取 的中点 ,连接 、 ,连接 ,则 所以 是异面直线 与 所成的角 7分 因为 , , 所以 , , 所以 9分 解法 2：以 为原点，过 且垂直于 的直线为 轴， 所在直线为 轴，所在直线为 轴建立右手空间直角坐标系 . 设 则 ， ， ( )设平面 的一个法向量为 ， 则 ，取 相关试题 2014
17、届广东省广州市执信、广雅、六中高三 9月三校联考理科数学试卷（带） 已知数列 前 n项和为 成等差数列 . （ I）求数列 的通项公式； （ II）数列满足 ，求证： . 答案：（ I） ；（ II）详见 . 试题分析：（ I）由 成等差数列得到 与 的关系，令 可求出 .利用 可得 的递推公式，在本题中由此即可得出 是等比数列，从而可得其通项公式；（ II）由第一问并通过对数的运算性质将 化简 .得到，通过裂项 ，由裂项相消法即可得到 . 试题：（ I） 成等差数列 , 1分 当 时， ， 2分 当 时， ， ， 两式相减得： ， 5分 所以数列 是首项为 ，公比为 2的等比数列， 7分 （
18、 II） 9分 11分 14分 考点： 1.等差数列的性质； 2.对比数列通项公式； 3.裂项相消法 . 已知椭圆 的两个焦点 和上下两个顶点 是一个边长为 2且 F1B1F2为 的菱形的四个顶点 . （ 1）求椭圆 的方程； （ 2）过右焦点 F2 ，斜率为 （ ）的直线 与椭圆 相交于 两点， A为椭圆的右顶点，直线 、 分别交直线 于点 、 ，线段 的中点为 ，记直线 的斜率为 .求证 : 为定值 . 答案： (1) ；（ 2） 为定值 . 试题分析： (1)由椭圆两个焦点 和上下两个顶点 是一个边长为 2且 F1B1F2为 的菱形的四个顶点可得 ，从而得到椭圆方程 .（ 2）通过题目条
19、件，将直线 方程设出来，再将它与椭圆交点坐标设出来，即点，点 ，再分别表示出直线 、 的方程，令 ，得到点, ，的坐标，再利用中点坐标公式得到线段 的中点为 的坐标，利用斜率公式即得到 ，通过联立直线 与椭圆方程，用韦达定理替换 ， ，化简之后即可证明 为定值 .本题利用 “设而不求 ”达到证明的目的，充分利用韦达定理消去繁杂的未知数 .这是解决带有直线与圆锥曲线交点问题的常用的手段 . 试题： (1)由条件知 ， 2分 故所求椭圆方程为 . 4分 （ 2）设过点 的直线 方程为： ，设点 ，点 ， 将直线 方程 代入椭圆 ： ， 整理得： ， 6分 因为点 在椭圆内，所以直线 和椭圆都相交，
20、 恒成立，且 8分 直线 的方程为： ，直线 的方程为： ，令， 得点 ， ，所以点 的坐标 . 9分 直线 的斜率为 . . 11分 将 代入上式得： . 所以 为定值 . 14分 考点： 1.椭圆的简单几何性质； 2.直线与圆锥曲线的位置关系； 3.斜率公式及直线方程 . 已知函数 . （ ）当 时，讨论函数 在 上的单调性； （ ）如果 ， 是函数 的两个零点， 为函数 的导数，证明： . 答案：（ ）当 时，函数 在 上单调递减；（ ）详见 . 试题分析：（ ）不是常见的函数的单调性问题，可以采用求导得方法 .通过定导数的正负来确定单调性 .在本题中，求导得 ，但发现还是无法直接判断其
21、正负 .这时注意到 在 上单调递减，可以得到其最大值，即 ，而 ，所以 ，从而得函数 在上单调递减；（ ）通过 ， 是函数 的两个零点把 用表示出来，代入 中，由分成 与两段分别定其正负 . 易知为负， 则化成，再将 视为整体，通过研究的单调性确定 的正负，从而最终得到 .本题中通过求导来研究 的单调性，由其最值确定 的正负 .其中要注意 的定义域为 ， 从而 这个隐含范围 . 试题：（ ） ， 1分 易知 在 上单调递减， 2分 当 时， . 3分 当 时， 在 上恒成立 . 当 时，函数 在 上单调递减 . 5分 （ ） ， 是函数 的两个零点， （ 1） （ 2） 6分 由（ 2） -（ 1）得： ， 8分 ，所以 ， 将 代入化简得： 9分 因为 ，故只要研究 的符号 10分 令 ，则 ，且 ， 令 ， 12分 所以 ， 当 时， 恒成立，所以 在 上单调递增，所以当 相关试题 2014届广东省广州市执信、广雅、六中高三 9月三校联考理科数学试卷（带）
