1、2014届福建莆田一中高三上学期第一学段考试文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知全集 ，集合 ， ，则 为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：由已知得 故选 C 考点：集合的运算 设 是已知的平面向量且 ，关于向量 的分解，有如下四个命题： 给定向量 ，总存在向量 ，使 ； 给定向量 和 ，总存在实数 和 ，使 ； 给定单位向量 和正数 ，总存在单位向量 和实数 ，使 ； 给定正数 和 ，总存在单位向量 和单位向量 ，使 ； 上述命题中的向量 ， 和 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是( ) A 1 B 2 C 3 D 4 答案： B 试题分析：利用向量加法的三角形法则
2、，易知 正确；利用平面向量的基本定理，易知正确；以 的终点作长度为 的圆，这个圆必须和向量 有交点，这个不一定能满足，故 是错的；利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须 ，所以 是假命题。综上，本题选B 考点： 1平面向量的基本定理； 2向量加法的平行四边形法则和三角形法则 已知 是奇函数，当 时， ，当时， 的最小值为 1，则 的值等于 ( ) A B C D 1 答案： D 试题分析：由已知 是奇函数，且当 时， 的最小值为 1，而奇函数图象关于原点对称性，可得当 时， 有最大值 ，当 ，即 时， ， 在上单调递增；当 ，即 时， ， 在 上单调递减 当 时， 取最
3、大值 ，故选 D 考点： 1函数的奇偶性； 2导数与函数的最大值最小值 设 都是正实数，且 满足 ，则使 恒成立的 的范围是 ( ) A (0,8 B (0,10 C (0,12 D (0,16 答案： D 试题分析：由已知 恒成立， 由已知及均值不等式可得，故选 D 考点： 1均值不等式； 2恒成立问题中的参数取值范围问题 函数 的定义域是 ，则其值域为（ ） A B C D 答案： A 试题分析：由于函数 在 和 上都是减函数，当 时，；当 时， ，所以函数 的值域为 ，故选 A 考点： 1函数的值域求法； 2还是的单调性 某校甲、乙两食堂 2013 年元月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐
4、月增加，并且每月增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同。已知 2013年 9月份两食堂的营业额又相等，则 2013年 5月份营业额较高的是（ ） A甲 B乙 C甲、乙营业额相等 D不能确定 答案： A 试题分析：由已知得甲食堂 2013年每月的营业额依次排列成等差数列 ，乙食堂 2013年每月的营业额依次排列成等比数列 ，设 的公差为 （由已知 ）， 的公比为 （由已知 ），由已知 ， ，有均值不等式及等差数列、等比数列的性质得 ，故选 A 考点： 1等差数列、等比数列的性质； 2均值不等式 已知数列 满足 则 的前 10项和等于 （ ） A B C D 答案： C 试题
5、分析：由已知得 是公比为 的等比数列，故选 C 考点： 1等比数列的定义； 2等比数列的前 项和公式 下面是关于复数 的四个命题：其中正确的命题是 ( ) ； ； ； 的虚部为 -1 A B C D 答案： C 试题分析：由已知得 正确，故选 C 考点： 1复数的概念； 2复数的运算 若一个 角的终边上有一点 且 ，则 的值为 ( ) A B C -4 或 D 答案： C 试题分析：由已知，得，解得 或，故选 C 考点：利用定义求三角函数的值 设 ，则 “ ”是 “ 为偶函数 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案： A 试题分析： 为偶函数，
6、但 为偶函数， “ ”是 “ 为偶函数 ”的充分不必要条件，故选 A 考点： 1充分条件、必要条件、充要条件的判断； 2三角函数的奇偶性 已知向量 （ ） A B C D 答案： B 试题分析：由已知解得，故选 B 考点： 1向量垂直的充要条件； 2向量的数量积运算 填空题 已知定义在 上的偶函数满足： ，且当 时，单调递减，给出以下四个命题： ； 是函数图像的一条对称轴； 函数 在区间 上单调递增； 若方程在区间 上有两根为 ，则 。以上命题正确的是 。（填序号） 答案： 试题分析： 是定义在 上的偶函数， ，可得，在 ，中令 得， 函数 是周期为 4的周期函数，又当 时， 单调递减，结合函
7、数的奇偶性画出函数 的简图，如图所示从图中可以得出： 为函数 图象的一条对称轴； 函数 在 单调递增； 若方程 在上的两根为 ，则 故 均正确 考点： 1函数的单调性、奇偶性、对称性及周期性； 2函数的零点与方程的根 若命题 “ ”是真命题，则实数 的取值范围是 。 答案： 试题分析：当 时，显然成立；当 时，要使 ，必须 ，解得 综上所述， 考点： 1全称命题真假的判断； 2一元二次不等式恒成立参数取值范围问题 若 满足约束条件 则 的最小值为 答案： 试题分析：如图，首先作出二元一次不等式组表示的平面区域（图中阴影区域），平移 可得当 时， 取最小值， 考点：线性目标函数的最值问题 若一个
8、等差数列前 3项的和为 34，最后 3项的和为 146，且所有项的和为390，则这个数列有 项。 答案： 试题分析： ， ，又 ， + ，得 考点： 1等差数列的性质； 2等差数列的前 项和公式 解答题 已知数列 为等差数列， 为其前 项和，且 （ 1）求数列 的通项公式；（ 2）求证：数列 是等比数列； 答案：（ 1）数列 的通项公式为 ；（ 2）详见试题分析 试题分析：（ 1）首先设数列 的首项为 ，公差为 ，由等差数列的通项公式及前 项和公式，列出 和 方程组，由这个方程组可以解得 和 ，进而可以写出等差数列 的通项公式；（ 2）由（ 1），首先可得 ，再列出 的表达式，利用等比数列的定
9、义，只要能算出 为非零常数即可 【结论】若数列 为等差数列，则数列 （ 为不等于零的常数）为等比数列；反过来，若数列 是各项为正数的等比数列，则数列 （且 ， 为常数）为等差数列 试题：（ 1）设数列 的首项为 ，公差为 ，由题意得：，解得： ； （ 2）由题意知： 数列 是首项为 2，公比为 4的等比数列 考点： 1等差数列的通项公式及前 项和公式； 2等比数列的定义域判断方法 设 的内角 所对边的长分别为 ，且有 （ ）求角 A的大小； （ )若 ， ， 为 的中点，求 的长 答案：（ ） ；（ ) 试题分析：（ ）由已知，先利用两角和与差的三角函数公式将化简为，而 ，由此即可求得角 A的
10、大小；（ )由已知 ， ，利用余弦定理 ，即可求得 的值 ，由勾股定理的逆定理可得： 最后，由于 为的中点，在直角三角形 中利用勾股定理即可求得 的长 试题：（ ） （ ） 在 中， 考点： 1余弦定理； 2三角函数的会等变换及化简求值 已知函数 ( )求函数的定义域与最小正周期； ( )设 ，若 ，求 的大小 答案：（ I）函数 的定义域为 ，最小正周期为 ； ( ) 试题分析：（ I）利用正切函数的定义域，列出 ， ，由此可以求得函数 的定义域；利用公式 ，可以求得函数的最小正周期； ( )由已知 ，首先列式： ，利用两角和的正弦、余弦、正切公式，同角三角函数的基本关系以及二倍角的正弦、余
11、弦公式化简，解方程并注意角 的范围（ ），即可求得角 的值 试题： ( )函数的定义域满足 ， ，解得 ， 所以函数的定义域为 最小正周期为 ( ) 解法 ：， ，于是，因为 ，所以，所以 ，因 而 ， ，因为 ，所以 ，所以 ， 解法 2：因为 ，所以 ， 所以 ， 因为 ，所以 ，于是 ， 整理得 ，所以 ， 因为 ，所以 ，因此 解法 3： ， 因为 ，所以 ，得 故 ，于是 所以 考点： 1两角和的正弦、余弦、正切公式； 2同角三角函数的基本关系；3二倍角的正弦、余弦公式； 4正切函数的性质 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下，大桥上的车流速度 v（单位：
12、千米 /小时）是车流密度 x（单位：辆 /千米）的函数。当桥上的的车流密度达到 200辆 /千米时，造成堵塞，此时车流速度为 0；当车流密度不超过 20辆 /千米时，车流速度为 60千米 /小时，研究表明；当时，车流速度 v是车流密度 x的一次函数 （ ）当 时，求函数 的表达式； （ ）当车流密度 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆 /每小时） 可以达到最大，并求出最大值（精确到 1辆 /小时） 答案：（ ）函数 的表达式为 = ；（ ）当车流密度为 100辆 /千米时，车流量可以达到最大，最大值约为 3333辆 /小时 试题分析： (1)由车流密度不超过 20辆
13、/千米时，车流速度为 60千米 /小时，可得 时， ；又 时，车流速度 是车流密度 的一次函数，设 ，利用 时 及 时 可求出 ，据此可求 表达式（ 2） 是关于 的分段函数，求出每段的最大值，再比较可得 的最大值 试题：（ ）由题意：当 时， ；当 时，设 ，显然 在 是减函数，由已知得 ，解得 故函数 的表达式为 = （ ）依题意并由（ ）可得 当 时， 为增函数，故当 时，其最大值为 ； 当 时， ， 当且仅当 ，即 时，等号成立 所以，当 时， 在区间 上取得最大值 综上，当 时， 在区间 上取得最大值 ， 即当车流密度为 100辆 /千米时，车流量可以达到最大，最大值约为 3333辆
14、 /小时 考点： 1函数的实际应用； 2函数的最值求法； 3均值不等式 设不等式组 所表示的平面区域为 Dn，记 Dn内 的整点个数为an(n N*)(整点即横坐标和纵坐标均为整数的点 ) (1) 求证：数列 an的通项公式是 an 3n(n N*) (2) 记数列 an的前 n项和为 Sn，且 Tn 若对于一切的正整数 n，总有Tnm，求实数 m的取值范围 答案： (1)详见试题； (2) 试题分析： (1)首先由已知 ，得 ， ，或， 内的整点在直线 和 上记直线 为 ， 与直线 和 的交点的纵坐标分别为 ，则可求得 的值，最后可得的表达式； (2)由 (1)先求出 及 的表达式，由已知对
15、一切的正整数 ，恒成立，等价于 ，可以利用数列 相邻两项的差，解 ，得到数列 的最大项，从而可得实数 的取值范围 试题： (1)证明：由 ，得 ， ，或 ，内的整点在直线 和 上记直线 为 ， 与直线 和的交点的纵坐标分别为 ，则 ， (2) ， ， 当 时， ，且，于是 ， 是数列 中的最大项，故 考点： 1线性规划整点问题； 2数列通项公式及前 项和的求法； 3恒成立不等式中的参数取值范围问题 设函数 其中 ，曲线 在点 处的切线方程为 （ I）确定 的值； （ II）设曲线 在点 处的切线都过点（ 0,2）证明：当 时， ； （ III）若过点（ 0,2）可作曲线 的三条不同切线，求 的
16、取值范围 答案：（ I） ， ；（ II）详见试题；（ III） 的取值范围是 试题分析：（ I）根据导数的几何意义，首先对函数 求导，可得，由已知：曲线 在点 处的切线方程为 ，从而可得 的值及 ，又 ，故得 ；（ II）先利用导数的几何意义，求出 在点 处的切线方程为 ，而点 在切线上，所以 ，化简即得 满足的方程为 ，下面利用反证法明当 时， ；（ III）由（ II）知，过点 可作 的三条切线，等价于方程 有三个相异的实根，即等价于方程 有三个相异的实根构造函数 ，利用导数求函数 的极大值、极小值，只要 的极大值与极小值异号即可，解这个不等式组即可求得 的取值范围 试题：（ I）由又由
17、曲线 处的切线方程为 ，得 故（ II） 处的切线方程为，而点 在切线上，所以 ，化简得，即 满足的方程为 下面用反证法证明：假设处的切线都过点，则下列等式成立 由（ 3）得 又 ，故由（ 4）得 ，此时 与 矛盾， （ III）由（ II）知，过点 可作 的三条切线，等价于方程有三个相异的实根，即等价于方程 有三个相异的实根 设 ，则 ，由于 ，故有 0 相关试题 2014届福建莆田一中高三上学期第一学段考试文科数学试卷（带） 免责声明 联系我们 地址：深圳市龙岗区横岗街道深峰路 3号启航商务大厦 5楼 邮编：518000 2004-2016 21世纪教育网 粤ICP备09188801号 粤教信息(2013)2号 工作时间 : AM9:00-PM6:00 服务电话 : 4006379991
