1、2015届浙江省温州市十校联合体高三上学期期初联考文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 设全集 ，集合 ，集合 ，则 =（ ） A B C D 答案： A 试题分析：由已知有 ，故选 考点：集合的运算 如图，南北方向的公路 ， A地在公路正东 2 km处， B地在 A东偏北 300方向 2 km处，河流沿岸曲线 PQ上任意一点到公路 和到 A地距离相等现要在曲线 PQ上一处建一座码头，向 A、 B两地运货物，经测算，从 M到 A、M到 B修建费用都为 a万元 /km，那么，修建这条公路的总费用最低是（ ）万元 A.（ 2+ ） a B.2（ +1） a C.5a D.6a 答案： C 试题分析
2、：依题意知曲线 PQ是以 A为焦点、 l为准线的抛物线， 根据抛物线的定义知： 欲求从 M到 A， B修建公路的费用最低，只须求出 B到直线 l距离即可 因 B地在 A地东偏北 300方向 km处， B到点 A的水平距离为 3（ km）， B到直线 l距离为： 3+2=5（ km）， 那么修建这两条公路的总费用最低为： 5a（万元）故选 C 考点：抛物线方程的应用 . 当 x3时，不等式 x+ 恒成立，则实数 的取值范围是（ ） A（ -， 3 B 3， +） C ， +）D（ -， 答案： D 试题分析：因为当 x3时，不等式 x+ 恒成立，所以有，记 ，设 x-1=t，则 在上是增函数，所
3、以得 ， 故选 考点：函数的恒成立 过点（ ， 0）引直线 与曲线 交于 A， B 两点 ， O 为坐标原点，当 AOB的面积 取最大值时，直线 的斜率等于（ ） A B C D 答案： B 试题分析：由 ，得 x2+y2=1（ y0） 曲线 表示 g位圆在 x轴上方的部分（含于 x轴的交点） 由题知，直线斜率存在，设直线 l的斜率为 k， 若直线与曲线有两个交点，且直线不与 x轴重合 则 -1 k 0， 直线 l的方程为： ，即 则圆心 O 到直线 l的距离 直线 l被半圆所截得的弦长为 令 则 所以当 ，即 ，亦即 时 有最大值为 ， 再注意到 -1 k 0， 所以 ，故选 考点：直线与圆
4、的位置关系 若 为等差数列， 是其前 项和，且 S15 = ，则 tan 的值为（ ） A B C D 答案： B 试题分析： 等差数列中， ；故选 B 考点：等差数列的性质；三角诱导公式及特殊角三角函数值 如下图 对应于函数 f（ x），则在下列给出的四个函数中，图 对应的函数只能是（ ） A y=f（ |x|） B y=|f（ x） | C y=f（ -|x|） D 答案： C 试题分析：由图（ 2）知，图象对应的函数是偶函数，故错误， 且当 x 0时，对应的函数图象右侧与左侧关于 y轴对称， 而 y轴左侧图象与图（ 1）中的图象对应的函数 y= f（ x）的图象相同， 故当 x 0时，对
5、应的函数是 y=f（ -|x|），得出、不正确故选 考点：函数的图象与图象变换 直线 和直线 垂直，则实数 的值为（ ） A 1 B 0 C 2 D -1或 0 答案： D 试题分析：若直线 与直线 垂直，则， 解得 m=-1，或 m=0故选 考点：两条直线垂直的条件 等式 成立 是 成等差数列 的（ ） A充分不必要条件 B充要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 答案： C 试题分析：由 成等差数列 知 ，由 等式 成立 不能推出 ，即不能推出 成等差数列 ，所以 等式 成立 是 成等差数列 的必要不充分条件；故选 考点：充要条件 若有直线 、 和平面 、 ，下列四个命题中，正确
6、的是 （ ） A若 ， ，则 B若 ， ， ， ，则 C若 ， ，则 D若 ， ， ，则 答案： D 试题分析： A不对，由面面平行的判定定理知， m与 n可能相交，也可能是异面直线； B不对，由面面平行的判定定理知差两直线相交这一条件； C不对，由面面垂直的性质定理知， m必须垂直两平面的交线；故选： D 考点：空间中线面的位置关系 已知函数 为奇函数，且当 时， 则 （ ） A B C D 答案： A 试题分析：由已知有 ，故选 考点：函数的奇偶性 填空题 在直角坐标平面中， 的两个顶点 A、 B的坐标分别为 A（ -1， 0）， B（ 1， 0），平面内两点 G、 M同时满足下列条件：（
7、 1） ，（ 2） ，（ 3） ，则 的顶点 C的轨迹方程为 _ 答案： （ 没有注明也给分） 试题分析：由 得， G为重心， 由 得， M为外心 所以 M点在 y轴上（ M到 AB两点距离相等） 又 ，则 GM AB 设 M 为（ 0， y）， G 为（ x， y）（ y0），由重心坐标公式得 C 为（ 3x， 3y） 再由 MA=MC，得 整理得： 9x2+3y2=1 再设 ，由 得 代入 得： ， 所以 ABC 的顶点 C的轨迹方程为 . 考点： 1.椭圆的的标准方程 ;2.轨迹方程的求法 . 函数 的图像与函数 的图像所有交点的横坐标之和为 _ 答案： 试题分析：函数 与 的图象有公共
8、的对称中心（ 1， 0），作出两个函数的图象，如图所示： 当 1 x 4时， ， 而函数 y2在（ 1， 4）上出现 1.5个周期的图象，在 上是单调增且为正数函数， y2在（ 1， 4）上出现 1.5个周期的图象，在 上是单调减且为正数， 函数 y2在 处取最大值为 ， 而函数 y2在（ 1， 2）、（ 3， 4）上为负数与 y1的图象没有交点， 所以两个函数图象在（ 1， 4）上有两个交点（图中 C、 D）， 根据它们有公共的对称中心（ 1， 0），可得在区间（ -2， 1）上也有两个交点（图中 A、 B）， 并且： xA+xD=xB+xC=2，故所求的横坐标之和为 4，故答案：为： 4
9、考点： 1.函数的零点与方程的根的关系 ;2.数形结合思想 . 如图，等边 中， ，则 _ 答案： -3 试题分析：由题意，得 ； ， 故答案：为： -3 考点：平面向量数量积的运算 . 若 则 的值为 _ 答案： 试题分析：因为 ，所以 ，故答案：为： 2. 考点：分段函数值的求法 . 一个组合体的三视图如图，则其体积为 _ 答案： 试题分析：由已知组合体的视图可知，该组合体是由下边为一个底面直径为 4，高为 4的圆柱，上边为一个底面直径为 4，高为 3的圆锥组成，如图，所以其体积为： .故答案：为： 考点： 1.三视图 ;2.圆柱和圆锥的体积公式 . 设 满足 则 的最小值为 _ 答案：
10、试题分析：首先作出不等式组所对应的平面区域，如图所示： 然后作出直线 ，平移 到经过点 B（ 2， 0）时， ， 故答案：为： 2. 考点：线性规划 . 若角 的终边经过点 P ，则 的值是 答案： 试题分析：由角 的终边经过点 P ，知 ，由三角函数的定义可知： ， 故答案：为： 考点：三角函数的定义 . 解答题 已知函数 （ 1）求函数 的最小正周期和单调递减区间； （ 2）设 的内角 的对边分别为 且 ， ，若，求 的值 答案：（ 1） ， ;（ 2） ， 试题分析：（ 1）利用两角和与二倍角公式对函数式化简成为的形式，利用三角函数的图象和性质求得最小正周期 ，由 就可求得函数的单调递减
11、区间； （ 2）由（ 1）及已知条件可求出角 C的大小，再由 由正弦定理可得 ，又因为 ，所以由余弦定理可再得到一个关于 的方程，从而通过解方程组就可求出 的值 试题：（ 1） ， 3分 则最小正周期是 ； 5分； 由 ，得 的单调递减区间 ， 8分 （ 2） ，则 ， 9分 ， ，所以 ， 所以 ， ， 11分 因为 ，所以由正弦定理得 ， 12分 由余弦定理得 ，即 11分，由 解得： ， 14分 考点： 1.三角恒等变形公式 ;2.三角函数的图象和性质 ;3.正弦定理和余弦定理 . 在直三棱柱 ABCA 1B1C1中， CA=CB=CC1=2， ACB=90， E、 F分别是BC、 的中
12、点 （ 1）求证： ； （ 2）求直线 与平面 所成角的正切值 答案：（）祥见；（） 试题分析：（）欲证直线 EF 平面 A1C1B，只需证明过 EF 的一个平面与平行平面 A1C1B平行即可，由此只需取 CC1的中点，连接，由 E、 F分别为 AB、 AA1的中点，可知 FM A1C1， EM BC1，从而可得平面 平面 ，再由面面平行的性质可得 平面 （）因为三棱柱 ABCA 1B1C1是直三棱柱，所以平面 ABB1A1 平面 ABC，故过 E做 AB的垂线，交 AB于点 H，连接 HF，则 ，那么由线面角的概念可知 EFH就是直线 与平面 所成角，在 中由已知可求出 EFH的正切值 .
13、试题：（）证：如下图，取 CC1的中点，连接，则 ， ， 所以平面 平面 ，又 平面， 平面 分 （也可以用线面平行的方法来求证） （）解；如下图过 E做 AB的垂线，交 AB于点 H，连接 HF，因为三棱柱ABCA 1B1C1是直三棱柱，所以平面 ABB1A1 平面 ABC，由面面垂直的性质定理得： ，故 EFH即为所求之线面角 10分 在直三棱柱 ABCA 1B1C1中，由已知及平几知识可求得：，在 中， 14分 考点：空间的线面平行的判定；直线与平面所成角的求法 数列 的前 项和为 ， 是 和 的等差中项，等差数列 满足， （ 1）求数列 ， 的通项公式； （ 2）若 ，求数列 的前 项
14、和 答案：（ 1） ， ;（ 2） 试题分析：（ 1）由 an是 Sn和 1的等差中项，得 Sn=2an-1，由 an=Sn-Sn-1可得数列递推式，从而可判断 an是等比数列，可求 an，由等差数列通项公式可求公差 d，从而就可写出数列 ， 的通项公式； （ 2）由已知得 ，所以利用裂项相消法可求得 . 试题：（ 1） 是 和 的等差中项， ， 当 时， ， ， 当 时， ， 2分 ， 4分 数列 是以 为首项， 为公比的等比数列， 6分 设 的公差为 ， ， . 8分 （ 2） 14分 考点： 1.等差数列等比数列的通项公式； 2数列求和 设 奇函数，且对任意的实数 当 时，都有 （ 1）
15、若 ，试比较 的大小； （ 2）若存在实数 使得不等式 成立，试求实数的取值范围 答案：（ 1） ；（ 2） 试题分析：（ 1）由 a b，得 ，所以 f（ a） +f（ -b） 0，由是定义在 R上的奇函数，能得到 （ 2）由 在 R上是单调递增函数，利用奇偶性、单调性可把中的符号 “f”去掉，分离出参数 c后转化为函数最值即可解决，注意存在实数 使不等式 成立，注意存在成立与恒成立是不同的 试题：（ 1）由已知得 ，又 ， ，即 6分 （ 2） 为奇函数， 等价于 8分 又由（ 1）知 单调递增， 不等 式等价于 即 10分 由于存在实数 使得不等式 成立， 12分 的取值范围为 15分
16、考点：函数奇偶性与单调性的综合；函数存在成立问题 在平面直角坐标系 xOy中， M、 N 分别是椭圆 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于 P， A两点，其中点 P在第一象限，过 P作 x轴的垂线，垂足为 C，连结 AC，并延长交椭圆于点 B，设直线 PA的斜率为 k. （ 1）若直线 PA平分线段 MN，求 k的值； （ 2）当 k 2时，求点 P到直线 AB的距离 d，且求 的面积 答案：（ 1） ；（ 2） d ， 试题分析：（ 1）由题设写出点 M， N 的坐标，求出线段 MN 中点坐标，根据线 PA过原点和斜率公式，即可求出 k的值； （ 2）写出直线 PA的方程，代入椭圆，求出点 P，
17、 A的坐标，求出直线 AB的方程，根据点到直线的距离公式，即可求得点 P到直线 AB的距离 d；再联立直线 AB的方程与椭圆的方程，利用韦达定理及弦长公式求出弦 AB的长，从而由三角形的面积公式就可求出 的面积 试题：（ 1）由题设知， a 2， b ，故 M（ -2， 0）， N（ 0， - ），所以线段 MN 中点的坐标为 .由于直线 PA平分线段 MN，故直线 PA过线段 MN 的中点， 又直线 PA过 坐标原点，所以 k . 5分 （ 2）直线 PA的方程为 y 2x，代入椭圆方程得 ，解得 x ， 因此 P ， A . 于是 C ，直线 AC 的斜率为 1， 故直线 AB的方程为 x-y- 0. 因此， d . 10分 ，消去 y，得 15分 考点： 1直线斜率的求法； 2椭圆的标准方程和简单的几何性质； 3直线与椭圆的位置关系
