1、第五章 静电场中的电介质,电介质 (绝缘体)：内部没有可以自由移动的电荷，因而完全不能导电。,电介质在外电场的作用下会发生电极化现象，从而会反过来影响原电场的分布。,本章基本要求,1. 了解静电场中电介质的极化现象及其微观本质；理解有介质时的高斯定理。,2. 理解电容的概念，会计算电容器的电容。,3. 了解有介质时的电场能量的计算。,电介质的相对介电常量(相对电容率),5.1 电介质对电场的影响,电介质的插入使板间的电场减弱,一. 电介质的分类,从分子由正、负电荷重心的分布来看，电介质可分为两类。,(1) 分子内正、负电荷的重心不相重合，其间有一定距离极性分子 如氯化氢(HCl)、水(H2O)
2、、甲醇(CH3OH)等。,电矩为：p = ql,固有电矩,5.2 电介质的极化,(2) 分子内正、负电荷重心是重合的，这类分子称为非极性分子。 如氦(He)、氢(H2)、甲烷(CH4)等。,电矩：p = 0,二.电介质的极化,电介质在外电场中,1. 当非极性分子处在外电场 中时，每个分子中的正、负电荷将分别受到相反方向的电场力 F+ 、 F- 作用而被拉开，导致正、负电荷重心发生相对位移 l 而成为一个电偶极子。, 整块的非极性分子电介质 在外电场作用下，在和外电场垂直的电介质两侧表面上，分别出现正、负电荷层。,注：这两侧表面上分别出现的正电荷和负电荷是和介质分子连在一起的，不能在电介质中自由
3、移动，也不能脱离电介质而独立存在，故称为面束缚电荷或面极化电荷。,2. 当有极分子电介质在有外电场 E0 时，每个分子的固有电矩都受到力偶矩作用，要转向外电场的方向。,注意：由于分子热运动的干扰，并不能使各分子电矩都循外电场的方向整齐排列。外电场愈强，分子电矩的排列愈趋向于整齐。, 整块的极性电介质 在垂直于外电场方向的两个表面上也出现面束缚电荷。,注意：如果撤去外电场，由于分子热运动，分子电矩的排列又将变得杂乱无序，电介质又恢复电中性。,两种电介质，其极化的微观过程虽然不同，但却有同样的宏观效果：,因此，在宏观上表征电介质的极化程度和讨论有电介质存在的电场时，就无需把这两类电介质区别开来，而
4、可统一地进行论述。,2. 电场越强，电场对介质的极化作用越剧烈，介质上出现的束缚电荷也就越多。,1. 介质极化后，都使得其中所有分子电矩的矢量和 ，同时在介质上都要出现面束缚电荷；,三. 电极化强度矢量,1. P：表征电介质的电极化程度的物理量,SI单位：C/m2 （与面电荷密度的单位相同）,电介质的电极化强度随外电场的增强而增大。,电极化率,体积元 dV 内的分子的正电荷的重心都能越过 dS 面到前侧去。,2. 电极化强度 P 与面束缚电荷的关系,以非极性分子为例考虑电介质内部某一小面元 dS 处的极化,由于极化而越过 dS 面的总电荷为：,将 p = ql，P = np 代入得：,表示：d
5、S 面上因极化而越过单位面积的电荷, 若面碰巧是电介质的面临真空的表面，则得到面束缚电荷密度：,讨论题：,在均匀电场中分别有一个介质球和一个介质中的球形空腔，问极化电荷的电场是加强还是削弱球心处的电场？,削弱,增强,讨论题：,电介质在外电场中极化后，两端出现等量异号电荷，若把它截成两半后分开，再撤去外电场，问这两个半截的电介质上是否带电？为什么？,不带电,分析：因为电介质极化后所带的电荷是束缚电荷，不能象导体中的自由电荷那样能用传导的方法引走。所以当电介质被截成两半后撤去外电场，极化的电介质又恢复原状，仍保持中性。,3. 电介质内部的体束缚电荷,在电介质内部作任一封闭曲面 S,由于极化而越过
6、dS 面向外移出封闭面的电荷为：,通过整个封闭面向外移出的电荷为：,电介质是中性的，根据电荷守恒定律，由于电极化而在封闭面内留下的多余的电荷为：,表明：封闭面内的体束缚电荷等于通过该封闭面的电极化强度通量的负值。,5. 电介质的击穿,分子中的正负电荷被拉开而变成可以自由移动的电荷。若大量的这种自由电荷的产生，电介质的绝缘性就会遭到明显的破坏而变成导体。电介质的击穿,介电强度（或击穿场强）：一种电介质材料所能承受的不被击穿的最大电场强度。,5.3 D 的高斯定律,有电荷，就会激发电场。因此，不但自由电荷要激发电场，电介质中的束缚电荷同样也要在它周围空间(无论电介质内部或外部)激发电场。,1. 有
7、电介质存在的静电场,按电场强度叠加原理：,总场强,自由电荷激发的场强,束缚电荷激发的场强,2. 有电介质存在的高斯定律，电位移矢量 D,E：所有电荷产生的总电场,由高斯定律可知：,又体束缚电荷为：,说明：通过任意封闭曲面的电位移通量等于该封闭面包围的自由电荷的代数和。,D 的高斯定律,电位移矢量 D,注意：该关系式是点点对应关系。对于各向同性介质而言，E 和 D 同向。,(1) D 高斯定律,(2) 由曲面上电位移 D 和场强 E 的通量与面内自由电荷 、束缚电荷 的关系：,讨论题： 在带电两块金属板之间有一层与板平行的均匀电介质，图中给出了两组力线，试问，哪一组线是 D 线，哪一组线是 E
8、线？,分析：两块金属板上分别带有正、负自由电荷，而电介质板上、下表面分别带有正、负束缚电荷。,D 线,E 线,3. 利用 D 高斯定律分析有电介质存在的电场分布,例5-3-1,U0,求：U？电介质上下表面的面束缚电荷密度 ？,解：未充电介质以前，,板间一半充以电介质后，在左半部分，做一封闭高斯面，由 D 高斯定律：,对于右半部分，同理可得：,又，左右两部分的电势差相等：,此外由电荷守恒：,故板间电场强度为：,(1),(1) 板间充了电介质后的电压为：,(2) 电介质的电极化强度为：,由于 P1 的方向与 E1 相同，即垂直于电介质表面，故：,讨论题：,(1),(2),(3),(4),一平行板电
9、容器中充满相对介电常量为 的各向同性均匀电介质。已知介质的面束缚电荷密度为 ，则面束缚电荷在电容器中产生的电场强度的大小为：,结论：面束缚电荷在空间产生的电场如同两均匀带电平面在空间产生的电场。,电容器的总电场：,其中由自由电荷产生的电场为：,则由电介质的面束缚电荷产生的电场为：,E = E0 + E,又：,结论：面束缚电荷在空间产生的电场如同两均匀带电平面在空间产生的电场。,例5-3-2 一个半径为R、电荷为 q的金属导体球，浸在一个大油箱中，油的相对介电常量为 ，求球外的电场分布以及贴近金属球表面的油面上的束缚电荷总量 q。,解：(1) 求解电场分布。,由自由电荷 q 和电介质分布的球对称
10、性可知，E 和D 的分布也具有球对称性，故作一球面高斯面，如图所示，,方向沿径向向外,由 D 高斯定律可知：,(2) 求解束缚电荷的总量 q。,由于q 均匀分布，故它在 r 处产生的电场为：,而自由电荷在 r 处产生的电场为：,E = E0 + E,4. 静电场的边界条件,在两种电介质的交界面两侧，电场强度、电位移之间的关系。,交界面上无自由电荷存在,(1)利用静电场的环路定理,即分界面两侧电场强度的切向分量相等。,(2) 利用 D 高斯定律,即分界面两侧电位移矢量的法向分量相等。,(3) 越过界面时D线方向的改变,D 线的折射定律,讨论题：,在相对介电常量为 的介质中挖去一个扁平的圆柱空腔，
11、直径为 d，高为b (d b)，外电场 E 垂直通过圆柱体底面，则在空腔中的电场强度为 。,分析：由 D 高斯定律,D 在交界面处连续,2. 一带电量为 q、半径为 R 的金属球壳，壳内充满介电常数为 的各向同性的电介质，壳外是真空，则此球壳的电势为 。,5.4 电容器和它的电容,一. 电容器,定义：通常所用的电容器由两个金属极板和介于其间的电介质所组成。 特点：电容器带电时常使两极板相对的两个表面上分别带上等量异号的电荷(或使一板带电，另一板接地，借感应起电而带上等量异号电荷)。,讨论：,(2) 电容是反映电容器储存电荷本领大小的物理量： 在电压相同的条件下，C 越大的电容器所储存的电量越多
12、。,(1) 电容器的电容取决于本身的结构，而与它所带的电量无关。,讨论题：,1. 同心金属球壳 A 和 B 分别带有电荷 q 和 Q，已测得 A、B 间的电势差为 U，问由 A、B 组成的球形电容器的电容为多少？,则按电容器电容的定义可知：,目的：对电容概念的理解,分析：根据导体静电平衡条件及高斯定律可知： 金属球壳B的内表面有感生电荷q，外表面有电荷(Q+q)，,二. 计算几种常用电容器的电容,1. 平行板电容器,(1) 板间电场强度,(2) 两板间的电压：,(3) 平行板电容：,介绍：有的材料(如钛酸钡)，它的 可达数千，用来作为电容器的电介质，就能制成电容大、体积小的电容器。,例如，下图
13、所示的电容测厚仪，可用来测量塑料带子等的厚度,当 、d 和 S 三者中任一个量发生变化时，都会引起电容 C 的变化。根据这一原理所制成的电容式传感器，可用来测量诸如位移、液面高度、压强和流量等非电学量。,2. 圆柱形电容器：设两导体圆柱面单位长度上分别带 的电荷。,(2),(1),(3) 柱形电容,平行板电容器电容,孤立导体球电容,(1),(2),3. 球形电容器：球形电容器是由半径分别为R1和R2 的两同心金属球壳所组成。,(3) 球形电容,讨论题：,2. 如图所示为一空气平行板电容器，上极板固定，下极板悬空。极板面积为 S，板间距为 d，极板质量为 m。问当电容器两板间加多大电压时，下极板
14、才能保持平衡？（忽略边缘效应）,Q,+Q,分析：设电容器带电 Q，则下极板受电力：,由平衡条件：Fe = mg,目的：平板电容器的计算,E2,E1,例：一种单芯同轴电缆的中心为一半径 R1 = 0.5cm 的金属导线，它外围包一层 = 5 的固体介质，最外面是金属包皮。当在此电缆上加一电压后，介质内紧靠其内表面处的场强 E1 为紧靠外表面处的场强 E2 的2.5倍，若介质最大安全电势梯度值为 Em = 40kV/cm，求此电缆所能承受的最大安全电压？,解：设加上电压后内、外导体单位长度带电量分别为 ，则介质内电场分布为：,当电压升高时，E1 处将先被击穿。,令 E1 = Em，则：,电缆能承受
15、的最大电压是：,目的：电介质耐压的计算,单位长度的电容,解：设两金属线的电荷线密度为,例 两半径为 R 的平行长直导线中心间距为 d，且，求单位长度的电容。,三. 电容器的连接,串联,并联,当几只电容器互相连接后，它们所容纳的电荷与两端的电势差之比，称为电容器组的总电容或等效电容。,电容的大小,电容器的耐压能力,(1) 电容器的串联,因为电容器的电容不受外界影响，串联后每一只电容器的电容都和其单独存在时一样：,C1,C2,C3,Cn,A,B,C,E,F,+,电源,把以上各式相加，得：,作为一个整体，电容器组所储蓄的电荷，即可资使用的电荷，只是两端极板上的电荷 q，两端极板的电势差是 UAF。,
16、故这一组合的等值电容 C 为：,即：串联电容器组的总电容的倒数，等于各个电容器电容的倒数之和。,缺点：总电容变小 优点：每个电容器两极板间的电势差，比欲加的总电压小，因此电容器的耐压能力有了提高。,(2) 电容器的并联,接上电源后，每一只电容器两极板的电势差都等于 A、B 两点间的电势差。对各个电容器来说，有,作为一个整体，电容器组合可资用的电荷是：,等值电容 C 为：,即：并联电容器组的等值电容是各个电容器电容之总和。,优点：总的电容量增加了 缺点：每只电容器两极板间的电势差和单独使用时一样，因而电容器组的耐压能力受到耐压能力最低的那个电容器的限制。,以上是电容器的两种基本连接方法。实际上，
17、还有混合连接法，即串联和并联一起用。,讨论题：,1. 两个同样的平行板电容器1和2，串联后接在电源上，再把电容器2充满相对介电常量为 的均匀介质，试分析两个电容器中的场强的变化情况如何？两个电容器的电势差的变化情况如何？极板上的电荷量的变化？,分析：电源不变，故AB两点间的电压是不变的：,对于电容器2，充满电介质后的电容增大了，即C2 C20,对于电容器1，电容保持不变，即： C1 = C10,即电容器2充满电介质以后，两个电容器所带的电量增加了。,由于电场强度与电势差成正比，E = U/d，故：,目的：串联的电容器组的特点。,前后的 q？U？E？,分析：,2. 黄铜球浮在相对介电常量为 =
18、3.0 的油槽中，球的一半浸在油中，球上半在空气中。已知球上净电荷 ，问球的上、下部分各有多少电荷？,上半球在空气中孤立导体半球空气电容C1； 下半球浸在油中孤立导体半球油电容C2， 由于铜球本身是等势体，即：U1 = U2 ，故可以看成是两个电容器的并联。,分析：,R,由 可知：,解：,说明在相同的电压下，有电介质存在的电容器所储存的电荷更多。,目的：孤立导体电容器的相关计算。,3. 一平行平板电容器充满两层厚度各为 和 的电介质，它们的相对电容率分别为 和 , 极板面积为S。求：(1) 电容器的电容；(2) 当极板上的自由电荷面密度的值为 时，两介质分界面上的极化电荷面密度。,解：(1),
19、(2),解二：看为串联,+ + + + + + + + + + +,- - - - - - - - - - -,思考：C 与介质在两板间的位置有关吗？,无关！,问：如何求C ?,并联！,练习：一平行板电容器两极板相距 d，面积 S，其中放一厚度为 t 的介质，相对介电常量为 ，介质两边都是空气。设两极板间电势差为U，略去边缘效应，试求：介质中的电场强度 E，电位移矢量 D和极化强度P。,5.5 电容器的能量,1. 电容器的充放电现象,能量,电源,电容器,能量,灯泡,放电过程中的某 t 时刻：q，u,在 dt 时间内因放电而减小的微小电量：dq,在 dt 这时间内电场力做的元功为：,从原有电量
20、Q 到完全中和的整个放电过程中，电场力做的总功为：,电容器原来带电量为 Q 时所具有的能量,3. 电容器的能量与电场强度的关系,电容器的能量储存在电容器内的电场中,电容器的电容：,或,电场能量体密度,注意：该公式适用于任何电介质内的电场。,有电介质存在，,结论：在电介质中，不但电场 E 本身要储存能量，电介质的极化过程也吸收并储存了能量。,4. 有电介质时电场总能量的一般表达式,注意：积分遍及电场分布的空间。,例5-5-1 求此电容器贮存的电场能量为多少？,解：设电容器内外球分别带有+Q 和Q 的电量，则两球间的电场为：,（球形电容器电容）,(1),(2),（孤立导体球贮存的能量）,例5-5-
21、2 一平行板空气电容器，极板面积为 S，板间距为 d，充电至带电 Q 后与电源断开。然后用外力缓缓地把两极板间距离拉开到 2d，,求电容器能量的改变； 求过程中外力所作的功； 讨论此过程中的功能转换关系。,解：因为在电容器两极板间距离从 d 变到 2d 过程中极板上的电荷Q不变，可求：,极板间距为 d 时：,极板间距为 2d 时：,(2) 因为电容器两极板相吸，吸力的大小为：,讨论： ，说明此过程中，电容器能量增加。,当缓缓拉开板间距时，外力做正功，其值为：,(3) 比较以上计算结果可知：,即外力对电容器做的功等于电容器能量的增量。,讨论题：用力F把电容器中的电介质板拉出，在图(a)和图(b)
22、的两种情况下，电容器中储存的静电能量将 (A) 都增加 (B) 都减少 (C) (a)增加，(b)减少 (D) (a)减少，(b)增加 ,分析：,Q,Q,思考：有两个半径相同，带电量相同的均匀带电球体和均匀带电球壳，问球体、球壳哪个带的电场能量多？,多,少,本章总结,本章主要研究静电场中的电介质。,本章主要知识点,1. 电介质的极化,对于各向同性介质：,2. 电位移矢量,D 的高斯定律,*静电场的边界条件：,3. 电容器的电容,平行板电容器：,并联电容器组：,串联电容器组：,4. 电容器的能量,5. 电介质中电场的能量密度,有电介质时电场的总能量,END,练习：一平行板电容器两极板相距d，面积S，其中放一厚度为t的介质，相对介电常量为r ，介质两边都是空气。设两极板间电势差为U，略去边缘效应，试求：介质中的电场强度E，电位移矢量D和极化强度P。,r,解：,
