1、2015学年四川省绵阳南山中学高二学年入学考试数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知向量 ，则实数 的值为 A 3 B -3 C 2 D -2 答案： B 试题分析：因为向量 ，则 ，解得 考点：向量平行的应用 设 是平面直角坐标系中两两不同的四点 ,若, ,且 ，则称 调和分割 .已知平面上的点 调和分割点 ，则下列说法正确的是 A 可能线段 的中点 B 可能线段 的中点 C 可能同时在线段 上 D 不可能同时在线段 的延长线上 答案： D 试题分析：由已知不妨设 A（ 0， 0）、 B（ 1， 0）、 C（ c， 0）、 D（ d， 0）， 则（ c， 0） =（ 1， 0），（ d， 0
2、） =（ 1， 0）， =c， =d； 代入 得 若 C是线段 AB的中点，则 代入 ， d不存在， C不可能是线段 AB的中点， A错误；同理 B错误； 若 C， D同时在线段 AB上，则 0c1， 0d1，代入 得， c=d=1， 此时 C和 D点重合，与已知矛盾， C错误 故选： D 考点： 新定义应用问题 若 的值为 A B C D 答案： C 试题分析：因为 所以 所以 考点：两角差的余弦公式和二倍角公式 已知 是等比数列， 等于 A 7 B C 14 D不确定 答案： B 试题分析：因为 是等比数列，可设公比为 ，则则 ，所以 考点：等比数列性质的应用 已知 的值为 A B C D
3、 答案： D 试题分析：角的拼凑 ，所以考点：角的拼凑及两角和的正切公式 某四棱锥 的底面为正方形，其三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于 A B C D 答案： B 试题分析：三视图的投影规则是： “主视、俯视 长对正；主视、左视高平 齐，左视、俯视 宽相等 ” 由题设及图知，此几何体为一个四棱锥，其底面为一个对角线长为 2的正方形，故其底面积为 由三视图知其中一个侧棱为棱锥的高，其相对的侧棱与高及底面正方形的对角线组成一个直角三角形 由于此侧棱长为 ，对角线长为 2，故棱锥的高为 此棱锥的体积为 故选 B 考点：是由三视图求几何体的面积、体积，三视图的理解与应用， 已知三条直线 ，两个平面
4、 则下列命题中： ； ； ； ； ，正确的命题是 A B C D 答案： A 试题分析：法一， 是公理四正确；看选项只能从答案： 中选择； 不对，平行于同一个平面的两条直线可以平行也可相交或异面故选 A， 法二，逐个验证得到答案： 考点：线线平行与线面平行及绵绵平行 若直线经过 两点，则直线 的倾斜角为 A B C D 答案： C 试题分析：设直线 的倾斜角为， 直线经过 两点，所以， 即 ， 又因为 ， 所以 考点：直线的斜率与倾斜角 .在 中，已知 ，则角 A B C D 答案： D 试题分析：因为 ， 所以 , ,根据正弦定理得， ,解得 ，所以 考点：三角形解得个数及正弦定理 填空题
5、在 A B C D 答案： A 试题分析： ， 因为 ,所以 考点：余弦定理的变形 如图，设 ，且 .当 时，定义平面坐标系 为 -仿射坐标系，在 -仿射坐标系中 ,任意一点 的斜坐标这样定义： 分别为与 轴、 轴正向相同的单位向量，若 ，则记为 ，下列结论中 设 、 ，若 ，则 ； 设 ，则 ； 设 、 ，若 ，则； 设 、 ，若 ，则 ； 设 、 ，若 与 的夹角 ，则 . 正确的有 .（填上所有正确结论的序号） 答案： 、 、 . 试题分析：显然 正确； ， ，所以 错误；由 得 ,所以 ，所以 ，故 正确； ，所以 错误；根据夹角公式 ，又 ， 得 ，故 ，即 ， 正确 所以正确的是
6、、 、 . 考点：新定义，正确理解题中给出的斜坐标并与已知的向量知识相联系 为了测量正在海面匀速直线行驶的某航船的速度，在海岸上选取距离为 1千米的两个观察点 C,D,在某时刻观察到该航船在 A处，此时测得 ， 3分钟后该船行驶至 B处，此时测得 ， , ，则船速为 千米 /分钟 答案： 试题分析：设 |AB|=xkm，在 ACD中， ADC=30， ACB=60， BCD=45， CAD=45，又 |CD|=1km， 由正弦定理 ,即 ，解得： |AD|= 在 BCD中， ADC=30， BCD=45， ADB=60， CBD=45， BCD为等腰直角三角形， BCD= CBD=45， |B
7、D|=1km； 在 ABD中，由余弦定理得， |AB|2=|BD|2+|AD|2-2|BD| |AD|cos ADB = |AB|= km 设船速为 v千米 /分钟， 则 v= v千米 /分钟 考点：解三角形的实际应用，着重考查正弦定理与余弦定理的应用 已知正三棱柱底面边长是 2，外接球的表面积是 ，则该三棱柱的侧棱长 答案： 试题分析： 该三棱柱外接球的表面积是 16， 4R2=16， 该球的半径 R=2， 又正三棱柱底面边长是 2， 底面三角形的外接圆半径 该三棱柱的侧棱长是 考点：空间几何体中位置关系、球和正棱柱的性质以及相应的运算能力和空间形象能力 解答题 设向量 （ 1）若 ; （
8、2）设函数 的最大值 . 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：（ 1）由条件求得 再 根据 以及 x的范围，可的 sinx的值，从而求得 x的值 (2）求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义 .主体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积的运算律； 试题： (1)由 ， 2分 及 ，得 又 ，从而 ，所以 (2) ， 当 时 , 取最大值 1 所以 f(x)的最大值为 考点：两个向量的数量积的运算，三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域 在 中，角 为锐角，已知内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，向量且向量 共线 （ 1）求
9、角 的大小 ; （ 2）如果 ，且 ,求 的值 . 答案：（ 1） （ 2） 试题分析： 1)先用数量积的概 念转化为三角函数的形式，寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；正确灵活运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值，注意题中角的范围； (2）在解决三角形的问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来 . 试题：（ 1）由向量 共线有： 2分 即 ， 3分 又 ，所以 ，则 = ，即 5分 （ 2）由 ，得 7分 由余弦定理得 8分 10分 考点： (1)求化简三角函数并求值；（ 2）求三角形的边长 . 如图，边长为 2的正方形 所在
10、的平面与平面 垂直， 与 的交点为 ， ，且 . （ 1）求证： 平面 ； （ 2）求直线 与平面 所成线面角的正切值 . 答案：（ 1）见；（ 2） 试题分析： (1)证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定 理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面 .解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化 .(2)求直线与平面所成的角，关键是利用定义作出直线和平面所成的角，必要时，可利用平行线与同一个平面所成的角相等，平移直线位置，以方便寻找直线在该平面的射影 试题： (1) 平面平面 ,平面 平面 , , 2分 又 , 3分 四边形
11、是正方形 ， ， 平面 5分 (2) 取 AB的中点 F,连结 CF,EF. ,平面平面 ,平面 平面 6分 又 , 7分 即为直线 EC与平面 ABE所成角。 .8分 在 中， 10分 考点：（ 1）证明线面垂直（ 2）求直线与平面所成的角 已知等差数列 的首项 ，公差 ，且其第二项、第五项、第十四项分别是等比数列 的第二、三、四项 （ 1）求数列 与 的通项公式； （ 2）令数列 满足： ，求数列 的前 101项之和 ； （ 3）设数列 对任意 ，均有 成立，求的值 答案：（ 1） an 2n-1； bn 3n-1（ 2） 5151 ；（ 3） 32014 试题分析： (1)根据等差数列的
12、首项和公差求通项公式； (2)根据等比数列的首项和公比求通项公式；注意题中限制条件； (3)若一个数列的通项公式是由若干等差数列或等比数列或可求和的数列组成则求和，可以用分组转化法，分别求和然后相加减；(4)等比数列的判定方法： 1)定义法：若 是常数，则 是 等比数列；中项公式法：若数列 中， ，则 是等比数列；通项公式法：若数列通项公式可写成 ； (5）熟记等比数列前 项和公式，注意利用性质把数列转化，利用等比数列前 项和； 试题：（ 1）由题意得： (a1 d)(a1 13d) (a1 4d)2 (d 0)， 解得 d 2， an 2n-1 2分 b2 a2 3, b3 a5 9, bn 3n 1 3分 （ 2） a101 201， b2 3 T101 (a1 a3 a101) (b2 b4 b100) 5151 6分 （ 3）当 n2时，由 -( ) an+1-an 2 得 cn 2bn 2 3n 1， 当 n 1时， c1 3故 cn 8分 故 c1 c2 c2014 3 23 232 232013 32014 10分 考点：等差数列等比数列通项公式及前 n项和公式及分组转化法求和
