1、2014届广东省韶关市高三调研测试文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 设集合 , ， ,则 （ ） A B C D 答案： C 试题分析： ，所以 ，选 C 考点：二次不等式 交集 已知函数 ，且函数 有且只有一个零点，则实数 的取值范围是 ( ) A B . D 答案： B 试题分析：如图，在同一坐标系中分别作出 与 的图象，其中a表示直线在 y轴上截距，由图可知，当 时，直线 与 只有一个交点 .故选 B. 考点：分段函数图像 数形结合 已知向量 与 的夹角为 ,且 ,若 ,且 ,则实数 的值为 ( ） A B C D 答案： D 试题分析： 得 , 选 D 考点：向量内积 垂直 已知某
2、几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( ) A B CD 答案： C 试题分析：由三视图易知，该几何体是底面积为 ，高为 3的三棱锥，由锥体的体积公式得 .选 C 考点：三视图 三棱锥体积 函数 是（ ） A最小正周期为 的奇函数 B最小正周期为 的偶函数 C最小正周期为 的奇函数 D最小正周期为 的偶函数 答案： A 试题分析： ，所以 是最小正周期为 的奇函数，选 A 考点：余弦倍角公式 诱导公式 周期 奇偶性 已知椭圆与双曲线 的焦点相同，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为 ，那么椭圆的离心率等于 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：因为双曲线的焦点在 x轴上 ,所以
3、设椭圆的方程为,因为椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为 ,所以根据椭圆的定义可得 ,则 , ,选 B 考点：椭圆定义 离心率 若 ，则有（ ） . A B C D 答案： A 试题分析： ， ， ，选 A. 考点：指数 对数 单调性 已知 是实数， 是纯虚数，则 等于（ ） A B C D 答案： A 试题分析： 是纯虚数，则 ； ，选 A 考点：复数除法 纯虚数 填空题 在极坐标系中 ,圆 的圆心到直线 的距离是 答案： 试题分析：如下图 , 设圆心到直线距离为 ，因为圆的半径为 ，考点：参数方程 极坐标 点线距离 如图 , 是圆 的直径 ,点 在圆 上 ,延长 到 使 ,过 作圆的切线交
4、于 .若 , 则 _. 答案： 试题分析：利用已知条件和切割线定理可得 ， 考点：相似三角形 切割线定理 设某大学的女生体重 y（单位： kg）与身高 x（单位： cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（ xi， yi）（ i=1， 2， ， n），用最小二乘法建立的回归方程为 =0.85x-85.71，给定下列结论： y与 x具有正的线性相关关系； 回归直线过样本点的中心（ ， ）； 若该大学某女生身高增加 1cm，则其体重约增加 0.85kg； 若该大学某女生身高为 170cm，则可断定其体重必为 58.79kg. 其中正确的结论是 . 答案： 试题分析：根据回归直线方程的最小二乘法计算
5、公式可得 是正确的，再利用概念得 到 正确， 考点： 最小二乘法 回归直线 设实数 x、 y满足 ，则 的最大值是 _. 答案： 试题分析：由可行域知 ,当 时 , 考点： 线性规划 等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 答案： 试题分析：因为 为等差数列 ,所以根据等差数列的性质 (下脚标之和相等对应项之和相等 )可得 ,再根据等差数列的前 n项和公式可得,故填 6. 考点：等差数列 前 n项和 解答题 如图，在 中， ， ， ，点 是 的中点 , 求 : （ 1）边 的长； （ 2） 的值和中线 的长 答案：（ 1） 2 （ 2） 试题分析： （ 1）利用角 C的余弦值通过正余弦之间的关系可
6、以求的 C角的正弦值，已知角 B的大小可以计算角 B的正弦值 ,在三角形 ABC 中 ,已知角 c,角 B的正弦值与b边的大小 ,则可以根据三角形 ABC的正弦定理即可求的 AB长 . （ 2）从（ 1）和已知可以求的 B,C两个角的正余弦值，由于三角形内角和 180度，故 A角的余弦值可以通过诱导公式和余弦的和差角公式转化为 B,C两角正余弦值来表示，从而得到 A角的余弦值 ,在三角形 ADC 中利用 A角的余弦定理即可求的 CD的长度 . 试题： （ 1）由 可知， 是锐角， 所以， .2分 由正弦定理 5分 (2) 8分 由余弦定理 : 12分 考点：正余弦和差角公式 三角形正余弦定理
7、某学校随机抽取部分新生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学路上所需时间的范围是，样本数据分组为 ， ， ， ， . （ 1）求直方图中 的值； （ 2）如果上学路上所需时间不少于 40分钟的学生可申请在学校住宿，请估计学校 1000名新生中有多少名学生可以申请住宿； 答案：（ 1） 0.025 （ 2） 120 （ 3） 试题分析： （ 1）根据频率分布直方图可以得到组距为 20，而频率分布直方图的纵坐标与组距之积为频率 ,则可以求的各组的频率 ,又因为各组频率之和为 1,列出式子即可得到 x的值 . （ 2）由第一问可得到每组的频率 ,根
8、据频率分布直方图可求出所需时间不少于40分钟的学生包含 两个组的纵坐标 ,利用纵坐标与组距相乘即可得到所需时间不少于 40分钟的学生的频率，频率乘以总人数即可得到可以留宿学生的人数的估计值 . 试题： （ 1）由 ， 4分 则 6分 （ 2）上学所需时间不少于 40的学生的频率为： 8分 估计学校 1000名新生中有： 11分 答：估计学校 1000名新生中有 250名学生可以申请住宿 . 12分 考点： 频率分布直方图 频率 如图所示的多面体中， 是菱形， 是矩形， 面 , (1)求证：平 ； (2)若 ，求四棱锥 的体积 答案：（ 1）证明过程详见；（ 2） . 试题分析： （ 1）根据面
9、面平行的判断，要证明平面 平面 AED，只需要证明面 FCB内两条相交的直线 FB,BC 与面 AED 平行，而 BF 与 ED平行， BC 与 AD平行，即可得到两相交直线都与面 AED平行，进而得到面面平行 . （ 2）要求的四棱锥 的体积，必须求的底面 BDEF的面积与高，根据、 BDEF为矩形可以求的底面积，由于面 BDEF与面 ABCD是垂直的 (DE垂直与底面 ABCD)，所以可以连接 AC 与 BD交于 O，得到 AO 即为四棱锥的高 .可以通过底面为有一个角为 60度的菱形求的三角形 ABD为等边三角形进而得到高 AO 的长度，再利用四棱锥的体积公式 ，就求的了四棱锥的体积。
10、试题： （ 1）由 是菱形 3分 由 是矩形 6分 （ 2）连接 ， 由 是菱形， 由 面 , ， 10分 则 为四棱锥 的高 由 是菱形， ， 则 为等边三角形， 由 ；则 ， 14分 考点：面面平行的证明 线面平行 二面角 直二面角 坐标法 已知函数 . （ 1）当 时，求函数 单调区间； （ 2）若函数 在区间 1,2上的最小值为 ,求 的值 . 答案：（ 1） 在 上是增函数 （ 2） 试题分析： （ 1）对函数求导，求导函数大于 0和小于 0的解集，该函数的导函数为二次函数，且含有参数，可以通过判断该二次函数的图像的开口零点个数等确定导函数大于 0和小于 0的解集，进而得到单调区间
11、. （ 2）通过 (1)可以得 时，函数在区间 1,2的单调性得到最大值求出 8(并判断是否符合 )， a0时，继续通过讨论 f(x)的导函数，通过对导函数 (为二次函数 )的开口 根的个数 根的大小与是否在区间 1,3来确定原函数在区间 1,2上的最值，进而得到 a的值 . 试题： （ 1） 分 因为 ，所以 对任意实数 恒成立， 所以 在 是减函数 4分 (2)当 时，由（）可知， 在区间 1,2是减函数 由 得 ，（不符合舍去） 6分 当 时， 的两根 7分 当 ，即 时， 在区间 1,2恒成立， 在区间 1,2是增函数，由 得 9分 当 ，即 时 在区间 1,2恒成立 在区间 1,2是
12、减函数 ， （不符合舍去） 11分 当 ，即 时， 在区间 是减函数， 在区间是增函数；所以 无解 13分 综上， 14分 考点：导数 最值 单调性 二次函数 已知 为公差不为零的等差数列，首项 ， 的部分项 、 、恰为等比数列，且 ， ， . （ 1）求数列 的通项公式 （用 表示）； （ 2）若数列 的前 项和为 ，求 . 答案：（ 1） （ 2） Sn 试题分析： （ 1）由题得 a1,a5,a17是成等比数列的，所以 ，则根据 为等差数列 ,所以可以利用公差 d和首项 a来表示 ,进而利用 求的到 d的值(利用 a来表示 )，得到 an的通项公式 . （ 2）利用第一问 的通项公式可以
13、求的等比数列 、 、 、 中的前三项，得到该等比数列 、 、 、 的公比与首项，进而得到 的通项公式，则 为等比数列与常数数列的和 ,故利用分组求和法可得到 Sn的表达式 . 试题： （ 1） 为公差不为 ，由已知得 ， ， 成等比数列， ， 1分 得 或 2分 若 ，则 为 ，这与 ， ， 成等比数列矛盾， 所以 ， 4分 所以 . 5分 （ 2）由（ 1）可知 7分 而等比数列 的公比 。 9分 因此 ， 11分 14分 考点： 等比数列 等比数学 分组求和 设抛物线 的焦点为 ，点 ，线段 的中点在抛物线上 . 设动直线 与抛物线相切于点 ，且与抛物线的准线相交于点，以 为直径的圆记为圆
14、 （ 1）求 的值； （ 2）证明：圆 与 轴必有公共点； （ 3）在坐标平面上是否存在定点 ，使得圆 恒过点 ？若存在，求出 的坐标；若不存在，说明理由 答案：（ 1） （ 2）见 （ 3）存在 试题分析： （ 1）判断抛物线的焦点位置，得到焦点坐标，利用中点坐标公式得到 FA的中点坐标带入抛物线即可求的 P的值 . （ 2）直线与抛物线相切，联立直线与抛物线，判别式为 0即可得到 k,m之间的关系，可以用 k来替代 m，得到 P点的坐标，抛物线准线与直线的方程可得到Q 点的坐标，利用中点坐标公式可得到 PQ中点坐标，计算中点到 x轴距离与圆半径 (PQ 为直径 )的大小比较即可判断圆与 x
15、轴的位置关系 (点线距离小于或者等于半径，即相交或者相切 ). （ 3）由 (2)可以得到 PQ 的坐标 (用 k 表示 )，根据抛物线对称性知点 在 轴上，设点 坐标为 ，则 M点 需满足 ，即向量内积为 0，即可得到M点的坐标， M点的坐标如果为常数 (不含 k)，即存在这样的定点，如若不然，则不存在 . 试题： （ 1）利用抛物线的定义得 ，故线段 的中点的坐标为 ，代入方程得 ，解得 。 2分 （ 2）由（ 1）得抛物线的方程为 ，从而抛物线的准线方程为 3分 由 得方程 ， 由直线与抛物线相切，得 4分 且 ，从而 ，即 ， 5分 由 ，解得 ， 6分 的中点 的坐标为 圆心 到 轴距离 ， 所圆与 轴总有公共点 . 8分 (或 由 , ,以线段 为直径的方程为 : 令 得 ,所圆与 轴总有公共点） . 9分 （ 3）假设平面内存在定点 满足条件，由抛物线对称性知点 在 轴上， 设点 坐标为 ， 10分 由（ 2）知 ， 。 由 得， 所以 ，即 或 13分 所以平面上存在定点 ，使得圆 恒过点 . 14分 证法二：由（ 2）知 ， ， 的中点 的坐标为
