1、第五章 定积分及其应用,定积分是积分学中最重要的概念之一，同导数概念一样，也是在解决一系列实际问题的过程中逐渐形成的。用定积分的方法能解决大量的科学技术及经济管理中的计算问题。 本章将学习定积分的概念、性质、计算及其在几何、物理等方面的应用。,内容提要第一节 定积分的概念 第二节 微积分基本公式第三节 定积分的换元法第四节 定积分的分部积分法第五节 无穷区间上的广义积分第六节 定积分的应用举例,第一节 定积分的概念,重点：定积分的概念和性质 难点：定积分概念的理解,实例1 （求曲边梯形的面 积）,一、两个实例,在初等数学中，以矩形面积为基础，解决了较复杂的直边图形的面积问题.现在的曲边梯形有一
2、条边是曲线，所以其面积就不能按照初等数学的方法来计算.困难就在于曲边梯形底边（区间）上的高是变化的，而且这种变化规律不是线性的.但由于曲线是连续的，所以当在上的变化很小时，相应的高的变化也很小.由于这个想法，可以用一组平行于轴的直线把曲边梯形分割成若干个小曲边梯形，只要分割的充分细，每个小曲边梯形就很窄，则其高的变化就很小，,用矩形面积近似取代曲边梯形面积,显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积,（四个小矩形）,（九个小矩形）,曲边梯形如图所示，,曲边梯形面积的近似值为,曲边梯形面积为,实例二、求变速直线运动的路程,思路：把整段时间分割成若干个小段，每小段上速度看作不变。求出各小段的路
3、程再相加，便得到路程的近似值。最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值。,（1）分割,（2）求和,（3）取极限,路程的精确值,二、定积分的定义,定义,记为,积分上限,积分下限,积分和,注意：,定理1,定理2,三、存在定理,四、定积分的几何意义,几何意义：,a,b,例1、用定积分表示下列图中阴影部分的面积,解：根据定积分的几何意义，解题如下：,对定积分的补充规定:,说明,在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小,五 定积分的性质,证,性质1,证,性质2,例 若,（定积分对于积分区间具有可加性）,则,性质3,证,性质4,证,由闭区间上连续函数的介值定理知,性质5（定积分中值定
4、理）,积分中值公式,使,即,积分中值公式的几何解释：,第二节 微积分基本公式重点：牛顿莱布尼兹公式 难点： 积分上限的函数,变速直线运动中位置函数与速度函数的联系,变速直线运动中路程为,另一方面这段路程可表示为,一、问题的提出,考察定积分,记,积分上限函数,二、积分上限函数及其导数,积分上限函数的性质,证,由积分中值定理得,（2）,分母的导数为,所以有,定理 3（微积分基本公式）,证,三、牛顿莱布尼茨公式,令,令,牛顿莱布尼茨公式,微积分基本公式表明：,注意,求定积分问题转化为求原函数的问题.,例 计算下列定积分,（1）,(2),(3),(4),(5),第三节 积分的换元法重点与难点：掌握定积
5、分的换元积分公式,牛顿莱布尼茨公式把定积分的计算问转化为求原函数（不定积分）的问题，因而求不 定积分的各种具体方法经过适当的变化，都可 用于求定积分，本节我们来学习定积分的换元 法.,解法2要比解法1简便些，因为它省去了变量回代这一步。一般的，定积分的换元法可表述为：,定积分的换元法有两个特点：,的积分限.即所谓的“换元必换限.”（）求出,的一个原函数后，不必象不定积分那样再把原变量,可以了。,第四节 定积分的分部积分法重点与难点：熟练掌握定积分的分部积分公式,把不定积分的分部积分公式,添加上积分限，就得到定积 分的分部积分公式：,例 求,解：由例4的结果知,第五节 无穷区间上的广义积分重点与
6、难点：广义积分的概念与计算,也随着b的变化而变化,二、 广义积分的定义,为了书写方便起见，我们规定：,记为,写为,第六节 定积分应用举例 重点与难点： 正确理解定积分的元素法； 熟练掌握用元素法求平面图形的面积和旋 转体的体积； 会求平面曲线的弧长、变力作功和函数的 平均值。,回顾,曲边梯形求面积的问题,一、问题的提出,（3）求和 得A的近似值,面积表示为定积分的步骤是：,（4） 求极限 得A的精确值,提示,微元法的一般步骤：,这个方法通常叫做微元法,应用方向：,平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等,曲边梯形的面积,平面图形的面积,二、平面图形的面积,解 两曲线的交点为,面积元素,选 为积分变量,旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴,圆柱,圆锥,圆台,三、旋转体的体积,旋转体的体积为,解,直线 方程为,弧长元素,弧长,四、平面曲线的弧长,解,所求弧长为,如图所示,解,建立坐标系如图,这一薄层水的重力为,功元素为,(千焦),等份，每个小区间的长度为,，,这就是说，纯电阻电路中正弦交流电的平均功率等于电流电压峰值乘积的一半.通常交流电器上注明的功率就是平均功率,
