1、2014届湖南省株洲市二中高三年级第二次月考文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知全集 ，集合 ，则 为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：由题意 ，所以 ，所以选 C. 考点：集合的运算 已知函数 是 R上的偶函数，对于 都有成立，且 ，当 ，且 时，都有则给出下列命题： ； 函数 图象的一条对称轴为 ； 函数 在 9， 6上为减函数； 方程 在 9， 9上有 4个根； 其中正确的命题个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 答案： D 试题分析：令 ，由 得 ，又函数 是R上的偶函数，所以 . .即函数 是以 6为周期的周期函数 .所以 .又 ，所以，从而 ；又函数关于
2、轴对称 .周期为 6，所以函数图象的一条对称轴为 ；又当 ，且 时，都有，设 ，则 .故易知函数 在 上是增函数 .根据对称性，易知函数 在 上是减函数，又根据周期性，函数 在 9， 6上为减函数；因为 ，又由其单调性及周期性，可知在 9， 9，有且仅有 ，即方程在 9， 9上有 4个根 .综上所述，四个命题都正确 . 考点：函数的奇偶性、函数的单调性与周期性、函数的零点与方程的根 设方程 的两个根为 ，则（ ） A B C D 答案： D 试题分析：依题意， ， ，分别作出函数 和函数的图像 .则图像中两函数交点的横坐标即方程 的两个根 .由图可知，两根中一个大于 1，一个大于 0小于 1.
3、不妨设 ，则， .所以，故 . 考点：函数与方程、对数函数与指数函数的图像和性质 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：由题意易知该三棱柱为正三棱柱，底面为正三角形 ,球心在该三棱柱中心处（如图所示） .所以球心到底面的距离为 .且球心在底面的射影为底面正三角形的中心 .易知 .球半径 .又易知 为直角三角形 .所以 .则该球的表面积为 . 考点：球的表面积公式、三棱柱的外接球 把函数 的图象按向量 平移，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 ，则所得图象的函数式是（ ） A B C D 答案： B 试
4、题分析：把函数 的图象按向量 平移，则得到，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 ，则得到 . 考点：函数 的图像和性质 各项都是正数的等比数列 中， 成等差数列，则（ ） A 9 B 6 C 3 D 1 答案： A 试题分析：设等比数列 的公比为 . 成等差数列 ,所以，即 ，因为各项都是正数，所以 .,从而 .依题意， . 考点：等差中项、等比数列 已知 ，且 是 的充分条件，则 的取值范围为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：由题意， ，因为 是 的充分条件，所以由 ，即 ，即 .所以. 考点：集合的基本运算、充分条件 某人进行了如下的 “三段论 ”推理：如果 ，则 是函数
5、的极值点，因为函数 在 处的导数值 ，所以 是函数的极值点 .你认为以上推理的 ( ) A大前提错误 B小前提错误 C推理形式错误 D结论正确 答案： A 试题分析：本题中，如果 ，则 是函数 的极值点是错误的 .若是函数 的极值点，则函数 在 的左右两侧异号，而否则尽管有，都不能说明 是函数 的极值点 .如 ，其导数，函数 在 上是增函数 .所以 不是函数 的极值点 .因此本题是大前提错误 . 考点：推理与证明、导数、函数的极值 是虚数单位，复数 的实部为 ( ) A B C D 答案： C 试题分析： ,所以实部为 1. 考点：复数的概念与运算 填空题 某同学为研究函数 (0x1)的性质，
6、构造了两个边长为 1的正方形 ABCD和 BEFC，点 P是边 BC 上的一个动点，设 CP x，则 AP PF f(x)请你参考这些信息，推知函数 f(x)的极值点是 _；函数 f(x)的值域是 _ _ 答案： ； 试题分析：由图易知当点 P从 C点移动到 B点的过程中时， AP PF f(x)先减小后增大，根据两点间直线最短的原理，当 AP 与 PF在一条直线上时，即点 P位于 BC 中点时， f(x)最小 .所以易知 时， ； 时，.所以 是函 数 f(x)的极值点 .且为极小值点 .易知 ；又 ，所以 .所以函数 f(x)的值域是 . 考点：函数的极值、函数的值域 过抛物线 x2=2p
7、y（ p 0）的焦点作斜率为 1的直线与该抛物线交于 A， B两点， A， B在 x轴上的正射影分别为 D， C若梯形 ABCD的面积为 12 ，则 P=_ . 答案： 试题分析：依题意知，焦点 ，则过抛物线 x2=2py（ p 0）的焦点且斜率为 1的直线方程为 .设 、 .则易知 、 ，所以 .又易知 ， .所以 、.所以梯形 ABCD的面积. 联立 ，所以 ， .代入 中，可得 ，又 ，所以 . 考点：梯形面积公式、直线与圆锥曲线的位置关系、抛物线的定义与性质 已知 O 为坐标原点，点 A的坐标是 ，点 在不等式组所确定的区域内上运动，则 的最小值是 . 答案： 试题分析：由向量的数量积
8、定义，易知 ，点 A的坐标是 ，所以 ， ，设 ，所以.作出不等式组 所表示的区域 .令目标函数 ，由图可知，当 过点 时， 取得最小值 .则 的最小值是 . 考点：向量的数量积、线性规划 正三棱柱 中， ，则 与平面 所成的角的正弦值为 . 答案： 试题分析：如图所示，取 中点 ，连 、 . 因为正三棱柱 中，侧棱 ，所以 .又底面为正三角形， 为 中点，所以 .从而有 ，所以 即为 与平面 所成的角 .设 ，则易知， ，且 为直角三角形 .故.即 与平面 所成的角的正弦值为 . 考点：直线与平面所成的角 在等差数列 中，若 ，则有成立，类比上述性质，在等比数列 中，若 ，则存在的等式为 .
9、 答案： 试题分析：等差数列 中，若 ，所以 ，即有.其中 ， ， ，（其中 为公差） .所以 时， . 即 .则类比上述性质，在等比数列 中，若 ， ， ， ， （其中 为公差） . .所以，因此有 . 考点：等比数列与等差数列的性质 右图程序运行后的输出结果为 . 答案： 试题分析：由图， 依次为 ； ； ； ； ；.停止 .所以输出 为 21. 考点：程序框图 解答题 已知函数 f(x) cos 2x 2sin x sin. (1)求 f(x)的最小正周期，最大值以及取得最大值时 x的集合； (2)若 A 是锐角三角形 ABC 的内角， f(A) 0， b 5， a 7，求 ABC 的面
10、积 答案：（ 1） ， 2，；（ 2） 10. 试题分析：（ 1）将函数 f(x)展开，由倍角公式及诱导公式化简为 f(x) 2sin，即可得 f(x)的最小正周期，最大值 .令 2x 2k， k Z，可得取得最大值时x的集合为； （ 2）先由 f(A) sin 0 及锐角 A的范围得 A，再由 b 5， a 7根据余弦定理得 c 8，最后由三角形面积公式 S ABC bc sin A得到 ABC的面积为 10. 试题： (1)f(x) cos 2x 2sin x sin cos 2x 2sin x cos x cos 2x sin 2x 2sin， 3分 f(x)的最小正周期是 . 4分 令
11、 2x 2k， k Z.解得： x k， k Z. f(x)的最大值是 2，取得最大值时 x的集合是 . 6分 (2) f(A) sin 0,0 A， A， 8分 在 ABC中， a2 b2 c2-2bc cos A， c2-5c-24 0，解得 c 8或 c -3(舍 )， 10分 S ABC bc sin A 10. 12分 考点： 1.三角恒等变换； 2.余弦定理； 3.三角形面积公式 高三某班有两个数学课外兴趣小组，第一组有 名男生， 名女生，第二组有 名男生， 名女生 .现在班主任老师要从第一组选出 人，从第二组选出 人，请他们在班会上和全班同学分享学习心得 . （ ）求选出的 人均
12、是男生的概率； （ ）求选出的 人中有男生也有女生的概率 . 答案：（ ） ；（ ） . 试题分析：（ ）由题意，先将从第一组选出 人，从第二组选出 人这一基本事件的所有可能情况都列出，可知共有 30种情况，其中选出的 人均是男生可知共有 3种情况，故求得选出的 人均是男生的概率为 ； （ ）在 30种基本事件中找出符合 人中有男生也有女生共得到 25个基本事件，从而计算得选出的 人中有男生也有女生的概率为 . 试题：（ ）记第一组的 4人分别为 ；第二组的 5人分别为1分 设 “从第一组选出 人，从第二组选出 人 ”组成的基本事件空间为 ，则 共有 30种 4分 设 “选出的 人均是男生 ”
13、为事件 ，则事件 A含有 3个基本事件 6分 ,所以选出的 人均是男生的概率为 8分 （ ）设 “选出的 3个人有男生也有女生 ”为事件 B，则事件 B含有 25个基本事件， 10分 ，所以选出的 人中有男生也有女生的概率为 . 12分 考点： 1.随机事件的概率； 2.排列组合 . 如图所示，在四棱锥 P-ABCD中，底面 ABCD是正方形，侧棱 PD底面ABCD， PD DC，点 E是 PC的中点，作 EFPB交 PB于点 F， (1)求证： PA/平面 EDB； (2)求证： PB平面 EFD； (3)求二面角 C-PB-D的大小 . 答案：（ 1）详见；（ 2）详见；（ 3） . 试题
14、分析：（ 1）证明线面平行，由判定定理，可证明 PA与平面 EDB内的一条直线平行 . 连接 AC，交 BD于点 O，连接 EO.即可通过中位线的性质证明EO/PA，从而证明了本题；（ 2）证明线面垂直，由判定定理，可证明 PB与平面 EFD内两条相交直线垂直 .又题设条件已给出 EFPB，从而只需再找出一条即可 .由题意，可以证明 DE 面 PCB,从而 DE PB.本题即可得证；（ 3）由 第（ 2）问，通过垂面法可知 DFE 即为二面角 C-PB-D 的平面角 .又易知 DEEF，再计算各边，从而由三角函数知识可得二面角 C-PB-D的平面角为 . 试题：（ 1）证明：连接 AC，交 B
15、D于点 O，连接 EO. 可知 O 为 AC 的中点，又因为 E为 PC的中点， 所以 EO/PA, 因为 EO 面 EDB,PA 面 EDB PA/平面 EDB 4分 （ 2）证明： 侧棱 PD底面 ABCD，且 BC 面 ABCD BC PD，又 BC CD， PDCD=D, BC 面 PCD.因为 DE 面 PCD, BC DE 又 PD DC，点 E是 PC的中点，可知 DE PC.由于 PCBC=C,所以 DE 面PCB. DE PB 同时 EF PB， DEEF=E 可得 PB平面 EFD 8分 （ 3）解：由（ 2）得 PB平面 EFD，且 EF 面 CPB， DF 面 DPB
16、所以 DFE即为二面角 C-PB-D的平面角 .设 PD=DC=2 在 Rt DEF中， DEEF，且 DE= ， PF= . sin DFE ,因此二面角 C-PB-D的平面角为 . 12分 考点： 1.直线与平面平行的判定； 2.直线与平面垂直的判定； 3.二面角 . 已知数列 为公差不为 的等差数列， 为前 项和， 和 的等差中项为 ，且 令 数列 的前 项和为 （ 1）求 及 ； （ 2）是否存在正整数 成等比数列？若存在，求出所有的 的值；若不存在，请说明理由 答案：（ 1） ， ；（ 2）存在， . 试题分析：（ 1）由条件设公差为 ，从而得到 ，即得到.再代入 中，通过裂项相消法
17、即可得 ；（ 2）先假设存在，分别写出 表达式，再由等比中项的性质得到 ，再通过分析得 ，而 ，且 都是正整数，则可得 只能为 2，代入得 符合题意 .所以存在 可以使 成等比数列 . 试题：（ ）因为 为等差数列，设公差为 ，则由题意得 整理得 所以 3分 由 所以 5分 （ ）假设存在 由（ ）知， ，所以 若 成等比，则有 8分 （ 1） 因为 ，所以 ， 10分 因为 ，当 时，带入（ 1）式，得 ； 综上，当 可以使 成等比数列 . 12分 考点： 1.等差中项的性质； 2.等比中项的性质； 3.裂项相消法 . 已知中心在原点的双曲线 的一个焦点是 ，一条渐近线的方程是. （ 1）求
18、双曲线 的方程；（ 2）若以 为斜率的直线 与双曲线 相交于两个不同的点 ，且线段 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为 ，求 的取值范围 . 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）先设出双曲线方程，再将焦点是 ，一条渐近线的方程是 代入解出相关参数，即得双曲线 的方程为 ；（ 2）先将直线方程设出，再与双曲线方程联立，得到的方程根的判别式.再由根与系数的关系得出 中点坐标的表达式，从而得到线段 的垂直平分线的方程 .将其与与两坐标轴的交点找出，由与两坐标轴围成的三角形的面积为 得到 ，代入根的判别式中可得到关于 的不等式 . ,解得 或 ，从而得到 的取值范围 . 试题：（
19、 1）设双曲 线 的方程为 ， 由题设得 解得 ， 所以双曲线 的方程为 ； （ 2）解：设直线 的方程为 ，点 ， 的坐标满足方程组 ，将 式代入 式，得 ， 整理得 ， 此方程有两个不等实根，于是 ，且， 整理得 . 由根与系数的关系可知线段 的中点坐标 满足 ， ， 从而线段 的垂直平分线的方程为 ， 此直线与 轴， 轴的交点坐标分别为 ， ， 由题设可得 ，整理得 ， ， 将上式代入 式得 ， 整理得 ， ，解得 或 ， 所以 的取值范围是 . 考点： 1.双曲线的几何性质； 2.直线与圆锥曲线的位置关系； 3.解不等式 . 已知 (1) 求函数 上的最小值； (2) 若对一切 恒成立
20、 ,求实数 的取值范围； (3) 证明 :对一切 ,都有 成立 . 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析： (1)对函数 求导，通过导数研究函数 的单调性，再讨论 的范围，以便得到 在 上的单调性 .从而得到函数 的最小值；（ 2）由题意得到 ，即 .再通过导数研究在 上的单调性，从而得 ，要想对一切 恒成立 ,则 ；（ 3）问题等价于证明，由（ 1）可以得 的最小值是，当且仅当 时取到 .再构造函数 ，通过导数研究单调性，由单调性研究函数的最大值 . 对一切 ，都有成立 ,即证明 要小于函数 的最小值 .在本问中，尽管二者相等，但因为不同时取到，故仍可满足题中的不等式 . 试题：（ 1） ， 当 单调递减，当 单调递增 ，即 时， ； ，即 时， 上单调递增， ；所以 (2） ，则 设 ，则 ， 当 单调递减，当 单调递增， 所以 所以 .所以实数 的取值范围为 . (3）问题等价于证明 ， 由（ 1）可知 的最小值是 ，当且仅当 时取到， 设 ，则 ，易知 ，当且仅当 时取到， 从而对一切 ，都有 成立 . 考点： 1.用导数研究函数的单调性； 2.通过单调性求最值； 3.不等式恒成立问题 .
