1、2014届江苏省兴化市安丰高级中学高三 12月月考数学试卷与答案（带解析） 填空题 设集合 ， , ,则 答案： 试题分析：由补集的定义有 ，由并集的定义有 . 考点：集合的运算 . 在整数集 中，被 除所得余数为 的所有整数组成一个 “类 ”，记为 ，即 ， 给出如下四个结论： ； ； ； 整数 属于同一 “类 ”的充要条件是“ ”其中，正确结论的个数为 答案： 试题分析：因为 ，所以 ， 正确；因为，所以 ， 不正确；显然 正确；若整数 属于同一“类 ”，则 ，反之， ，则，即整数 属于同一 “类 ”，所以 正确，故正确的结论有 3个 . 考点：新情境问题 . 设 是周期为 2的奇函数，当
2、 时， = ，则= 答案： 试题分析：由 是周期为 2的奇函数可知，. 考点：函数的周期性与奇偶性 . 已知不等式组 表示的平面区域 的面积为 ，若点 ，则的最大值为 . 答案： 试题分析：如图所示，不等式组表示的平面区域 为图中的阴影部分（含边界），其中 ， ，所以 ，得 ，平移直线 ，（其中 表示直线在 轴上的截距），观察可知，当直线经过点 时， 取得最大值，所以 的最大值为 . 考点：简单的线性规划 . 若向量 ， 满足 ， ，且 ， 的夹角为 ，则 答案： 试题分析： ， ，所以 . 考点：向量的数量积 . 在 中，若 ，则 答案： 试题分析：由余弦定理 ，得 ，解得 ，或 （舍去）
3、考点：正弦定理和余弦定理 . 在平面直角坐标系 中，已知 ， ，点 在第一象限内，且 ，若 ，则 + 的值是 答案： 试题分析：根据平面向量基本定理， ，所以 . 考点：平面向量基本定理 . 数列 是公差不为 0的等差数列，且 ，则 答案： 试题分析：由 得 即 ，. 考点：等差数列基本量的计算 . 设等比数列 的公比为 ，前 项和为 则 “ ”是 “ ” 的条件 答案：充分而不必要 试题分析：当 时， ，当 ，可得 或 ，所以 “ ”是 “ ”的充分而不必要条件 . 考点：等比数列的求和、充分条件与必要条件 . 已知 ， ，则 答案： 试题分析：由 知， ，所以 ， . 考点：同角三角函数的
4、关系式，两角差的正切公式 . 设 答案： 试题分析： ， . 考点：分段函数，指数与对数的运算 . 为平行四边形 的一条对角线， 答案： 试题分析：根据向量加法的平行四边形法则有 ，所以. 考点：向量的加法和减法 . 函数 的零点个数为 答案： 试题分析：函数 是减函数，且 ， ，所以 在上有唯一零点 . 考点：函数的零点 . 复数 答案： 试题分析： . 考点：复数的运算 . 解答题 已知函数 （ 1）若函数 在 上是增函数，求实数 的取值范围； （ 2）若函数 在 上的最小值为 3，求实数 的值 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）这是一个由函数在某区间上是增函数，求参数取值
5、范围的问题，可转化为其导函数在此区间上恒大于或等于 0的一个恒成立问题，恒成立问题是我们所熟悉的问题，可分离参数解答，也可由函数本身的性质作出判断；（ 2）这是一个求含参函数在某区间上的最小值问题，可通过导数的符号去判断函数的单调区间，当然一般会涉及对参数的讨论，之后利用单调性则可求出函数的最小值，再由最小值为 3，就可求出参数的值 . 试题：（ 1） ， 在 上是增函数， 0在 上恒成立，即 在 上恒成立 令 ，则 在 上是增函数， 1所以实数 的取值范围为 （ 2）由（ 1）得 ， 若 ，则 ，即 在 上恒成立，此时 在 上是增函数 所以 ，解得 （舍去） 若 ，令 ，得 当 时， ，所以
6、在 上是减函数，当 时， ，所以 在 上是增函数 所以 ，解得 （舍去） 若 ，则 ，即 在 上恒成立，此时 在 上是减函数 所以 ，所以 考点：函数与导数、函数的单调性 . 如图，某小区有一边长为 2（单位：百米）的正方形地块 OABC，其中OAE是一个游泳池，计划在地块 OABC 内修一条与池边 AE相切的直路 （宽度不计），切点为 M，并把该地块分为两部分现以点 O 为坐标原点，以线段OC所在直线为 x轴，建立平面直角坐标系，若池边 AE满足函数的图象，且点 M到边 OA距离为 （ 1）当 时，求直路 所在的直线方程； （ 2）当 为何值时，地块 OABC 在直路 不含泳池那侧的面积取到
7、最大，最大值是多少？ 答案：（ 1） ；（ 2） 时， . 试题分析：（ 1）点 M到边 OA距离为 ，则可设 ，当 时，求切线的方程是一个常规问题，切线的斜率是 处的导数，易求出直线的点斜式方程；（ 2）要求不含泳池一侧的面积，就是要把这个面积表示为 变量 的函数，为此需要确定切线与线段 的交点，当然也可能是与线段 的交点，这作一个判断或分类讨论，面积函数解决后，用一般求最值的方法，则可解决问题 . 试题： （ 1）对函数 求导得， ， ，又 ，所以切点，切线 的方程为 ，即 ； （ 2） ，过切点 的切线 即 ，令 得 ，故切线 交 于点 ； 令 ，得 ，又 在 递减，所以 故切线 与 O
8、C交于点 。 地块 OABC 在切线 右上部分区域为直角梯形， 面积 ，当 ， 。 考点：导数的应用、函数的最值 . 在锐角 ABC中，角 A、 B、 C的对边分别为 a、 b、 c，且（ 1）求角 ； （ 2）若 ，求 面积 S的最大值 . 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）由式子 的结构特征，很自然联想到余弦定理，将其化为关于角 的三角函数，由其函数值则可求出角 ；（ 2）由第（ 1）题的结果，可知 ，再由条件可得， ，利用基本不等式可求出 的最大值，进一步可得三角形面积的最大值 . 试题： （ 1）由已知得 ，所以 ， 又在锐角 中，所以 （ 2）因为 ， ，所以 而 又
9、 所以 面积 的最大值等于 考点：余弦定理、三角形面积、基本不等式 . 已知 （ 1）若 ，求 的值； （ 2）若 ，且 ，求 的值 答案：（ 1） ；（ 2） 7. 试题分析：（ 1）利用向量数量积的坐标表示， 可转化为三角函数，然后利用利用三角函数的相关公式对其变形，则可求解；（ 2）利用向量数量积的坐标表示， 可转化为角 的三角函数，然后利用角之间的关系，使用两角和与差的三角函数相关公式可求解 . 试题：（ 1）解：（ 1） （ 2） ， ， = =7 考点：平面向量的数量积、两角和与差的三角函数、同角三角函数关系式 . 已知命题： “ ，使等式 成立 ”是真命题 （ 1）求实数 m的取
10、值集合 M； （ 2）设不等式 的解集为 N，若 是 的必要条件，求 a的取值范围 答案：（ 1） ；（ 2） 或 . 试题分析：（ 1）本题是一个一元二次方程在某个区间上有解的问题，通常有两种方法，一是考察相应的二次函数的图象零点的分布，二是分离参数转化为求函数的值域问题，由于本题较容易分离参数，所以采用第二种方法，化为求在 上的值域；（ 2）根据 是 的必要条件得 ，就是一个一元二次不等式的解集，在求解时要讨论相应一元二次方程两根的大小，写出解集后，再由 ，通过使用数轴求出 的取值范围 . 试题： (1)由题意知，方程 在 上 有解， 即 的取值范围就为函数 在 上的值域，易得(2)因为
11、是 的必要条件，所以 当 时，解集 为空集，不满足题意 当 时， ，此时集合 则 ，解得 当 时， ，此时集合 则 ，解得 综上， 或 考点：函数与方程、充分条件与必要条件、集合的包含关系，一元二次不等式 . 已知数列 中， 前 和 （ 1）求证：数列 是等差数列 （ 2）求数列 的通项公式 （ 3）设数列 的前 项和为 ，是否存在实数 ，使得 对一切正整数 都成立？若存在，求 的最小值，若不存在，试说明理由。 答案：（ 1）详见；（ 2） ；（ 3） 试题分析：（ 1）由 可得 ，两式相减即得关于数列项的递推关系式，从而进行化简进行判断数列 为等差数列；（ 2）由数列的第一项和递推关系式可求出数列的第二项，从而求出数列的公差，进而求出数列的通项公式；（ 3）这是一个不等式恒成立问题， 的最小值就是 的最大值（上确界），而求 是我们所熟悉的裂项相消法，于是本题不难得到结果 . 试题：（ 1）由 ，知 ，两式相减得， ， 整理得 ，所以 ， 两式再相减整理得， ， 数列 为等差数列。 （ 2） 即公差为 2 （ 3） 要使得 对一切正整数 恒成立，只要 ， 所以存在实数 使得 对一切正整数 都成立， 的最小值为 。 考点：等差数列、裂项相消法 .
