1、2014届广东省执信中学高三上学期期中考试文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 设集合 ， ， ，则 等于（ ） A B C D 答案： B 试题分析： ， ， ，所以 ，所以 ，选 B. 考点：集合的基本运算 若存在正数 使 成立 ,则 的取值范围是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：存在正数 使 成立 存在正数 使得 存在正数 使得 成立，令 ，则函数 在 上单调递增，则 ，所以 ，选 D. 考点： 1.特称命题； 2.参数分离法 在区间 内随机取两个数分别记为 、 ，则使得函数有零点的概率为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：由于函数 ，则，即 ，事件空间所表示的区域
2、为 ，为边长为 的正方形，其面积为，事件 “函数 有零点 ”所构成的区域为，所表示的区域为正方形内以 为半径的圆的外部，其面积为 ，因此，事件 “函数有零点 ”的概率为 ，故选 B. 考点： 1.二次函数的零点； 2.几何概型 如图 ,正方体 中，点 在侧面 及其边界上运动，并且总是保持 ，则动点 的轨迹是 （ ） A线段 B线段 C 中点与 中点连成的线段 D 中点与 中点连成的线段 答案： A 试题分析：如下图所示，连接 、 、 ，由于四边形 为正方形，所以 ，因为 平面 ， 平面 ， ，因为 ，所以 平面 ， 平面 ，所以 ，同理可证 ，因为 ，所以 平面 ， 因为 平面 ，所以 ，过点
3、 有且只有一个平面与 垂直，且过点 与 垂直的直线都在此平面内，故 平面 ，而平面平面 ，故点 在侧面 内的轨迹为线段 ，故选 A. 考点：直线与平面垂直 如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为 “互为生成 ”函数 .给出下列函数： ； ； ； . 其中 “互为生成 ”函数的是 A B C D 答案： D 试题分析：根据题中的定义，函数为 “互为生成 ”函数，则这些函数在平移前后振幅不变，对于 中的函数而言， ；对于 中的函数而言， ；对于 中点的函数而言， ；对于 中的函数而言， ， 中和 中的函数的振幅均为 ，故选 D. 考点： 1.新定义； 2.三角函数图象变换 已知椭圆
4、的对称轴是坐标轴，离心率为 ，长轴长为 ，则椭圆方程为（ ） A 或 B C 或 D 或 答案： C 试题分析：设椭圆的长轴长为 ，短轴长为 ，焦距为 ，则 ，离心率 ， ，故椭圆的方程为 或 ，故选 C. 考点： 1.椭圆的离心率； 2.椭圆的标准方程 下列命题： ， ； ， ； ，； ， 中，其中正确命题的个数是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：对于命题 ，取 ，则 ，即 ，命题 错误；对于命题 ，取 ， ，即 ，命题 正确；对于命题 ，命题 正确；对于命题 ， ，取，则 ，命题 正确，故选 D. 考点：全称命题与特称命题 已知等比数列 的前三项依次为 、 、 .则 （ ） A
5、 B CD 答案： C 试题分析：由于 、 、 成等比数列且为等比数列 的前三项，则有，解得 ， 所以 ， ， ，设等比数列 的公比为 ，则 ，故选 C. 考点： 1.等比中项的性质； 2.等比数列的通项公式 已知向量 ， ，若 ，则 等于（ ） A B C D 答案： B 试题分析： ，故选 B. 考点：平面向量的坐标运算 已知 是虚数单位，则 （ ） A B C D 答案： A 试题分析： ，故选 A. 考点：复数的运算 填空题 如图， 是圆的切线， 为切点， 是圆的割线，且 ，则. 答案： . 试题分析：由切割线定理得 ，即 ，所以 ，因此 ，因此 . 考点：切割线定理 已知圆的极坐标方
6、程为 ，则该圆的半径是 . 答案： . 试题分析：圆 的方程为 ，即，化为直角坐标方程得 ，其标准方程为 ，故该圆的半径长为 . 考点：圆的极坐标方程与直角坐标方程之间的转化 已知圆 ，直线 .设圆 上到直线 的距离等于 的点的个数为 ，则 _. 答案： . 试题分析：设直线 与直线 的距离为 ，则，解得 或 ，直线 与圆 相交，则直线 与圆 的两个公共点到直线 的距离为 ，直线 与圆 相交，则直线 与圆 的两个交点到直线 的距离也为 ，因此 . 考点： 1.直线与圆的位置关系； 2.平行直线间的距离 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序 . 若输入 的值为 ，则输出的结果 _. 答案： .
7、 试题分析：第一次循环， ， ， ， 不成立； 第二次循环， ， ， ， 不成立； 第三次循环， ， ， ， 不成立； 第四次循环， ， ， ， 成立，跳出循环体，输出 . 考点：算法与程序框图 已知点 满足 ，则 的取值范围是 . 答案： . 试题分析：作不等式组 所表示的可行域如下图所示，直线 交轴于点 ，交 轴于点 ，作直线 ，则 为直线 在 轴上的截距，当直线 经过可行域上的点 时，此时直线 在 轴上的截距最大，当直线 过可行域上的点 时，此时直线 在 轴上的截距最小，因此， ，即目标函数 的取值范围是 . 考点：线性规划 解答题 已知函数 的图象的一部分如图所示 . （ 1）求函数
8、的式 ; （ 2）当 时，求函数 的最大值与最小值及相应的的值 . 答案：（ 1） ； （ 2）当 时， 的最大值为 ；当 时， 的最小值 . 试题分析：（ 1）先根据图象得出最大值 ，以及周期，从而求出 的值，最后将最高点 代入函数式并结合 的取值范围得出 的值，从而确定函数的式；（ 2）求出函数 结合诱导公式以及辅助角公式将函数的式化简为 的形式，并计算出 的取值范围，然后结合正弦曲线得到函数的最值，并找出相应的最值时， 的值，从而求解出函数取最值时的 值 . 试题：（ 1）由图像知 , , ,得. 将最高点 代入，得 ， ； （ 2） = ， , ， 当 ，即 时， 的最大值为 ；当 ，
9、即 时，的最小值 . 考点： 1.三角函数图象与三角函数式； 2.三角函数的最值 某校高三文科分为五个班 .高三数学测试后 , 随机地在各班抽取部分学生进行成绩统计 ,各班被抽取的学生人数恰好成等差数列 ,人数最少的班被抽取了 18人 .抽取出来的所有学生的测试成绩统计结果的频率分布条形图如图所示 ,其中120 130(包括 120分但不包括 130分 )的频率为 0.05,此分数段的人数为 5人 . （ 1）问各班被抽取的学生人数各为多少人 （ 2）在抽取的所有学生中，任取一名学生，求分数不小于 90分的概率 . 答案：（ 1）各班被抽取的学生人数分别是 18人， 19人， 20人， 21人
10、， 22人； （ 2）在抽取的所有学生中，任取一名学生 , 求分数不小于 90分的概率为 . 试题分析：（ 1）先利用频率、样本容量以及总容量之间的关系求出抽取的学生总数，利用各班抽取的人数成等差数列这一条件求出公差，进而确定各班被抽取的人数；（ 2）在频率分布直方图中找出区间 所对应的矩形，然后利用频率分布直方图的几何意义计算事件 “在抽取的所有学生中，任取一名学生，求分数不小于 90分 ”的概率 . 试题：（ 1）由频率分布条形图知，抽取的学生总数为 人 . 各班被抽取的学生人数成等差数列，设其公差为 ， 由 =100, 解得 . 各班被抽取的学生人数分别是 18人， 19人， 20人，
11、21人 ,22人 . （ 2）在抽取的学生中 ,任取一名学生 , 则分数不小于 90分的概率为 0.35+0.25+0.1+0.05=0.75. 考点： 1.等差数列； 2.频率分布直方图 某个实心零部件的形状是如下图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台 ，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱 . （ 1）证明：直线 平面 ； （ 2）现需要对该零部件表面进行防腐处理 .已知 ， ， ，（单位： ），每平方厘米的加工处理费为 元，需加工处理费多少元？ 答案：（ 1）详见；（ 2）所需加工处理费为 元 . 试题分析：（ 1）先证 ，再证 平面
12、 ，从而得到 平面 ，在证明 平面 的过程中，利用四边形 为正方形得到 ，再由直棱柱的性质得到 平面 ，从而得到 ，再利用直线与平面垂直的判定定理得到 平面 ；（ 2）先计算该几何体的表面积，然后利用单价乘以表面积便可以得到加工处理费 . 试题：（ 1）因为四棱柱 ABCD-A2B2C2D2的侧面是全等的矩形， 所以 AA2 AB， AA2 AD，又因为 ABAD A，所以 AA2 平面 ABCD. 连接 BD，因为 BD 平面 ABCD，所以 AA2 BD. 因为底面 ABCD是正方形，所以 AC BD. 根据棱台的定义可知， BD与 B1D1共面 又已知平面 ABCD 平面 A1B1C1D
13、1，且平面 BB1D1D平面 ABCD BD， 平面 BB1D1D平面 A1B1C1D1 B1D1，所以 B1D1 BD.于是 由 AA2 BD， AC BD， B1D1 BD，可得 AA2 B1D1， AC B1D1， 又因为 AA2AC A，所以 B1D1 平面 ACC2A2. （ 2）因为四棱柱 ABCD-A2B2C2D2的底面是正方形，侧面是全等的矩形， 所以 S1 S 四棱柱上底面 S 四棱柱侧面 (A2B2)2 4AB AA2 102 41030 1 300(cm2) 又因为四棱台 A1B1C1D1-ABCD的上、下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形 所以 S2 S 四棱台下底面
14、 S 四棱台侧面 (A1B1)2 4 (AB A1B1)h等腰梯形的高 202 4 (10 20) 1120(cm2) 于是该实心零部件的表面积为 S S1 S2 1300 1120 2420(cm2)， 故所需加工处理费为 0.2S 0.22420 484(元 ) 考点： 1.直线与平面垂直； 2.空间几何体的表面积 已知两点 、 ，点 为坐标平面内的动点，满足. （ 1）求动点 的轨迹方程； （ 2）若点 是动点 的轨迹上的一点， 是 轴上的一动点，试讨论直线 与圆 的位置关系 . 答案：（ 1）动点 的轨迹方程为 ；（ 2）点 的纵坐标为 . 试题分析：（ 1）设动点 的坐标为 ，直接利
15、用题中的条件列式并化简，从而求出动点 的轨迹方程；（ 2）先设点 ，利用导数求出曲线 在点 和点 处的切线方程，并将两切线方程联立，求出交点 的坐标，利用两切线垂直得到 ，从而求出点 的纵坐标 . 试题：（ 1）设 ，则 ， ， 即 ，即 ， 所以动点 的轨迹 M的方程 4分 （ 2）设点 、 的坐标分别为 、 ， 、 分别是抛物线 在点 、 处的切线， 直线 的斜率 ，直线 的斜率 . , , 得 . 、 是抛物线 上的点 , 直线 的方程为 ,直线 的方程为 . 由 解得 点 的纵坐标为 . 考点： 1.动点的轨迹方程； 2.利用导数求切线方程； 3.两直线的位置关系； 4.两直线的交点
16、已知数列 满足： ， ， （其中 为非零常数， ） （ 1）判断数列 是不是等比数列？ （ 2）求 ； （ 3）当 时，令 ， 为数列 的前 项和，求 . 答案：（ 1）数列 是等比数列；（ 2） ， ；（ 3）. 试题分析：（ 1）将数列 的递推式 进行变形得 ，从而利用定义得到数列 是等比数列；（ 2）在（ 1）的基础上先求出数列的通项公式，再利用累乘法求数列 的通项公式；（ 3）在（ 2）的基础上，将 代入数列 的通项公式，从而求出数列 的通项公式，并根据数列 的通项公式 ，对 、 以及 进行三种情况的分类讨论，前两种情况利用等差数列求和即可，在最后一种情况下利用错位相减法求数列 的前
17、项和 ，最后用分段的形式表示数列 的前项和 . 试题：（ 1）由 ，得 令 ，则 ， ， ， （非零常数）， 数列 是等比数列 （ 2） 数列 是首项为 ，公比为 的等比数列， ，即 当 时， ， 满足上式， （ 3） ， 当 时， ， 当 ，即 时， 得： ， 即 而当 时， ， 当 时， 综上所述， 考点： 1.定义法证明等比数列； 2.累乘法求数列通项； 3.等差数列求和； 4.错位相减法求和 已知二次函数 的导函数的图像与直线 平行，且 在处取得极小值 .设 . （ 1）若曲线 上的点 到点 的距离的最小值为 ，求 的值； （ 2） 如何取值时，函数 存在零点，并求出零点 . 答案：（
18、 1） 或 ；（ 2）详见 . 试题分析：（ 1）先设点 的坐标，利用两点间的距离公式将 表示为 为自变量的函数，利用基本不等式求出相应的最小值，然后列方程求出的值；（ 2）令 ，将函数 的零点转化为求方程的根，对首项系数 的符号进行分类讨论，以及在首项系数不为零时对 的符号进行分类讨论，从而确定函数在定义域上是否存在零点，并且在零点存在的前提下利用求根公式求出相应的零点值 . 试题：（ 1）依题可设 ( )，则； 又 的图像与直线 平行 ， ， 设 ，则 当且仅当 时， 取得最小值，即 取得最小值 当 时， 解得 当 时， 解得 （ 2）由 ( )，得 当 时，方程 有一解 ，函数 有一零点 ； 当 时，方程 有二解 ， 若 ， ， 函数 有两个零点 ，即 ； 若 ， ， 函数 有两个零点 ，即 ； 当 时，方程 有一解 , , 函数 有一零点 综上，当 时 , 函数 有一零点 ； 当 ( )，或 （ ）时， 函数 有两个零点 ； 当 时，函数 有一零点 . 考点： 1.两点间的距离公式； 2.基本不等式； 3.分类讨论； 4.一元二次方程的求解
