1、第三节 n 级行列式,主要内容,定义,行列式定义的进一步研究,从这一节开始，我们总是取一固定的数域 P 作,为基础，所谈到的数都是指这个数域 P 中的数，所,考虑的行列式也都是数域 P 上的行列式.,为了作出 n 级行列式的定义,先来研究三级行,列式的结构.,一、定义,三级行列式的定义为：,任一项除正负号外可写成,个下标(行标)排成标准排列 123 , 而第二个下标,容易看出:,(1) 上式右边的每一项都恰是三个元素的乘,积,这三个元素位于不同的行、不同的列,因此，,这里第一,(列标)排成j1 j2 j3 ,它是1、2、3这三个数的某个,有项,排列,这样的排列共有 3!=种，故上式右端共,(2
2、) 各项的正负号与列标的排列对照：,带正号的三项列标排列是：123 , 231 , 312 ;,(为偶排列),带负号的三项列标排列是：132 , 213 , 321.,(为奇排列),故三级行列式可以写成,其中 t 为排列j1 j2 j3 的逆序数， 表示对1、2、,到一般的情形，得到 n 级行列式的定义,类似地，可以把三级行列式的这一定义推广,3 三个数的所有排列 j1 j2 j3 求和,定义4 设有 n2 个数，排成 n 行 n 列的数表,冠以符号(-1)t，得到形如,作出表中位于不同行不同列的 n 个数的乘积，并,an1 an2 ann,.,a21 a22 a2n,a11 a12 a1n,
3、的项，其中 j1 j2 jn 为自然数1,2, , n 的一,称为 n 级行列式，记作,数和,共有n! 个，因而共有 n! 项,所有这 n! 项的代,个排列，t 为这个排列的逆序数,由于这样的排列,例 1 证明对角行列式(其中对角线上的元 素是 i , 未写出的元素都是),证 第一式是显然的，下面只证第二式.,(-1)t a1na2,n-1an1=(-1)t 1 2 . n ,t = 0+1+2+(n - 1)=n (n - 1)/2 .,其中 t 为排列 n(n - 1)2 1 的逆序数，故,证毕,例 2 证明下三角行列式,证 由于当 j i 时,aij = 0,故中可能不为 0,即 p1
4、1,p2 2,pn n .,在所有排列 p1p2pn 中，能满足上述关系的排列,证毕,D a11a22 ann .,所以,(-1)t =(-1)0 = 1 ,的项只有一项(-1)t a11a22ann .,此项的符号,只有一个自然排列 12n ,所以 D 中可能不为,注意 例 1和例 2的结论很重要，它们可以当,的理解,下面再举一个例子,为了使同学们进一步加深对 n 阶行列式定义,时候总是想方设法把它化为三角行列式,作公式用，以后我们在计算高阶行列式时，很多,例 3 设有 阶行列式,问该行列式的展开式是几次多项式，并求最高 幂的系数,解 由行列式的定义，知,第一行有,个元素含有 x ，即为,此
5、时它们的乘积等于,乘积的次数才最高，且为,故所求的最高幂的系数为,其乘积等于,列标排列为,逆序数为,D4 是,次多项式.,由上述的 3 个例子容易得出如下结论：,当行列式的元素全是数域 P 中的数时，它的,值也是数域 P 中的一个数.,二、行列式定义的进一步研究,在行列式的定义中，为了决定每一项的正负号,我们把 n 个元素按行指标排列起来.,由于数的乘法,是交换的，因而这 n 个元素的次序是可以任意写,一般地，n 级行列式中的项可以写成,的，,事实上，为了根据定义来决定该项的符号，就,要把这 n 个元素重新排一下使得它们的行指标成自,然顺序，也就是排成,于是它的符号是,现在来证明,可以经过一系
6、列元素的对换来,实现.,每作一次对换，元素的行指标与列指标所成,的排列,与,就都同时作一,次对换，也就是,与,同时改变奇偶性，因而它们的和,+,的奇偶性不变，这就是说，对,作一次元素的对换不改变,的值.,因此，在一系列对换之后有,例如，a21a32a14a43 是 4 级行列式中一项，,于是它的符号应为,如按行指标排列起来，就是,a14a21a32a43 ，,因而的符号也是(-1)3=-1.,列式中每一项的符号的好处在于，行指标与列指标,的地位是对称的，因而为了决定每一项的符号，我,们同样可以把每一项按列指标排列起来，于是定义,又可写成,定义4 n 级行列式可定义如下,本节内容已结束 ! 若想
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