1、2014届湖北襄阳市襄州一中等四校高三上学期期中联考理数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知集合 ，那么集合 为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：由 解得 ，故 ，选 B. 考点： 1.直线的交点； 2.集合的运算 设函数 满足 ， ，则当 时，（ ） A有极大值，无极小值 B有极小值，无极大值 C既无极大值，也无极小值 D既有极大值，又有极小值 答案： C 试题分析：由 x2f(x) 2xf(x)，得 f(x)，令 g(x) ex-2x2f(x)， x 0，则 g(x) ex-2x2f(x)-4xf(x) ex-2 .令 g(x) 0，得 x 2.当 x 2时， g(x) 0；
2、0 x 2 时， g(x) 0， g(x)在 x 2 时有最小值 g(2) e2-8f(2) 0，从而当 x 0 时，f(x)0，则 f(x)在 (0， )上是增函数，所以函数 f(x)无极大值，也无极小值选 C. 考点：用导数处理函数的单调性与极值 已知函数 有两个不同的零点 ，方程有两个不同的实根 .若这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数的值为（ ） A B C D 答案： A 试题分析：由题意可知： ，且 x3、 x4 只能分布在 x1、 x2 的中间或两侧，若 x3、 x4 只能分布在 x1、 x2 的中间，则公差 ，则，此时可求得 ，若 x3、 x4 只能分布在 x1、 x2的
3、两侧，则公差 ，则 ，不合舍去，故选 A. 考点： 1.等差数列； 2.分类讨论的思想方法； 3.函数的零点； 4.三角函数 已知函数 是定义在实数集 R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有 ，则 的值是 ( ) A 0 BC 1 D答案： A 试题分析：因为 ，故 .令 x=1.5,则, 令 x=0.5,则 ,令 x=-0.5,则 , 又已知函数 f(x)是定义在实数集 R上的不恒为零的偶函数，所以 ,所以 ，又令 x=-1,f(0)=0，所以 =f(0)=0，选 A. 考点： 1.奇偶函数的性质应用； 2.函数值的求法 奇函数 在 上为单调递减函数，且 ，则不等式的解集为 ( ) A B
4、 C D 答案： D 试题分析： 函数 f（ x）在（ 0， +）上为单调递减函数，且 f（ 2） =0, 函数f（ x）在（ 0， 2）的函数值为正，在（ 2， +）上的函数值为负 .当 x 0时，不等式 等价于 3f（ x） 2f（ x） 0,又奇函数 f（ x），所以有 f（ x） 0,所以有 0 x2.同理当 x 0时，可解得 2x 0.综上，不等式的解集为 2， 0） （ 0， 2.故选 D. 考点： 1.函数单调性与奇偶性的综合应用 ; 2.转化的思想方法的运用 对于函数 (其中 )，选取 的一组值计算 和 ，所得出的正确结果一定不可能是（ ） A 4和 6 B 2和 1 C 2和
5、 4 D 1和 3 答案： B 试题分析：由 f（ 1） =asin1+b+c ， f（ -1） =-asin1-b+c ， + 得： f（ 1）+f（ -1） =2c c Z，故 f（ 1） +f（ -1）是偶数 ,故选 B. 考点： 1.方程组的思想； 2.整体替换的求值 若 ， ，则 ( ) A B C D 答案： D 试题分析：由 ， 得 ，解得 ， （舍） .选 D. 考点： 1.余弦的倍角公式； 2.三角函数求值 函数 的图像在点 处的切线的倾斜角为 ( ) A B 0 CD 1 答案： A 试题分析：由 ，则在点 处的切线的斜率，故倾斜角为 .选 A. 考点： 1.利用导数求切线
6、的斜率； 2.直线斜率与倾斜角的关系 在同一坐标系中画出函数 ， ， 的图象，可能正确的是 ( ) 答案： D 试题分析：分 和 两种情形，易知 ABC均错，选 D. 考点：基本初等函数的图像 已知命题 ；命题 ，则下列命题中为真命题的是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：由指数函数性质知 时， ，命题 为假，由函数 和有交点可知命题 为真，然后由真值表可知选 C. 考点： 1.指数函数的性质； 2.函数图像的交点； 3.复合命题的真假判断 填空题 下列五个命题中，正确的命题的序号是 _. 函数 的图象的对称中心是 ； 在 上连续， ； 函数 的图象可由函数 的图象向右平移 个单位得
7、到； 在 上的导数 ； 函数 的递减区间是 . 答案： 试题分析：由 得 的图象的对称中心是 ， 对；当 在 上连续但不单调时， 不对；函数 的图象可由函数 的图象向左平移 个单位得到， 不对；由 条件知， 单调递减，故 ， 对； 由复合函数的单调性知函数 的递减区间是为 的递减区间，且 ，即： ， 不对 . 考点： 1.三角函数的对称中心； 2.三角函数的图像变换； 3.利用导数处理函数的单调性； 4.零点存在性定理； 5.复合函数的单调性 如果对于函数 的定义域内任意两个自变量的值 ，当 时，都有 且存在两个不相等的自变量 ，使得 ，则称为定义域上的不严格的增函数已知函数 的定义域、值域分
8、别为 ， ， 且 为定义域 上的不严格的增函数，那么这样的函数 共有 _个 答案： 试题分析：由题意，若函数 g（ x）是三对一的对应，则有 1， 2， 3对应 1； 1，2， 3对应 2； 1， 2， 3对应 3三种方式，故此类函数有三种，若函数是二对一的对应，则有 1， 2对 1， 3对 2； 1， 2对 1， 3对 3，有两种； 1对 1，2， 3对 2； 1对 1， 2， 3对 3，有两种； 1对 2， 2， 3对 3，有一种；若函数是一对一的对应，则 1对 1， 2对 2， 3对 3，共一种；综上，这样的 g（ x）共有 3+2+2+1+1=9种 . 考点： 1.函数单调性的性质；
9、2.分类讨论的思想方法 在 中，三内角 满足 ，则角的取值范围为 . 答案： 试题分析：由 及正弦定理知 ，故由余弦定理知 ，因 故 . 考点： 1.正弦定理和余弦定理的应用； 2.已知三角函数值求角 由曲线 ，直线 及 轴所围成的图形的面积为 _ 答案： 试题分析：曲线 y= ，直线 y=x-2及 y轴所围成的图形如图所示，故：= . 考点：定积分的计算 已知函数 ，则 的值等于 _ 答案： 试题分析： . 考点： 1.分段函数； 2.基本初等函数求值 解答题 设函数 的定义域为集合 ，函数 的定义域为集合 .（ 1）求 ；（ 2）若 , ,求实数的取值范围 . 答案：（ 1） ；（ 2）
10、试题分析：（ 1）先由定义域得 A、 B集合，再求集合的交集；（ 2）由集合与集合之间的包含关系，通过端点大小求出参数范围，此题注意集合 C为空集的考虑 . 试题：（ 1）依题意，可得 ， . 当 即 时， ,满足 . 当 时，要 ，则需满足 ，由此解得 . 综上，可知 考点： 1.函数的定义域； 2.集合的运算； 3.集合间的包含关系 已知函数 . （ 1）求 的最小正周期； （ 2）在 中， 分别是 A、 B、 C的对边，若 ， ，的面积为 ，求 的值 . 答案：（ 1） ； （ 2） 试题分析：（ 1）由已知条件由三角恒等变换化简得 ，可得最小正周期为 .（ 2）先由 得 ，再由 的面积
11、为 得到，最后可由余弦定理可得 . 试题：（ 1） 3分 5分 （ 2）由 ， ， 又 的内角， ， ， 8分 ， ， ， 10分 ， 12分 考点： 1.三角恒等变换； 2.正、余弦定理的应用； 3.解三角形 已知函数 ，其中 （ 1）写出 的奇偶性与单调性（不要求证明）； （ 2）若函数 的定义域为 ，求满足不等式 的实数 的取值集合； （ 3）当 时， 的值恒为负，求 的取值范围 . 答案：（ 1） 是在 R 上的奇函数，且在 R 上单调递增 .（ 2） .（ 3）试题分析：（ 1）先由式分析定义域为 R，再根据奇偶函数的定义由可知是奇函数；（ 2）函数 的定义域为 ,结合（ 1）的奇偶
12、性和单调性，可得关于 的不等式组，从而求出 .（ 3）由在 上单调递增，分析要 恒负，只要 ，即，从而求出 的取值范围 . 试题：（ 1） 是在 R上的奇函数，且在 R上单调递增 . 由 的奇偶性可得 ，由 的定义域及单调性可得，解不等式组可得 ，即 . 由于 在 上单调递增，要 恒负，只要 ，即，又 且 ，可得. 考点： 1.函数的单调性； 2.函数的奇偶性 设函数 ，其中 . （ 1)若 在 处取得极值，求常数 的值； （ 2）设集合 ， ，若 元素中有唯一的整数，求 的取值范围 . 答案：（ 1) ； （ 2） 试题分析：（ 1）由 在 处取得极值，可得 从而解得 ，此问注意结合极值定义
13、检验所求 值是否为极值点；（ 2）分 ，和 三种情况得出集合 A，然后由 元素中有唯一的整数，分析端点，从而求出 的取值范围 . 试题：（ 1） ，又 在 处取得极值，故 ，解得 .经检验知当 时， 为的极值点，故 . （ 2） , 当 时， ，则该整数为 2，结合数轴可知 ， 当 时， ，则该整数为 0，结合数轴可知 当 时， ,不合条件 . 综上述， . 考点： 1.利用导数处理函数的极值； 2.集合元素的分析 如图，某市准备在一个湖泊的一侧修建一条直路 ，另一侧修建一条观光大道，它的前一段 是以 为顶点， 轴为对称轴，开口向右的抛物线的一部分，后一段 是函数 ， 时的图象，图象的最高点为
14、 ， ，垂足为 . (1)求函数 的式； (2)若在湖泊内修建如图所示的矩形水上乐园 ，问：点 落在曲线 上何处时，水上乐园的面积最大？ 答案：（ 1） ；（ 2）点 的坐标为 时 最大 . 试题分析：（ 1）利用图像分析得出 ，代入点后求出 ，从而得出式；（ 2）先构建函数模型 ， ，然后利用函数的导数求出最值和点 P的位置 . 试题： (1)对于函数 ，由图象知： .将 代入到 中， 得 ，又 ，所以 . 4分 故 5分 （ 2）在 中，令 ，得 ， 所以曲线 所在抛物线的方程为 7分 设点 ， 则矩形 的面积为 ， 因为 ，由 ，得 9分 且当 时， ，则 单调递增， 当 时， ，则 单
15、调递减 11分 所以当 时， 最大，此时点 的坐标为 13分 （若没考虑 的范围，则扣 2分） 考点： 1.利用图像求函数 的式； 2.函数模型的应用 设函数 (1)当 时，求函数 的最大值； (2)令 （ ）其图象上任意一点 处切线的斜率 恒成立，求实数 的取值范围； (3)当 ， ，方程 有唯一实数解，求正数 的值 答案： (1) ;(2) ; (3) 试题分析：（ 1）利用导数分析函数的单调性，然后由单调性确定函数的最值；（ 2）先由导函数求出点 P处的切线斜率，然后由恒成立条件，转化为求 k的最大值，从而求出实数 的取值范围；（ 3）构建函数模型，利用函数的增减性，分析出方程有唯一解，
16、即函数有唯一零点的情况，从而得出正数 m的值 . 试题：（ 1）依题意，知 f（ x）的定义域为（ 0， +）， 当 ， ， 令 ， 解得 x=1，（ x 0）， 当 时， ，此时 f（ x）单调递增， 当 x 1时， ，此时 f（ x）单调递减， 所以 f（ x）的极 大值为 ，此即为最大值 . （ 2） ，则有 上恒成立， 所以 ，当 取得最大值 ，所以 . （ 3）因为方程 有唯一实数解，所以 有唯一实数解， 设 ，则 ，令， 因为 ， 当 上单调递减； 当 上单调递增； 当 ， 则 ，所以 ， 因为 m 0，所以 ，（ *） 设函数 ，因为当 x 0时， h（ x）是增函数，所以 h（ x） =0至多有一解， 因为 h（ 1） =0，所以方程（ *）的解为 ,即 ，解得 . 考点： 1.利用导数求函数的最值； 2.用化归与转化思想处理恒成立问题； 3.利用函数模型处理方程的实根分布
