1、2014届广东省揭阳一中高三上学期第二次段考理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 设不等式 的解集为 M，函数 的定义域为 N，则为 （ ） A 0， 1） B（ 0， 1） C 0， 1 D（ -1， 0 答案： A 试题分析： 故选 C. 考点： 1、二次不等式的解法； 2、函数的定义域，对数的真数大于 0； 3、绝对值不等式的解法； 3、集合的运算 . 如右图，矩形 内的阴影部分由曲线 及直线与 轴围成，向矩形 内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为 ，则 的值为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：阴影部分的面积 ，矩形部分的面积 ，所以投的点落在阴影部分的概率 . 考点：几何
2、概型的意义，关键找出阴影部分的面积及矩形的面积，再代入几何概型计算公式 . 已知函数 是偶函数，则此函数的图象与轴交点的纵坐标的最大值为 ( ) A B 2 C 4 D -2 答案： B 试题分析：由已知 是偶函数，则 的奇次幂前的系数 即 ，且 ，此时函数图象与 轴交点的纵坐标为 ，当且仅当 时，等号成立，即最大值为 2. 考点： 1、二次函数是偶函数即一次项的系数为零； 2、利用重要不等式求最值 . 设某大学的女生体重 y（单位： kg）与身高 x（单位： cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（ xi， yi）（ i=1， 2， ， n），用最小二乘法建立的回归方程为 =0.85x-8
3、5.71，则下列结论中不正确的是 ( ) A y与 x具有正的线性相关关系 B回归直线过样本点的中心（ ， ） C若该大学某女生身高增加 1cm，则其体重约增加 0.85kg D若该大学某女生身高为 170cm，则可断定其体重比为 58.79kg 答案： D 试题分析：回归直线 D散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近 ,故 A正确；回归直线一定过样本点的中心 但不一定过样本数据，故 B正确；由回归直线方程可知 增加一个单位，体重就增加 ，故 C正确；回归直线对变量 预测值，不可断定其体重为 58.79kg，故 D错误 . 考点：考查线性回归方程，考查学生对线性回归方程的理解 . 将函数
4、 y 2cos2x的图象向右平移 个单位长度，再将所得图象的所有点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），得到的函数式为 ( ) A y cos2x B y -2cosx C y -2sin4x D y -2cos4x 答案： D 试题分析：函数 的图像向右平移 个单位长度，得再将所得图像的点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，则周期 变为 ，故 得到 . 考点：三角函数的图像变换 . 已知圆 C： 的圆心为抛物线 的焦点，直线 3x 4y 2 0与圆 C相切，则该圆的方程为 ( ) A B C D 答案： C 试题分析：由题意可知抛物线 的焦点为 即为圆心，点 到直线 的距离为圆的半径，即
5、 ，所以圆的标准方程为 . 考点： 1、圆的标准方程； 2、抛物线的标准方程； 3、直线与圆的位置关系可转化为圆心到直线的距离与半径的大小比较 . 设 P是 ABC所在平面内的一点， ，则（ ） A B C D答案： B 试题分析： ,故选B. 考点：向量的加减法，加法运算要首尾相接，减法运算要同起点 . 已知 是实数，是纯虚数，则 等于（ ） A B C D 答案： A 试题分析： 是纯虚数 解得. 考点：复数 的分类 .当 时 Z为纯虚数 . 填空题 如图，圆 是 的外接圆，过点 C的切线交 的延长线于点 ， 。则 的长 _(2分 )AC的长_(3分 ) 答案： , 试题分析：（ 1） 是
6、切线， 是割线， 根据切割线定理有解得 或 (舍去 ). (2) , , . 考点： 1、平面几何的切割线定理； 2、三角形相似 . （坐标系与参数方程选做题）设、分别是曲线 和上的动点，则、的最小距离是 答案： 试题分析：因为 分别是曲线 和 上的动点，即 分别是圆 和直线 上的动点，要求 两点间的最小距离，即在直线 上找一点到圆 的距离最小，也即是圆心 到直线 的距离减去半径 ，故最小值为. 考点： 1、直角坐标与极坐标的互化 ； 2、直线与圆的位置关系； 3、直线上的点到圆上的点的最值求法可转化为圆心到直线的距离加减半径 . 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的结果 的值是 答案： 试
7、题分析：运行程序框图当 时 ；当时 ；当 时；依次循环即时结束循环，即 ，输出的 值为 7. 考点：程序框图的循环结构，累加求和 . 给定下列四个命题： 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； 若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； 垂直于同一直线的两条直线相互平行； 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直其中，为真命题的是 。 答案： 试题分析： 中应该是 “若一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行 ” 中应该是 “同一平面中垂直于同一直线的两条直线相互平行 ”，在空间中可能三条直线
8、两两相交，例如矩形中一个顶点出发的三条直线 .故 正确 . 考点：主要考查对 真命题、假命题，平面与平面平行的判定与性质，平面与平面垂直的判定与性质，两直线平行、垂直的判定与性质 等考点的理解 设向量 ， ， 满足 ，且 ，则 ，则=_ 答案： 试题分析：由 可知 首尾相接构成一个三角形，又因为 可知 , 为直角边 , . 考点： 1、向量的加法运算； 2、向量垂直 ； 3、向量的模； 4、直角三角形变的关系 . 若关于 x的不等式 的解集为空集，则实数 a的取值范围是 。 答案： 试题分析：不等式 的解集为空集，转化为的最大值小于 .由绝对值的几何意义可知 的最大值为 . 解得 考点：绝对值
9、不等式的几何意义，等价转化思想的应用 . 若函数 在 处有极值，则函数 的图象在处的切线的斜率为 。 答案： -5 试题分析：因为函数 在 处有极值， ， ，函数 的图像在 处的切线的斜率为. 考点： 1、函数的导数和函数切线斜率的几何意义； 2、函数在某点 取得极值的条件 . 解答题 函数 . （ 1）求 的周期； （ 2） 在 上的减区间； （ 3）若 ， ，求 的值 . 答案： (1) ;(2) ;(3) . 试题分析：（ 1）先利用三角函数的诱导公式将函数 化为形式，再利用辅助角公式将其化为 的形式，则周期公式 可求得周期 . （ 2）先将 看成一个整体，由 解得正弦函数的减区间，再取
10、 值，可求得函数 在 上的减区间 . (3)将 代入（ 1）中的式可求得 的值，又因为 ，根据同角三角函数的基本关系式 、 可求得 、 的值，再根据两角和的正切公式 、二倍角公式可求得 . 试题：（ 1） ，（ ） , 所以 的周期 . （ 2）由 ，得 . 又 ，令 ，得 ；令 ，得 （舍去） 在 上的减区间是 . （ 3）由 ，得 ， ， 又 ， ， . 考点： 1、三角函数的诱导公式、辅助角公式、同角三角函数的基关系式、两角和差公式、二倍角公式； 2、三角函数的性质周期性、单调性 . 某次有 1000人参加的数学摸底考试，其成绩的频率分布直方图如图所示，规定 85分及其以上为优秀 . （
11、 1）下表是这次考试成绩的频数分布表，求正整数 a, b的值； 区间 75， 80) 80， 85) 85， 90) 90， 95) 95， 100 人数 50 a 350 300 b （ 2）现在要用分层抽样的方法从这 1000人中抽取 40人的成绩进行分析，求其中成绩为优秀的学生人数； （ 3）在（ 2）中抽取的 40名学生中，要随机选取 2名学生参 加座谈会，记 “其中成绩为优秀的人数 ”为 X，求 X的分布列与数学期望 . 答案： (1) ;(2)30人；（ 3）分布列 X 0 1 2 P 期望为 . 试题分析： (1) 为成绩在 的人数， 为成绩在 的人数，频率分布直方图中每个小矩形
12、的面积代表样本数据在该区间上的频率，有 1000人参加的数学摸底考试，故落在某一区间的人数为该区间的矩形面积乘以总人数 . (2)分层抽样是按一定比例抽取，但每个个体被抽到的概率相等，所以. (3) 随机选取 2名学生，则 2名学生成绩为优秀的人数为 0、 1、 2，利用古典概型分别求出 X取值时的概率，写出分布列，利用期望公式可求期望 . 试题： (1)依题意， . （ 2）设其中成绩为优秀的学生人数为 x，则 ，解得： x=30， 即其中成绩为优秀的学生人数为 30名 . （ 3）依题意， X的取值为 0， 1， 2， ， ， ， 所以 X的分布列为 X 0 1 2 P ，所以 X的数学期
13、望为 . 考点： 1、频率分布直方图； 2、分层抽样； 3、随机事件求概率，数学期望 . 已知几何体 的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形 （ 1）求异面直线 与 所成角的余弦值； （ 2）求二面角 的正弦值； （ 3）求此几何体的体积的大小 答案： (1)异面直线 与 所成的角的余弦值为 (2)二面角 的的正弦值为 (3)几何体的体积为 16 试题分析： (1)先确定几何体中的棱长 , ，通过取 的中点 ，连结 ， 则 ， 或其补角即为异面直线 与 所成的角 在 中即可解得 的余弦值 . (2) 因为二面角 的棱为 ，可通过三垂线法找二面角，由已
14、知平面 ，过 作 交 于 ，连 可得 平面 ，从而， 为二面角 的平面角 在 中可解得角的正弦值 . （ 3）该几何体是以 为顶点， 为高的， 为底的四棱锥，所以此外也可以以 为原点，以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系来解答 . 试题：（ 1）取 的中点是 ，连结 ， 则 ， 或其补角即为异面直线 与 所成的角 在 中， ， 异面直线 与 所成的角的余弦值为 （ 2）因为 平面 ，过 作 交 于 ，连 可得 平面 ，从而 ， 为二面角 的平面角 在 中， ， ， ， 二面角 的的正弦值为 （ 3） ， 几何体的体积为 16 方法 2：（ 1）以 为原点，以 CA， CB， CE所在直线为 x
15、,y,z轴建立空间直角坐标系 则 A（ 4， 0， 0）， B（ 0， 4， 0）， D（ 0， 4， 2）， E（ 0， 0， 4） ， ， ， 异面直线 与 所成的角的余弦值为 （ 2）平面 相关试题 2014届广东省揭阳一中高三上学期第二次段考理科数学试卷（带） 已知数列 前 n项和为 ，首项为 ，且 成等差数列 . （ 1）求数列 的通项公式； （ 2）数列满足 ，求证： 答案： (1)数列 的通项 公式 ;(2) ，,. 试题分析： (1)有等差数列的等差中项有 ，再根据可建立 的关系 ， ，由等比数列的定义可知数列 是以 为首项，以 2为公比的等比数列， . (2)由（ 1）中 可
16、写出 ，则 ，再利用裂项求和的方法有. 试题： (1) 成等差数列， ，当 时，当 时， ，两式相减得： 数列 是以 为首项，以 2为公比的等比数列，所以 . (2) . 考点： 1、等差中项； 2、数列中 求通项； 3 等比数列的定义；4、裂项相消求和； 5、放缩法证明不等式 . 已知三点 O(0,0)， A(-2,1)， B(2,1)，曲线 C上任意一点 M(x， y)满足 | | ( ) 2. (1)求曲线 C的方程； (2)点 Q(x0， y0)(-2x02)是曲线 C上的动点，曲线 C在点 Q 处的切线为 ，点 P的坐标是 (0， -1)， 与 PA， PB分别交于点 D， E，求
17、QAB与 PDE的面积之比 答案：（ 1）曲线 C的方程是 ；（ 2） QAB与 PDE的面积之比. 试题分析：（ 1）将向量式 化为坐标式，即可得曲线 C的方程是 .（ 2） 曲线 C在 Q 处的切线 的方程是， 且与 y轴的交点为 ， 再联立直线 PA， PB与曲线 C的方程，得 ， 利用韦达定理计算 ，由三角形的面积公式有，因为 到 的距离为，则 . 试题：解： (1)由 ， 得 由已知得 ， 化简得曲线 C的方程是 . (2)直线 PA， PB的方程分别是 ， 曲线 C在 Q 处的切线 l的方程是 ， 且与 y轴的交点为 ， 分别联立方程，得 ， 解得 D， E 的横坐标分别是 ， 则
18、 ， 故 ， 而 ，则 . 即 QAB与 PDE的面积之比为 2. 考点： 1、向量的坐标式、向量的模、数量积的坐标运算； 2、曲线的切线方程；3、韦达定理； 4、三角形的面积公式及三角形面积的分割求法 . 已知函数 （ 1）设 （其中 是 的导函数），求 的最大值； （ 2）求证 : 当 时，有 ； （ 3）设 ,当 时 ,不等式 恒成立，求 的最大值 . 答案： (1) 取得最大值 ；（ 2）； （ 3）整数 的最大值是 . 试题分析：（ 1）先求 ，根据导数判断函数 的单调性，再利用单调性求函数 的最大值； （ 2）当 时，有 ，再根据（ 1）中有 则，所以 ； （ 3）将不等式先转化为
19、 ，再利用导数求的最小值，因为 ，结合（ 1）中的 ，则 ， 所以函数 在 上单调递增因为 ， 所以方程 在 上存在唯一实根 ，且满足 当 ，即 ，当 ，即 ， 所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增 所以 所以 故整数 的最大值是 . 试题： (1） , 所以 当 时， ；当 时， 因此， 在 上单调递增，在 上单调递减 因此，当 时， 取得最大值 ； （ 2）当 时， 由（ 1）知：当 时， ，即 因此，有 （ 3）不等式 化为 所以 对任意 恒成立令 ， 则 ，令 ，则 ， 所以函数 在 上单调递增因为 ， 所以方程 在 上存在唯一实根 ，且满足 当 ，即 ，当 ，即 ， 所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增 所以 所以
