1、2014届江苏省诚贤中学高三上学期月考数学试卷与答案（带解析） 填空题 已知集合 ， ，则= 答案： 试题分析：由 可得 ，则 ;又由可得 ，则 ，所以 . 考点：集合的运算 已知 是首项为 a,公差为 1的等差数列 , .若对任意的 ,都有 成立 ,则实数 a的取值范围是 答案： 试题分析：由等差数列的通项公式可得 ，则，由函数的图象可知关于点 对称，则可解得 考点： 1.等差数列的通项 ;2.函数的图象 ;3.分式函数的最值 A， B是半径为 1 的圆 O 上两点，且 AOB若点 C 是圆 O 上任意一点，则 的取值范围为 答案： 试题分析：根据题意可得 ，则 ，由 ，得：，可求得 考点：
2、向量的数量积 过定点 (1,2)的直线在 正半轴上的截距分别为 ,则 4 的最小值为 答案： 试题分析：根据题意设直线方程为 ，则 ，由不等式可得 ，当且仅当时取等号，又 ，当且仅当 时取等号 考点： 1.直线议程 ;2.基本不等式的应用 已知函数 ，当 时， ，则实数 的取值范围是 答案： 试题分析：由题意可得：当 时， ，则，故 ，可解得 考点：分段函数的处理 已知实数 满足约束条件 （ 为常数），若目标函数的最大值是 ，则实数 的值是 答案： 试题分析：根据约束条件可作图如下，平移直线可知：当直线过点时 有最大 : ，则 考点：简单的线性规划 由命题 “ ”是假命题，求得实数 的取值范围
3、是 ，则实数 的值是 答案： 试题分析：根据题意可得： 是真命题，则 ，即，故 考点： 1.命题的真假 ;2.三个二次的关系 设正实数 满足 ，则当 取得最小值时，的最大值为 答案： 试题分析：由已知可得 ，则，此时当且仅当时取等号，则 ，当且仅当 时，有 考点： 1.基本不等式的应用 ;2.函数的最值 已知等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 的值是 答案： 试题分析：根据题意可得： ，解得 ，则 考点：等比数列的基本量计算 正三棱锥 中， ， ， 分别是棱 上的点，为边 的中点， ，则三角形 的面积为 答案： 试题分析：根据题意在正三棱锥 中， 为边 的中点，故可得，则 ，又由 ，故 ，假设
4、又在 中， ，则，故 . 考点：三棱锥的体积计算 在用二分法求方程 的一个近似解时 ,现在已经将一根锁定在区间 (1,2)， 则下一步可断定该根所在的区间为 答案： （说明 :写成闭区间也算对） 试题分析：令函数 ，则可得，又 ，根据二分法则下一区间在 考点：二分法的应用 在等比数列 中 ,若 ,则 的值是 答案： 试题分析：在等比数列中根据下标和性质，可得 ，由，解得 考点：等比数列的性质 垂直于直线 且与圆 相切于第一象限的直线方程是 答案： 试题分析：由垂直于直线 可设直线方程为 ，则有，又因切点在第一象限故直线方程为 考点： 1.两直线的位置关系 ;2.直线和圆相切 若复数 ( )是纯
5、虚数，则 = 答案： 试题分析：根据题意可得： ，解得 ，则 ，故 . 考点：复数的运算 解答题 已知函数 ， (其中 )，设 . （ ）当 时 ,试将 表示成 的函数 ,并探究函数 是否有极值； （ ）当 时，若存在 ，使 成立，试求 的范围 . 答案：（ ）当 时 在定义域内有且仅有一个极值，当 时在定义域内无极值 ; （ ） 或 试题分析：（ ）观察 与 的特点 ，可得， ，即可得到函数，观察此函数特征可想到对其求导得，由二次函数的图象不难得出 在 上有解的条件 ，进而求出 的范围 ; （ ）由 可得 ，又由可得 ，故可令函数的最大值为正，对函数求导令其为 0得求出 ，由 与 ，和 与
6、的大小关系对进行分类讨论，并求出各自情况的最大值，由最大值大于零即可求出 的范围 试题：（ ） , , (3分 ) 设 是 的两根，则 ， 在定义域内至多有一解 , 欲使 在定义域内有极值，只需 在 内有解，且的值在根的左右两侧异号， 得 (6分 ) 综上：当 时 在定义域内有且仅有一个极值，当 时 在定义域内无极值 （ ） 存在 ，使 成立等价于 的最大值大于0， ， , 得 . 当 时， 得 ； 当 时， 得 (12分 ) 当 时， 不成立 (13分 ) 当 时， 得 ； 当 时， 得 ； 综上得： 或 (16分 ) 考点： 1.代数式的化简 ;2.函数的极值 ;3.导数在函数中的运用 已
7、知圆 的方程为 ,点 是坐标原点 .直线 与圆 交于 两点 . (1)求 的取值范围 ; (2)设 是线段 上的点 ,且 .请将 表示为 的函数 . 答案： (1) ; (2) ( ) 试题分析： (1)根据题意要使直线和圆有两个交点，可转化为直线和圆的方程联立方程，即 消去 ，可得关于 的一元二次方程，通过 可得方程有两解，即直线和圆有两个交点 ; (2)由题中条件 ，即先要求出， 进而得出，结合 (1)中所求的一元二次方程运用韦达定理即可求出 与 的关系式 ，最后由点 在直线 上，即可将 转化为 ，这样即可得出 ，注意要由 (1)中所求 ，得到 的范围 试题： (1)将 代入 得 则 ,(
8、*) 由得 . 所以 的取值范围是 (2)因为 M、 N 在直线 l上 ,可设点 M、 N 的坐标分别为 , ,则 , ,又 , 由 得 , , 所以 由 (*)知 , , 所以 , 因为点 Q 在直线 l上 ,所以 ,代入 可得 , 由 及 得 ,即 . 依题意 ,点 Q 在圆 C内 ,则 ,所以 , 于是 , n与 m的函数关系为 ( ) 考点： 1.直线和圆的位置关系 ;2.韦达定理的运用 ;3.点与圆的位置关系 如图，两座建筑物 的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是 9 和 15 ，从建筑物 的顶部 看建筑物 的视角. 求 的长度； 在线段 上取一点 点 与点
9、不重合），从点 看这两座建筑物的视角分别为 问点 在何处时， 最小？ 答案： ; 当 为 时， 取得最小值 试题分析： 根据题中图形和条件不难想到作 ，垂足为 ，则可题中所有条件集中到两个直角三角形 中，由，而在 中，再由两角和的正切公式即可求出的值，又 ，可求出 的值 ; 由题意易得在两直角三角形 中，可得 ，再由两角和的正切公式可求出 的表达式，由函数的特征，可通过导数求出函数的单调性和最值，进而求出 的最小值，即可确定出 的最小值 试题： 作 ，垂足为 ，则 ， ，设 ， 则 2分 ，化简得 ，解之得， 或 （舍） 答： 的长度为 6分 设 ，则 ， 8分 设 ， ，令 ，因为 ，得，当
10、 时， ， 是减函数；当时， ， 是增函数， 所以，当 时， 取得最小值，即 取得最小值， 12分 因为 恒成立，所以 ，所以 ， ， 因为 在 上是增函数，所以当 时， 取得最小值 答：当 为 时， 取得最小值 14分 考点： 1.两角和差的正切公式 ;2.直角三角形中正切的表示 ;3.导数在函数中的运用 如图，在四棱柱 中，已知平面 平面 且, . (1)求证： (2)若 为棱 的中点，求证： 平面 . 答案： 详见 ; 详见 试题分析： 要证明线线垂直 ，可转化为证明线面垂直，根据题中四边形 中的条件 ，不难求得 ，又由题中已知条件 ，结合面面垂直的性质定理就可证得 ，进而得证 ; 要证
11、明 ，根据线面平行的判定定理，可转化为证明线线平行，结合题中条件可证，在四形 中，由 并在三角形中结合余弦定理可求出 和 ，即可证得 ，问题得证 试题： 在四边形 中，因为 ， ，所以 ， 2分 又平面 平面 ，且平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 ， 4分 又因为 平面 ，所以 7分 在三角形 中，因为 ，且 为 中点，所以 ， 9分 又因为在四边形 中， ， ， 所以 ， ，所以 ，所以 ， 12分 因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 14分 考点： 1.线线，线面平行 ;2.线面，面面垂直 ;3.余弦定理的运用 在 ，已知 (1)求角 值； (2)求 的最大值 . 答案： ; 试题分析：
12、 根据题意观察所给代数式特点可见此式中全为角的正弦，结合正弦定理可化角为边转化为 ，可将此式变形为，根据特征可联想到余弦定理 ，从而可求出的值，即可得出 ; 由 中所求 的值，在 中可得 的值，这样可得 的关系，则 ，运用两角差的余弦公式展开可化简得 的形式，再根据公式化简，最后结合函数 的图象，结合 的范围，可求出 的范围，即可得到的最大值 试题： 因为 ， 由正弦定理，得 ， 2分 所以 ，所以 ， 4分 因为 ，所以 6分 由 ，得 ，所以 ， 10分 因为 ，所以 ， 12分 当 ，即 时， 的最大值为 14分 考点： 1.正弦定理 ;2.余弦定理 ;3.三角函数的图象 已 知 为实数
13、，数列 满足 ，当 时， （ ） ； (5分 ) （ ）证明：对于数列 ，一定存在 ，使 ； (5分 ) （ ）令 ，当 时，求证： (6分 ) 答案：（ ） ;（ ）详见 ;（ ）详见 试题分析：（ ）根据题意可得当 时， 成等差数列，当时， ，可见由 得出前 项成等差数列， 项以后奇数项为 ，偶数项为 ，这样结合等差数列的前 项公式就可求出 ;（ ）以和 为界对 进行分类讨论，当 时，显然成立 ;当 时，由题中所给数列的递推关系 ，不难得到 ;当 时，得 ，可转化为当 时的情况，命题即可得证 ; （ ）由可得 ，根据题中递推关系可得出 ，进而可得出= ，又 ，由于要对 分奇偶性，故可将相邻
14、两整数 当作一个整体，要证不等式可进行适当放缩 ，要对 分奇偶性，并结合数列求和的知识分别进行证明即可 试题：（ ） 由题意知数列 的前 34项成首项为 100,公差为 -3的等差数列 ,从第 35项开始 ,奇数项均为 3,偶数项均为 1,从而 =(3分 ) = . (5分 ) （ ）证明： 若 ,则题意成立 (6分 ) 若 ,此时数列 的前若干项满足 ,即 . 设 ,则当 时 , . 从而此时命题成立 (8分 ) 若 ,由题意得 ,则由 的结论知此时命题也成立 . 综上所述 ,原命题成立 (10分 ) （ ）当 时，因为 , 所以 = (11分 ) 因为 0,所以只要证明当 时不等式成立即可 . 而 (13分 ) 当 时 , (15分 ) 当 时 ,由于 0,所以 综上所述 ,原不等式成立 (16分 ) 考点： 1.数列的递推关系 ;2.等差，等比数列的前 n项和 ;3.不等式的证明
