1、2014届江苏省淮安市高三 5月信息卷理科数学试卷与答案（带解析） 填空题 已知集合 ，则 Z= 答案： 试题分析：由于 是整数集，因此 . 考点：集合的运算 . 已知数列 是各项均不为 的等差数列， 为其前 项和，且满足若不等式 对任意的 恒成立，则实数的最大值为 答案： 试题分析：由题意 ，则 ，不等式为 ，即 ，当 为偶数时，（当且仅当 时取等号），当为奇数时， ，函数 是增函数，因此时，其取得最小值为 ，即 ，综上 的取值范围是 ，所以 的最大值为 . 考点：数列的通项公式，数列与不等式恒成立的综合问题 . 已知函数 ， .若存在 使得，则实数 的取值范围是 答案： 试题分析：方程 变
2、形为 ，记函数 的值域为，函数 的值域为 ，设 的取值范围为 ，则，作出函数 和 的图象，可见在 上是增函数，在 上是减函数，且 ，而函数的值域是 ，因此 ，因此 . 考点：函数的图象，方程的解与函数的值域问题 . 在 中， ， ， ，若点 满足 ，且，则 答案： 试题分析：由题意点 在直线 上， 则 ，即 ，所以点 在 延长线上，由 ，得 ，因此 ，在 中由余弦定理得 ，再由余弦定理得 . 考点：共线向量定理，向量的数量积，余弦定理 . 已知函数 |的定义域和值域都是 ，则 答案： 试题分析：由题意可知 ，而在 上，函数 是增函数，因此 是方程 的两个根，所以 ，即 . 考点：函数的单调性与
3、函数的值域，方程的解 . 已知直线 ，若对任意 ，直线 与一定圆相切，则该定圆方程为 答案： 试题分析：取特殊值 ，三条直线分别为 ，这三条直线只与圆 都相切，经验证，对任意 ，直线 都与这个圆相切 . 考点：圆的切线 . 已知集合 ，则从 中任选一个元素 满足的概率为 答案： 试题分析：集合 中元素有 9个，分别是， 其中满足 的有 3个： ，因此所求概率为 . 考点：古典概型 . 若关于 的方程 在区间 上有两个不同的实数解，则实数 的取值范围为 答案： 试题分析：原方程变形为 ，如图作出函数的图象，可见当 时，直线 与图象有两个交点 . 考点：方程的解与函数图象的交点 . 棱长为 的正四
4、面体的外接球半径为 答案： 试题分析：记正四面体棱长为 ，外接球半径为 ，在正四面体中，利用棱，与棱共顶点的高及这条棱在对面上的射影构成的直角三角形可解得 ，因此中本题中 . 考点：正四面体（正棱锥的性质） . 函数 的最小正周期为 答案： 试题分析： 考点：三角函数的周期 . 已知复数 为虚数单位 ，若 为纯虚数，则 答案： 试题分析：由题意， 是纯虚数，则，解得 ， ， . 考点：复数的运算与模 . 在平面直角坐标系 中，抛物线 上纵坐标为 2的一点到焦点的距离为 3，则抛物线的焦点坐标为 答案： 试题分析：由题意 ， ，因此焦点为 . 考点：抛物线的性质 . 在如图所示的算法流程图中，若
5、输入 m 4， n 3，则输出的 a 答案： 试题分析：由题意只要 是 3的整数倍，就输出 ，根据程序框图计算，依次为： ， ， ，因此输出的 . 考点：程序框图 . 在一个样本的频率分布直方图中，共有 5个小矩形，若中间一个小矩形的面积等于其他 4个小矩形的面积和的 ，且中间一组的频数为 25，则样本容量为 答案： 试题分析：由题意其他四个小矩形的频数为 ，样本容量为. 考点：频率分布直方图 . 解答题 某超市在节日期间进行有奖促销，规定凡在该超市购物满 400元的顾客，均可获得一次摸奖机会摸奖规则如下： 奖盒中放有除颜色不同外其余完全相同的 4个球（红、黄、黑、白）顾客不放回的每次摸出 1
6、个球，若摸到黑球则摸奖停止，否则就继续摸球按规定摸到红球奖励 20元，摸到白球或黄球奖励 10元，摸到黑球不奖励 （ 1）求 1名顾客摸球 2次摸奖停止的概率； （ 2）记 为 1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量 的分布列和数学期望 答案： (1) ； (2)随机变量 的分布列为 : 10 20 30 40 试题分析： (1)1名顾客摸奖两次盒盖上摸奖的情况有 种，而基本事件和总数有 种，代入等可能事件概率公式可求得；（ 2）随机变量 的所有可能取值为 0,10,20,30,40，分别求出 各取值时的概率即可得 . （ 1）设 “1名顾客摸球 2次停止摸奖 ”为事件 A，则 ， 故 1名顾
7、客摸球 2次停止摸奖的概率 4分 （ 2）随机变量 的所有取值为 ， , ， ， , 8分 所以，随机变量 的分布列为 : 10 20 30 40 10分 考点： (1)古典概型；（ 2）随机变量的分布列和数学期望 . 已知 均为正数，证明： 答案：证明见 . 试题分析：不等式是对称式，特别是本题中不等式成立的条件是 ，因此我们可以用基本不等式，注意对称式的应用，如 ，对应的有， ，这样可得 ，同样方法可得 ，因此有 ， 相加，再应用基本不等式就可证明本题不等式了 . 因为 a， b， c均为正数， 由均值不等式得 a2 b22ab， b2 c22bc， c2 a22ac 所以 a2 b2 c
8、2ab bc ac同理 ， 故 a2 b2 c2 ab bc ac 6 所以原不等式成立 10分 考点：不等式的证明 . 在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程是 （ t是参数）， 以原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若圆 C的极坐标方程是 4cos，且直线 与圆 C相切，求实数 m的值 答案：或 . 试题分析：把直线 的参数方程消去参数 可得普通方程为 ，把圆的极坐标方程 化为直角坐标方程为 ，即 ，利用圆心到直线的距离等于圆的半径可得 的值 . 由 ，得 ，所以 ，即圆 的方程为 ， 又由 消 ，得 ，由直线 与圆 相切， 所以 ，即 或 10分 考点：参数方程化为普通方程，极
9、坐标方程与直角坐标方程的互化 . 已知矩阵 ，求点 在矩阵 对应的变换作用下得到的点坐标 答案： 试题分析：利用逆矩阵的定义 ，求出 ，然后再利用矩阵运算可求坐标为 . 设 ，则 ，所以，解得 ，即 5分 由 ，知点 ， 所以新坐标为 10分 考点：矩阵的运算 . 如图， A， B， C是 O 上的三点， BE切 O 于点 B， D是 与 O 的交点若 ， ，求证： 答案：证明见 . 试题分析：由于 是切线，因此 ，而 ，可得，这样就有 ，再利用切割线定理有 ，可求得 ，于是 ，即得 . 因为 BE切 O 于点 B，所以 ， 因为 ，所以 ，则 又因为 ，所以 ， 所以 即 10分 考点：平面
10、几何中圆的有关定理 . 已知函数 （ R）， 为其导函数，且 时 有极小值 （ 1）求 的单调递减区间； （ 2）若 ， ，当 时，对于任意 x，和 的值至少有一个是正数，求实数 m的取值范围； （ 3）若不等式 （ 为正整数）对任意正实数 恒成立，求 的最大值 答案： (1) ； (2) ；（ 3） 6. 试题分析：（ 1）首先要求得 的式，其中有两个参数 ，已知条件告诉我们 以及 ，由此我们把这两个等式表示出来就可解得 ，然后解不等式 即可得递减区间；（ 2）由（ 1）可得 ，由于 ，又 ，当 时， ，因此此时已符合题意，当 时， 也符合题意，而当 时，因此我们只要求此时 ， 是二次函数，
11、图象是开口方向向上的抛物线，故可采用分类讨论方法求得 的范围，使 ；（ 3）不等式 为 ，即，设 ，由 恒成立，只要的最小值大于 0即可，下面就是求 的最小值，同样利用导函数可求得 ，于是只要 ，变形为 ，作为 的函数 ，可证明它在上是减函数，又 ，故可得 的最大值为 6. （ 1）由 ，因为函 数在 时有极小值 ， 所以 ，从而得 ， 2分 所求的 ，所以 ， 由 解得 ， 所以 的单调递减区间为 ， 4分 （ 2）由 ，故 ， 当 m0时，若 x0，则 0，满足条件； 5分 若 x=0，则 0，满足条件； 6分 若 x0 8分 如果对称轴 0，即 4 m时， 解得 20； 所以 m的取值范
12、围为（ 0， 8）； 10分 （ 3）因为 ，所以 相关试题 2014届江苏省淮安市高三 5月信息卷理科数学试卷（带） 如果数列 满足： 且，则称数列 为 阶 “归化数列 ” （ 1）若某 4阶 “归化数列 ” 是等比数列，写出该数列的各项； （ 2）若某 11阶 “归化数列 ” 是等差数列，求该数列的通项公式； （ 3）若 为 n阶 “归化数列 ”，求证： 答案：（ 1） 或 ；（ 2）或 ；（ 3）证明见 . 试题分析：（ 1）等比数列 是 4阶 “归化数列 ”，则有 ，这样，于是 ，从而 ， ，以后各项依次可写出；（ 2）等差数列 是 11阶 “归化数列 ”，则 ，这样有 ，知当 时，
13、，当 时， ，由此可得 的通项公式分别为或 ；（ 3）对 阶 “归化数列 ”，从已知上我们只能知道在中有正有负，因此为了求 ，我们可以设 是正的， 是负的，这样 ， ，证毕 （ 1）设 成公比为 的等比数列，显然 ，则由， 得 ，解得 ，由 得 ，解得， 所以数列 或 为所求四阶 “归化数列 ”； 4分 （ 2）设等差数列 的公差为 ，由 ， 所以 ，所以 ，即 ， 6分 当 时，与归化数列的条件相矛盾， 当 时，由 ，所以 ， 所以 8分 当 时，由 ，所以 ， 所以 （ n N*， n11）， 所以 （ n N*， n11）， 10分 （ 3）由已知可知，必有 ai0，也必有 aj0(i，
14、 j 1， 2， ， n，且 ij) 设 为诸 ai中所有大于 0的数， 为诸 ai中所有小于 0的数 由已知得 X= + + + = ， Y= + + + =- 相关试题 2014届江苏省淮安市高三 5月信息卷理科数学试卷（带） 在平面直角坐标系 中，已知椭圆的焦点在 轴上，离心率为 ，且经过点 （ 1）求椭圆的标准方程； （ 2） 以椭圆的长轴为直径作圆 ，设 为圆 上不在坐标轴上的任意一点，为 轴上一点，过圆心 作直线 的垂线交椭圆右准线于点 问：直线能否与圆 总相切，如果能，求出点 的坐标；如果不能，说明理由 答案： (1) ；（ 2）能，点 . 试题分析：（ 1）求椭圆方程，一般要找
15、到两个条件，本题中有离心率为 ，即 ，另外椭圆过点 ，说明 ，这样结论易求；（ 2）存在性命题，问题假设存在，设 ，再设 ，首先有 ， ，于是 ，写出直线 方程为 ，让它与椭圆右准线相交，求得 ， 与圆 相切，则有 ，即 ，这是关于 的恒等式，由此利用恒等式的知识可求得 ，说明存在，若求不出 ，说明假设错误， 不存在 . （ 1）设椭圆方程为 ，因为经过点 ，所以， ， 又因为 ，可令 ，所以， ，即 ， 所以椭圆的标准方程为 6分 （ 2）存在点 7分 设点 ， ，因为 在以椭圆的长轴为直径作圆 上，且不在坐标轴上的任意点， 所以 且 ，又因为 ， 由 ，所以， ，所以直线 的方程为 ， 1
16、0分 因为点 在直线 上，令 ，得 ， 即 ， 12分 所以 ， 又 ， 与圆 总相切，故 ，于是有 ， ，即 恒成立，解之可得 ， 即存在这样点 ，使得 与圆 总相切 16分 考点：（ 1）椭圆的标准方程；（ 2）直线与椭圆、圆的综合性问题 . 某小区想利用一矩形空地 建市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一水塘（如图中阴影部分），水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中， ，且 中， ，经测量得到为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏设计时经过点 作一直线交 于 ，从而得到五边形 的市民健身广场，设 （ 1）将五边形 的面积 表示为 的函数； （ 2）当 为何值时，市民健身
17、广场的面积最大？并求出最大面积 答案：（ 1） （ ）；（ 2） 时，最大面积为 . 试题分析：（ 1）要求五边形 的面积，可先求 的面积，为此要求出 （因为 ），作 ，垂足为 ，则 ，又，因此利用相似形的性质可得 ，这样可得，于是 ；（ 2）对要求 最大值，可把 作为一个整体进行变形，即，可以应用基本不等式求得最值，要注意等号成立的条件 . （ 1）作 GH EF，垂足为 H， 因为 ，所以 ，因为 所以 ，所以 2分 过 作 交 于 T， 则 ， 所以 7分 由于 与 重合时， 适合条件，故 , 8分 （ 2） ， 10分 所以当且仅当 ，即 时， 取得最大值 2000， 13分 所以当
18、时，得到的市民健身广场面积最大，最大面积为 14分 考点：（ 1）相似形与多边形的面积；（ 2）函数的最值问题 . 在正三棱柱 ABC-A1B1C1中， AB AA1， D、 E 分别是棱 A1B1、 AA1的中点，点 F在棱 AB上，且 （ 1）求证： EF 平面 BDC1； （ 2）求证： 平面 答案：证明见 . 试题分析：（ 1）要证线面平行，就是要在平面 内找一条直线与直线平行，本题中容易看出就是要证明 ，而这个在四边形 中只要取 中点 ，可证明 即得；（ 2）要证 平面 ，根据线面垂直的判定定理，就是要证 与平面 内的两条相交直线垂直，观察已知条件，正三棱柱的侧面是正方形，因此有 ，
19、下面还要找一条垂线，最好在 ， 中找一条， 在平面 中，由平面几何知识易得，又由正三棱柱的性质可得 平面 ，从而 ，因此有 平面 ，即有 ，于是结论得证 . （ 1）证明：取 的中点 M，因为 ，所以 为 的中点， 又因为 为 的中点，所以 ， 2分 在正三棱柱 中， 分别为 的中点， 所以 ，且 ，则四边形 A1DBM为平行四边形， 所以 ，所以 ， 5分 又因为 平面 ， 平面 ，所以， 平面 7分 （ 2）连接 ，因为在正三角 中， 为 的中点， 所以， ，所以，在正三棱柱 ABC-A1B1C1中， 面 ， 所以， ，因为 ，所以，四边形 为正方形，由 分别为 的中点，所以，可证得 ，
20、所以， 面 ，即 ， 11分 又因为在正方形 中， ，所以 面 , 14分 相关试题 2014届江苏省淮安市高三 5月信息卷理科数学试卷（带） 在 ABC 中，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 （ 1）求证： ； （ 2）若 ，且 ，求 的值 答案：（ 1）证明见；（ 2） . 试题分析：（ 1）要求证角 的范围，我们应该求出 或 的取值范围，已知条件是角的关系，首先变形（通分，应用三角公式）得 ，结合两角和与差的余弦公式，有，即 ，变形为，解得 ，所以有 ，也可由正弦定理得，再由余弦定理有 ，从而有，也能得到 ；（ 2）要求向量的模，一般通过求这个向量的平方来解决，而向
21、量的平方可由向量的数量积计算得到，如，由 及可得 ，由（ 1） ，于是可得 ，这样所要结论可求 . （ 1）因为 2分 所以 ,由正弦定理可得， 4分 因为 ， 所以 ，即 6分 （ 2）因为 ，且 ，所以 B不是最大角， 所以 8分 所以 ，得 ，因而 10分 由余弦定理得 ，所以 12分 所以 即 14分 考点：（ 1）三角恒等式与余弦定理；（ 2）向量的模 . （ 1）已知 ，求证： ； （ 2）已知 ，且 ， 求证： 答案：证明见 . 试题分析：（ 1）本题证明只要利用作差法即可证得；（ 2）这个不等式比较复杂，考虑到不等式的形式，我们可用数学归纳法证明，关键在 时的命题如何应用 时的
22、结论， 中要把两个括号合并成一个，又能应用 时的结论证明 时的结论，当 时，结论已经成立，当 时，在 中可找到一个，不妨设为 ，使，即 ，从而有，这样代入进去可证得时结论成立 . （ 1）因为 ，所以 ，即 ； 2分 （ 2）证法一（数学归纳法）：（ ）当 时， ，不等式成立 4分 （ ）假设 时不等式成立，即 成立 . 5分 则 时，若 ，则命题成立；若 ，则 中必存在一个数小于 1，不妨设这个数为 ，从而 ，即 同理可得， 所以 故 时，不等式也成立 9分 由（ ）（ ）及数学归纳法原理知原不等式成立 . 10分 证法二：（恒等展开）左右展开， 得 由平均值不等式，得 8分 故 10分 考点：（ 1）比较法证不等式；（ 2）数学归纳法证不等式 .
