1、2014届重庆市高三下学期考前模拟（二诊）文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知 为虚数单位，复数 的虚部是（ ） A B C D 答案： A 试题分析： .选 A 考点：复数的概念及基本运算 已知 中， 边的中点，过点 的直线分别交直线 、 于点、 ，若 ， ，其中 ，则 的最小值是（ ） A 1 BC D 答案： A 试题分析：由已知得： ，因为 D、 E、 F三点共线，所以 ，由重要不等式得：. 考点：向量的运算 . 对任意实数 ，定义运算 ： ，设，则 的值是（ ） A B C D不确定 答案： A 试题分析：题中所定义运算即为取最大值 .设 ，则，当 时， 单调递减，所以最大，选
2、 A. 考点： 1、新定义； 2、导数的应用 . 设 是椭圆 上两点，点 关于 轴的对称点为 （异于点 ），若直线 分别交 轴于点 ，则 （ ） A 0 B 1 C D 2 答案： D 试题分析：（特例法）不妨设 ，则 ，.选 D. 考点：椭圆及向量 . 某几何体的三视图如题（ 6）所示，其侧视图是一个边长为 1 的等边三角形，俯视图是两个正三角形拼成的菱形，则这个几何体的体积为（ ） A 1 BC D 答案： C 试题分析：这是由两个三棱锥拼成的几何体，其体积为 .选 C. 考点：三视图及几何体的体积 . 执行如图所示的程序框图，则输出的 为（ ） A 20 B 14 C 10 D 7 答案
3、： A 试题分析：根据程序框图可得：，由此可知，所有 构成一个周期为 5的周期数列， 时， ，此时循环结束，故输出 20. 考点：程序框图 . 若 是 的必要条件， 是 的充分条件，那么下列推理一定正确的是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：由题意得， ，从而 . 考点：逻辑与命题 . 设集合 ，集合 ，则 （ ） A B C D 答案： A 试题分析：根据集合 B的定义可得，当 时， ，所以 ；当 时， ，所以 ；当 时， ，所以；所以 . 考点：集合的基本运算 . 下列函数中，既是偶函数，又在区间 上是减函数的是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：显然 既是偶函数，又在
4、区间 上是减函数，故选 B.在区间 上是增函数； 和 都不是偶函数 . 考点：函数的单调性与奇偶性 . 重庆市教委为配合教育部公布高考改革新方案，拟定在重庆 中学进行调研，广泛征求高三年级学生的意见。重庆 中学高三年级共有 700名学生，其中理科生 500人，文科生 200人，现采用分层抽样的方法从中抽取 14名学生参加调研，则抽取的理科生的人数为（ ） A 2 B 4 C 5 D 10 答案： D 试题分析：分层抽样就是按比例抽样，由题意得：抽取的理科生人数为.选 D. 考点：分层抽样 . 填空题 在已知平面区域 ，直线 和曲线有两个不同的交点，直线 与曲线 围成的平面区域为 ，向区域 内随
5、机投一点 ，点 落在区域 内的概率为 ，若 ，则实数 的取值范围是 . 答案 ： 试题分析：如图所示，设直线 与曲线 交于 两点， 的大小为 ， 的面积 扇形 的面积 阴影部分面积 显然 ，且 关于 递增，易得当 时， ，此时 ；当 时， ，此时 ； 考点： 1、平面区域； 2、几何概型 . 若关于 的不等式 的解集为 ，则关于 的不等式的解集为 . 答案： 试题分析：由题设得， 且 ，所以不等式 可变为，解这得 . 考点：一元二次不等式的解法 . 已知函数 的导函数为 ，若 ，则 . 答案： -1. 试题分析：求导得： . 考点：导数的求法 . 若正项等比数列 满足： ，则公比 . 答案：
6、试题分析：由已知得， .因为各项为正，所以 . 考点： 1、等比数列； 2、二次方程 . 已知 ，且 ，则 . 答案： 试题分析：由已知得， . 考点：三角函数基本运算 . 解答题 为了调查某厂 2000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了 位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为，得到如题（ 16）图所示的频率分布直方图。已知生产的产品数量在 之间的工人有 6位 . （ 1）求 ； （ 2）工厂规定从生产低于 20件产品的工人中随机的选取 2位工人进行培训，求这 2位工 人不在同一组的概率 . 答案：（ 1） 20；（ 2） 位工人不同组的概率为 . 试题分析：（ 1）频率分布直方图
7、中小矩形的面积即为相应组的频率，由此可得这一组的频率为 .又已知这一组的频数为 6，所以总数.（ 2）由题得， 这一组的工人有 人，这一组的工人有 人 ,这两组共有 6人，将这 6人编号： 1， 2， 3，4， 5， 6，其中 1， 2号表示第一组的人 .将从中抽取两人的所有结果一一列举出来，可知有 种不同的结果，其中 位工人不同组的结果有 种，二者相除即得所求概率 . （ 1）由题得， 这一组的频率为 3分 6分 （ 2）由题得， 这一组的工人有 人， 这一组的工人有 人 9分 从这两组中抽取 位工人共有 种不同的结果，其中 位工人不同组的结果有种， 位工人不同组的概率为 13分 考点： 1
8、、频率分布直方图； 2、古典概型 . 已知向量 ，函数的最小正周期为 . （ 1）求 的值； （ 2）设 的三边 、 、 满足： ，且边 所对的角为 ，若关于的方程 有两个不同的实数解，求实数 的取值范围 . 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）由向量的数量积得： ，将降次化一，化为 的形式，然后利用公式 便可求得 （ 2）首先求出角 即 的范围，再结合正弦函数的图象便可得出方程有两个不同的实数解时 的取值范围 .由余弦定理得：，从而可得 的范围 . （ 1） 4分 ； 6分 （ 2） 9分 所以 ， 由函数 的图象知，要有两个不同的实数解，需 ，即 13分 考点： 1、三角函数
9、； 2、向量； 3、余弦定理 . 设 为等差数列 的前 项和，已知 . （ 1）求 ； （ 2）设 ，数列 的前 项和记为 ，求证： . 答案：（ 1） ；（ 2）详见 . 试题分析：（ 1）将题设代入等差数列的公式得方程组：，解这个方程组求出 ， ，从而可得通项公式 .（ 2）由（ 1）得， ，所以，用裂项法求得 ，再用放缩法将 变为 即得 . （ 1）设数列 的公差为 ，由题得 3分 解得 ， 5分 6分 （ 2）由（ 1）得， 8分 10分 12分 13分 考点： 1、等差数列； 2、裂项法； 3、不等式的证明 . 已知直四棱柱 的底面 为正方形， ，为棱 的中点 . （ 1）求证： ；
10、 （ 2）设 为 中点， 为棱 上一点，且 ，求证：. 答案：（ 1）详见；（ 2）详见 . 试题分析：（ 1）根据线面垂直的判定定理，只需证明 与平面 内的两条相交直线垂直 .在 中用勾股定理可证得 ，在 中用勾股定理可证得， ，从而证得 平面 . （ 2）过点 作 交 于点 ，由题设可得 ，从而四边形为平行四边形， ，由线面平行的判定定理可得 平面 . （ 1）连接 、 ，题得由 ， ， 3分 ，即 同理， 平面 6分 （ 2）过点 作 交 于点 ， ， ， 为等腰直角三角形， ，又 ， ， 四边形 为平行四边形 9分 ，又 平面 ， 平面 12分 考点：空间直线与平面的位置关系 . 已知
11、函数 . （ 1）若函数 在 内单调递增，求 的取值范围； （ 2）若函数 在 处取得极小值，求 的取值范围 . 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）首先求导数， 在 内单调递增，等价于 在内恒成立，即 在 内恒成立，再分离变量得：在 内恒成立，接下来就求函数 的最小值，小于等于 的最小值即可；（ 2），显然 ，要使得函数在 处取得极小值，需使 在 左侧为负，右侧为正 .令，则只需 在 左、右两侧均为正即可 .结合图象可知，只需 即可，从而可得 的取值范围 （ 1） 2分 在 内单调递增， 在 内恒成立， 即 在 内恒成立，即 在 内恒成立 4分 又函数 在 上单调递增， 6分
12、（ 2） ， 显然 ，要使得函数 在 处取得极小值，需使 在 左侧为负，右侧为正 .令 ，则只需 在左、右两侧均为正即可 亦即只需 ，即 .12分 (原解答有误， 与 轴不可能有两个不同的交点 ) 考点：导数的应用 . 如图所示，离心率为 的椭圆 上的点到其左焦点的距离的最大值为 3，过椭圆 内一点 的两条直线分别与椭圆交于点 、和 、 ，且满足 ，其中 为常数，过点 作 的平行线交椭圆于 、 两点 . （ 1）求椭圆 的方程； （ 2）若点 ，求直线 的方程，并证明点 平分线段 . 答案：（ 1） ；（ 2）详见 试题分析：（ 1）由题得 ， ，联立 解这个方程组即得 .（ 2）首先求出直线
13、 MN的方程 .由于 MN过点 P（ 1， 1），故只要求出 MN的斜率即可 .又由于 MN平行 AB，故先求出直线 AB的斜率 .设 ，则 .由 可得点 C的坐标，由 可得点 D的坐标，将 A、 B、 C、 D的坐标代入椭圆方程得四个等式，利用这四个等式可整体求出，然后求出直线 MN的方程，与椭圆方程联立可求得 MN的中点坐标即为点 P的坐标，从而问题得证 . （ 1）由题得 ， ，联立 解得 ， ， ， 椭圆方程为 4分 （ 2）方法一：设 ，由 可得 . 点 在椭圆上，故 整理得： 6分 又点 在椭圆上可知 ， 故有 由 ，同理可得： - 得： ，即 9分 又 ，故 直线 的方程为： ，即 . 由 可得： 是 的中点，即点 平分线段 12分 （ 2）方法二： ， ， ，即 在梯形 中，设 中点为 ， 中点为 ， 过 作 的平行线交 于点 与 面积相等， ， ， 三点共线 6分 设 ， ， ， 两式相减得 ，相关试题 2014届重庆市高三下学期考前模拟（二诊）文科数学试卷（带）
