1、1,第2章 计算机图形处理技术,2,3,2.2图形变换在计算机图形处理中，经常需要对已经生成的图形进行几何变换处理。例如，改变图形的大小、移动图形或根据需要将图形旋转一个角度，输出零件的三面视图，显示立体图，或要求一物体绕一轴线作连续的动态转动，使观察者能看到物体的各个侧面。这就要求图形的处理软件能够实现旋转、平移、缩放等几何变换。我们知道，点是构成一个几何形体的最基本的元素。一幅二维图形可以看成是一个点集。那么，我们就可以把对图形的几何变换归结对点的变换。,4,2.2.1 图形变换方法一、点的向量表示在二维空间中点的表示方法，我们通常是用它的坐标来表示，写作P（x，y）。为了以后变换的方便，
2、我们可以把它写作矩阵的形式，即用一行两列的矩阵 或一个两行一列的矩阵 表示。在三维空间里则用 表示空间一点。那么，对于一个二维空间的图形或三维空间的立体，可以用一个点的集合（简称点集）来表示，每个点对应一个行向量，则点集为n2或m3阶的矩阵：,或,5,例如：已知三角形ABC顶点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）则三角形ABC可以记作矩阵： 然后把它以数组的形式存贮在计算机内。,6,二、齐次坐标齐次坐标是将一个n维空间的点用n十1维，即附加一个坐标来表示。如二维点x y的齐次坐标通常用三维坐标Hx Hy H表示，三维点x y z的齐次坐标通常用四维坐标Hx Hy H
3、z H表示，。在齐次坐标系中，最后一维坐标H称为比例因子。由于比例因子H的取值是任意的，所以任一点可用许多组齐次坐标表示，如二维点3 2可表示为3 2 1、6 4 2、9 6 3等。另外，可用H0的向量表示无穷远的点。例如用1 0 0 0、0 1 0 0、0 0 1 0分别表示x，y，z轴上的无穷远点。对齐次坐标进行坐标变换称为齐次变换， 相应的变换矩阵称为齐次变换矩阵,7,反过来，还可以通过矩阵变换将无穷远点变换为与之对应的有限远点。当H=1时，则称为规范齐次坐标。从齐次坐标返回到n维空间去时，只需将坐标中每个分量除以H就可以了。以后介绍的变换矩阵实际上都是奇次坐标变换。用齐次坐标方式进行变
4、换运算不但可以产生正常坐标变换的同样效果，而且可以简化正常坐标变换过程。在图形变换中引入齐次坐标表示，还能使各种基本变换，如旋转、平移和比例交换等具有统一的变换矩阵格式，并且可以将它们结合在一起进行组合变换，同时也便于计算。,8,三、变换矩阵由于图形可以用点集表示，因此要对图形进行变换，只要变换点就可以了。对点的变换可以通过相应的矩阵运算来实现，即：旧点（集）变换矩阵 新点（集）若将二维空间的点由某个位置P(x ，y)变换到一个新的位置P*(x*，y*)，变换的原理是把齐次坐标点（x，y，1）通过变换矩阵变换成新的齐次坐标点（x*，y*，1）。即：,9,为基本变换矩阵：从变换功能上可把T分为四
5、个子矩阵，其中对图形进行比例、旋转、对称、错切等变换； l m 对图形进行平移变换； p q T 对图形进行投影变换，不做投影变换时取p = 0，q = 0； s 对图形进行全比例变换。通常取s=1。,10,三维图形的变换矩阵是二维图形变换矩阵的简单扩展，在三维空间中，用四维齐次坐标表示三维点，即x y z 1。三维变换矩阵则采用44阶矩阵表示，即：,11,齐次变换矩阵：,平移,缩放 旋转 错切,透视变换,整体缩放,12,2.2.2 二维图形的几何变换一、基本几何变换1、平移变换2、比例变换3、旋转变换4、对称变换5、错切变换二、组合变换,13,图中l、m分别为x、y方向的平移量。从图中可以得
6、出变 换前后点的坐标值应满足以下关系：,一、基本几何变换 1、平移变换平移变换是将图形在坐标平面内移动，只改变图形的位置，不改变图形的大小和形状。平移变换如图所示：,14,将它写成矩阵的形式为：那么即为所求平移变换矩阵。,15,例1：已知三角形顶点坐标为A(0，0)，B(20，0)，C(0，20)，平移参数分别为l20，m10；试对此三角形进行平移变换。解：因为平移变换矩阵为所以变换后点的坐标为,16,2、比例变换比例变换指将原有图形在x、y两个方向上进行放大或缩小的变换，通过它可以改变图形的大小和方向。将平面上一点P（x，y）在x、y两个方向上分别进行放大a倍和d倍的比例变换后得到新点P*（
7、x*，y*），P和P*的关系为：写成矩阵的形式为,17,其中，T= 称为比例变换矩阵，a、d分别为沿 x、y方向上的比例因子，且a、d0。a、d的取值不同，变换效果也不同，如下所述：（1）如果a =d = 1，变换为恒等变换，即变换后点的坐标不变。（2）如果a = d1，变换为等比例变换。其中，如果a = d 1，变换为等比例放大；如果a = d 1，变换则为等比例缩小。如图（a）、（b）所示。 （3）如果a d，变换后的图形会产生畸变。如图（c）所示。,18,（a）a = d 1 （b）a = d 1 （c）a d,19,例2：a=2，d=1时，假设变换前A（1，1），B（2，1），C（1，
8、2），那么，变换后为A*（2，1）， B*（4，1），C*（2，2），ABC与A*B*C*不相似。,20,3、旋转变换旋转变换一般指图形绕坐标原点旋转一个角度 ，规定为：绕原点逆时针方向旋转为正，顺时针方向为负。经过旋转变化后不改变图形自身的大小、形状等，只改变图形的方向。连续的旋转变换相当于将其旋转角度叠加之后的旋转变换。将平面上一点P（x，y）绕坐标原点逆时针旋转 角，变换后得到新点P1（x1，y1），P和P1的关系为：,21,其中： 为绕坐标原点旋转的变换矩阵。,22,4、对称变换对称变换又称为反射变换或镜像变换。（1）关于坐标原点的对称变换将平面上一点P（x，y）进行关于原点的对称变换
9、后得到新点P*（x*，y*），P和P*的关系如图（a）应为：x*=x，y*=y，写成矩阵形式为：其中： 为关于原点的对称变换矩阵。,23,（2）关于x轴的对称变换将平面上一点P（x，y）进行关于x轴的对称变换后得到新点P*（x*，y*），P和P*的关系如图（b）应为：x*=x，y*=y，写成矩阵形式为：其中： 为关于x轴的对称变换矩阵。,24,（3）关于y轴的对称变换将平面上一点P（x，y）进行关于y轴的对称变换后得到新点P*（x*，y*），P和P*的关系如图（c）应为：x*=x，y*=y，写成矩阵形式为：其中： 为变换矩阵。,25,(4)关于y=x的对称变换将平面上一点P（x，y）进行关于直
10、线y=x的对称变换后得到新点P*（x*，y*），P和P*的关系如图（d）应为：x*= y，y*= x，写成矩阵形式为：其中： 为变换矩阵。,26,(5)关于y=x的对称变换将平面上一点P（x，y）进行关于直线y= x的对称变换后得到新点P*（x*，y*），P和P*的关系如图（e）应为：x*=y，y*=x，写成矩阵形式为： 其中： 为变换矩阵。,27,5、错切变换错切变换是使图形沿错切方向的坐标发生变化，而另一方向的坐标值不变，从而达到使原图形发生特定变化的目的。错切变换分沿x轴和沿y轴错切两种形式。(1) 沿x轴方向的错切将平面上一点P（x，y）进行沿x轴方向的错切变换后得到新点P*（x*，y
11、*），变换过程如图（a）所示，从图中可以看出，沿x轴方向错切变化后，y坐标不变，x将产生一个增量x = cy，而且c当取正值时，沿x轴的正方向进行错切，反之c取负值。P和P*的关系为：x*=x+cy，y*=y。写成矩阵形式为：,28,其中： 为变换矩阵。（a）沿x轴方向的错切 （b）沿y轴方向的错切,29,（2）沿y轴方向的错切将平面上一点P（x，y）进行沿y轴方向的错切变换后得到新点P*（x*， y*），变换过程如图（b）所示，从图中可以看出，沿y轴方向错切变化后，x坐标不变，y将产生一个增量y = bx，而且当b取正值时，沿y轴的正方向进行错切，反之b取负值。P和P*的关系为：x*=x，y
12、*=bx+y。写成矩阵形式为：其中： 为变换矩阵。,30,二、组合变换 在图形的几何变换中，图形的实际变换往往不是单独采用前述的各种基本变换就可以完成，通常需要将各种基本变换组合使用，以完成最终的图形变换。这种由多种基本变换组合而成的变换称为组合变换，相应的变换矩阵叫做组合变换矩阵。假设已知点P依次经过T1、T2和T3三个几何变换，得到的结果为:P* = （PT1）T2）T3运用矩阵乘法的结合律，上式可化为:P* = P（T1T2T3）于是得到组合变换的变换矩阵为:T = T1T2T3,由于矩阵不存在交换律，因此矩阵相乘的顺序是不能随意互换的。,31,组合变换顺序对图形的影响,复杂变换是通过基
13、本变换的组合而成的，由于矩阵的乘法不适用于交换律，即：AB BA 因此，组合的顺序一般是不能颠倒的，顺序不同，则变换的结果亦不同，如图所示。,32,实例: 绕任意点的旋转变换平面图形绕任意点P（xp，yp）逆时针旋转 角，需要通过如下几个步骤来实现：(1)将旋转中心平移到坐标原点，变换矩阵为(2)将图形绕坐标原点逆时针旋转 角，变换矩阵为,33,（3）将旋转中心平移回到原来位置，变换矩阵为（4）最后得出绕任意点P的旋转矩阵为,即,当xp = 0，yp = 0 时，即为对原点的旋转变换矩阵。,34,例3：将下图所示图形绕自身对称轴上的一点P（15,12）逆时针旋转90度，放大2倍（x、y方向的放
14、大倍数相同）1、试写出各变换的变换矩阵；2、求出复合变换矩阵；3、求出各点变换后的坐标；,35,解： （1）、各变换矩阵为：先将P点平移至原点的矩阵 ：,绕原点逆时针旋转 ：,36,沿x、y轴放大2倍,平移回原位置：,37,（2）、组合变换矩阵：,（3）、变换后的坐标为：,38,作业：1、将下图所示图形绕自身中心点P（20,20）先缩小1/2（x、y方向的缩小倍数相同）再顺时针旋转270度， （1）试写出各变换的变换矩阵； （2）求出组合变换矩阵； （3）求出各点变换后的坐标。,39,2、如图所示平行四边形ABCD，已知图上一点G（10，6），该平行四边形先绕G点逆时针转90度，最后沿Y方向正向移动3个单位距离。 （1）试写出各变换的变换矩阵； （2）求出组合变换矩阵； （3）求出A、B、C、D各点变换后的坐标。,40,1、解： （1）、各变换矩阵为： 、先将P点平移至原点的矩阵 ：,、沿x、y轴缩小1/2倍：,、绕原点顺时针旋转,41,、平移回原位置：,（2）、复合变换矩阵：,（3）、变换后的坐标为：,42,2、解：（1）1）先将G点平移到坐标原点，变换矩阵为,2）绕原点顺时针旋转90度的变换距阵为,3）沿Y正向平移3个单位的变换矩阵为,43,4）将G点移回原处的变换矩阵为,（2）组合变换矩阵为,（3）,A(13,4) B(13,15) C(6,14) D(6,4),
