1、第二章 多项式,2.1 一元多项式的定义和运算 2.2 多项式的整除性 2.3 多项式的最大公因式 2.4 多项式的分解 2.5 重因式 2.6 多项式函数 多项式的根 2.7 复数和实数域上多项式 2.8 有理数域上多项式 2.9 多元多项式 2.10 对称多项式,惠州学院数学系,课外学习2：从高次代数方程和求根公式到伽罗华理论 课外学习3：代数与代数基本定理的历史 课外学习4：推广的余数定理及算法 课外学习5：代数元的多项式的共轭因子,惠州学院数学系,代数是搞清楚世界上数量关系的工具。 怀特黑德（19611947）当数学家导出方程式和公式，如同看到雕像、美丽的风景，听到优美的曲调等等一样而
2、得到充分的快乐。 - -柯普宁(前苏联哲学家)快乐地学习数学，优雅地欣赏数学。 匿名者,惠州学院数学系,2.1 一元多项式的定义和运算,一、内容分布,2.1.4 多项式的运算,二、教学目的,掌握一元多项式的定义,有关概念和基本运算性质.,三、重点、难点,一元多项式的定义，多项式的乘法，多项式的运算性质。,2.1.1 认识多项式,2.1.2 相等多项式,2.1.3 多项式的次数,2.1.5 多项式加法和乘法的运算规则,2.1.6 多项式的运算性质,惠州学院数学系,2.1.1 认识多项式,多项式,令R是一个含有数1的数环.R上一个文字x的多项式或一元多项式指的是形式表达式,2：在一个多项式中，可以
3、任意添上或去掉一些系数为零的项；若是某一个i次项的系数是1 ，那么这个系数可以省略不写。,惠州学院数学系,2.1.2 相等多项式,定义,若是数环R上两个一元多项式 , f (x) 和g (x)有完全相同的项,或者只差一些系数为零的项, 那么 f (x) 和g (x)就说是相等 . f (x) = g (x),惠州学院数学系,2.1.3 多项式的次数,的次数. 记作,注： 系数全为零的多项式没有次数,这个多项式叫做 零多项式，记为 0 .,惠州学院数学系,2.1.4 多项式的运算,多项式的加法,给定数环R上两个多项式,且m n, f (x) 和g (x) 的加法定义为,这里当m n 时，,惠州学
4、院数学系,多项式的乘法,给定数环R上两个多项式,f (x) 和g (x) 的乘法定义为,这里,惠州学院数学系,多项式的减法,惠州学院数学系,2.1.5 多项式加法和乘法的运算规则,（1）加法交换律:,（2）加法结合律:,（3）乘法交换律:,（4）乘法结合律:,（5）乘法对加法的分配律:,惠州学院数学系,2.1.6 多项式的运算性质,（ii）,惠州学院数学系,证:,且,那么,（1）,（2）,由（1），,的次数显然不超过n，另一方面，,，所以由(2)得,的次数是n + m .,惠州学院数学系,推论2,惠州学院数学系,惠州学院数学系,2.2 多项式的整除性,一、内容分布,2.2.1 多项式的整除概念
5、,2.2.2 多项式整除性的一些基本性质,2.2.3 多项式的带余除法定理,2.2.4 系数所在范围对整除性的影响,二、教学目的,1掌握一元多项式整除的概念及其性质。,2熟练运用带余除法。,三、重点、难点,多项式的整除概念，带余除法定理,惠州学院数学系,2.2.1 多项式的整除概念,设F是一个数域. F x是F上一元多项式环.,惠州学院数学系,2.2.2 多项式整除性的一些基本性质,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,（6）,（7）,惠州学院数学系,2.2.3 多项式的带余除法定理,注2：,惠州学院数学系,惠州学院数学系,使得,而,惠州学院数学系,现在证明定理的后一部分假设f (x)有两种
6、符合定理中要求的表示法：,那么,上式右边或者为零，或者次数小于,而左边或者是零，或者次数不小于,因此必须两边均为零，从而,惠州学院数学系,2.2.4 系数所在范围对整除性的影响,惠州学院数学系,惠州学院数学系,例1 确定m ，使,惠州学院数学系,2.3 多项式的最大公因式,一. 内容分布,2.3.1 多项式公因式,最大公因式,互素概念,2.3.2 用辗转相除法求最大公因式.,二.教学目的,1.掌握最大公因式,互素概念.,2.熟练掌握辗转相除法,3.会应用互素的性质证明整除问题,三.重点,难点,辗转相除法求最大公因式. 证明整除问题,惠州学院数学系,令 和 是F x的两个多项式，若是F x的一个
7、多项式 同时整除 和 ，那么 叫做 与 的一个公因式.,定义 2,设 是多项式 与 的一个公因式.若是 能被 与 的每一个公因式整除,那么 叫做 与 的一个最大公因式.,定义 1,惠州学院数学系,的任意两个多项式 与 一定有最大公因式.除一个零次因式外, 与 的最大公因式是唯一确定的,这就是说，若 是 与 的一个最大公因式，那么数域F的任何一个不为零的数 c与 的乘积 ，而且当 与 不全为零多项式时，只有这样的乘积是 与 的最大公因式.,定理 2.3.1,惠州学院数学系,解：对 施行辗转相除法.为了避免分数系数，在做除法时，可以用F的一个不等于零的数乘被除式或除式.而且不仅在每一次除法开始时可
8、以这样做，就是在进行除法的过程中也可以这样做.这样商式自然会受到影响，但每次求得的余式与正确的余式只能差一个零次因式.这对求最大公因式来说是没有什么关系的.,惠州学院数学系,把 先乘以2，再用 来除：,乘以2,这样，得到第一余式,惠州学院数学系,乘以3,约去公因子56后，得出第二余式,惠州学院数学系,所以 就是 与 的最大公因式：,惠州学院数学系,.,对 与 施行辗转相除法.但是现在不允许用一个零次多项式乘被除式或除式.因为在求多项式 与 时，不仅要用到余式，同时也要用到商式.施行除法的结果，我们得到以下一串等式：,惠州学院数学系,惠州学院数学系,惠州学院数学系,从这个定理我们可以推出关于互素
9、多项式的以下 重要事实.,3.若多项式,与,都整除多项式,，而,与,互素. 那么乘积,也整除,惠州学院数学系,2.4 多项式的分解,一.内容分布,2.4.1 不可约多项式的概念及性质,2.4.2 唯一因式分解定理,二.教学目的,1.掌握不可约多项式及性质,2.掌握唯一因式分解定理,会用两个多项式的典型分解求出最大公因式,3.掌握求典型分解式,三.重点.难点,唯一因式分解定理,用典型分解求出最大公因式,惠州学院数学系,这个定义的条件也可以用另一种形式来叙述,若多项式 有一个非平凡因式 而 ，那么 与 的次数显然都小于 的次数.反之，若 能写成两个这样的多项式的乘积，那么 有非平凡因式.因此我们可
10、以说：,惠州学院数学系,若 是在 中的任一个形如（1）的分解式总含有一个零次因式，那么 在F上不可约.,（a）如果多项式 不可约，那么F中任一不为零的元素 c与 的乘积 也不可约.,（b）设p (x)是一个不可约多项式而f (x)是一个任意多项 式，那么p (x)或者与f (x)互素，或者p (x)整除f (x) .,（c）如果多项式f (x)与g (x)的乘积能被不可约多项式p (x) 整除，那么至少有一个因式被p (x)整除.,惠州学院数学系,此处 是F的不为零的元素. 即，如果不计零次因式的差异，多项式f (x)分解成不可约因式乘积的分解式是唯一的.,惠州学院数学系,惠州学院数学系,惠州
11、学院数学系,2.5 重因式,一.内容分布,2.5.1重因式概念,2.5.2 没有重因式的判断,二.教学目的,1.掌握重因式概念,多项式的K阶导数概念.,2.掌握有无重因式判断的充要条件.,三.重点难点,重因式概念及用一阶导数判断多项式有无重因式.,惠州学院数学系,根据以上定义不难直接验证，关于和与积的导数公 式仍然成立：,（1）,（2）,（3）,惠州学院数学系,惠州学院数学系,2.6 多项式函数 多项式的根,一. 内容分布,2.6.1 多项式的根概念,2.6.2 综合除法,二. 教学目的,1.掌握多项式函数 多项式的根的概念,2.掌握余式定理及运用综合除法,3.熟悉理解拉格朗日插值公式,三.
12、重点、难点,综合除法，拉格朗日插值公式,惠州学院数学系,这样, 对于R的每一个数c, 就有R中唯一确定的数 f (c)与它对应. 于是就得到R到R的一个映射. 这个映射是由多项式f (x)所确定的,叫做R上一个多项式函数.,惠州学院数学系,综合除法,惠州学院数学系,由此得出,惠州学院数学系,这样,欲求系数 ,只要把前一系数 乘以c再加上对应系数 ,而余式的 r 也可以按照类似的规律求出. 因此按照下所指出的算法就可以很快地陆续求出商式的系数和余式:,表中的加号通常略去不写.,惠州学院数学系,例1,用x + 3除,作综合除法:,所以商式是,而余式是,惠州学院数学系,惠州学院数学系,证,如果f (
13、x)是零次多项式,那么f (x)是R中一个不等于零的数, 所以没有根. 因此定理对于n = 0成立.于是我们可以对n作数学归纳法来证明这一定理.设cR是f (x)的一个根.那么f (x) = (x c) g (x) 这里g (x) R x是一个n 1次多项式.如果dR是f (x)另一个根, dc那么0 = f (d) = (d c) g (d) 因为d c0 , 所以g (d) = 0. 因为g (x)的次数是 n 1 ,由归纳法假设, g (x)在R内至多有n 1个不同的根.因此f (x)在R中至多有n个不同的根.,惠州学院数学系,惠州学院数学系,证 设f (x) = g (x) 那么它们有
14、完全相同的项, 因而对R的任何c都有f (c) = g (c)这就是说, f (x) 和g (x)所确定的函数相等. 反过来设f (x) 和g (x)所确定的函数相等.令u (x) = f (x) g (x) 那么对R的任何c都有u (c) = f (c) g (c) = 0这就是说, R中的每一个数都是多项式u (x)的根. 但R有无穷多个数, 因此u (x)有无穷多个根.根据定理2.6.3只有零多项式才有这个性质.因此有u (x) = f (x) g (x) = 0 , f (x) = g (x) .,惠州学院数学系,这个公式叫做拉格朗日(Lagrange)插值公式.,拉格朗日(Lagra
15、nge)插值公式,惠州学院数学系,由拉格朗日插值公式得,惠州学院数学系,2.7 复数和实数域上多项式,一.内容分布,2.7.1 代数基本定理,2.7.2 实系数多项式分解定理,二.教学目的,1.理解代数基本定理、重根,2.掌握实系数多项式的性质,三.重点、难点,代数基本定理,根与系数关系.实系数多项式性质.,惠州学院数学系,惠州学院数学系,这样继续下去,最后f (x)在C x中完全分解成n个一次因式的乘积,而在f (x) C中有n个根.,复数域C上任一n (n 0)次多项式可以在C x里分解为一次因式的乘积.复数域上任一次数大于1的多项式都是可约的.,惠州学院数学系,把等式两端都换成它们的共轭
16、数,得,惠州学院数学系,若是 是f (x)的重根,那么它一定是h (x)的根,因而根据方才所证明的, 也是h (x)的一个根.这样也是的重根.重复应用这个推理方法,容易看出, 的重数相同.,惠州学院数学系,2.8 有理数域上多项式,一.内容分布,2.8.1 本原多项式及高斯引理,2.8.2 艾森斯坦差别法,2.8.3 求整系数多项式在理根,二.教学目的,1.掌握本原多项式概念及高斯引理,2.熟悉运用艾森斯坦差别法,3.掌握求整系数多项式的有理根,三.重点、难点,艾森斯坦差别法及如何求整系数多项式有理根方法.,惠州学院数学系,惠州学院数学系,这个等式的左端p整除.根据选择 的条件,所有系数 都被
17、p整除.因此乘积 也须被p整除.但p是一个素数,所以p必须整除 . 这与假设矛盾.,惠州学院数学系,惠州学院数学系,令 的系数的最大公因数是 那么,这里 是一个有理数而 是一个本原多项式.同理,这里 是一个有理数而 是一个本原多项式. 于是,惠州学院数学系,其中r与s是互素的整数, 并且s 0 . 由于f (x)是一整系数多项式,所以多项式 的每一系数与r的乘积都必须被s整除. 但r与s互素, 所以 的每一个系数必须被s整除, 这就是说, s是多项式 的系数的一个公因数. 但 是一个本原多项式, 因此,显然各与 有相同的次数,这样, f (x)可以分解成次数都小于n的两个整系数多项式的乘积.,
18、惠州学院数学系,定理2.8.3 (Eisenstein判断法),是一个整系数多项式. 若是能够找到一个素数p,使,(i) 最高次项系数 不能被p整除,(ii) 其余各项的系数都能被p整除,(iii)常数项 不通被 整除,那么多项式f (x)在有理数域上不可约.,惠州学院数学系,证 若是多项式f (x)在有理数域上可约,那么由定理2.8.2, f (x)可以分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积:,这里,并且 k n , l n , k + l = n , 由此得到,因为 被p整除,而p是一个素数, 所以 整除.但 不能被 整除, 所以 不能同时被p整除.,惠州学院数学系,不妨假定 整除而 不被
19、p整除. g (x)的系数不能全被p整除,否则f (x) = g (x)h (x)的系数 将被p整除,这与假定矛盾. 令g (x)中第一个不能被p整除的系数是 . 考察等式,由于在这个等式中 都被p整除,所以 也必须被p整除. 但p是一个素数, 所以 中至少有一个被p整除. 这是一个矛盾.,惠州学院数学系,(i) 的最高次项系数 而 的常数项,(ii) 这里q (x)是一个整系数多项式.,惠州学院数学系,证 由于 是f (x)的一个根, 所以,(2),这里q (x)的一个有理系数多项式. 我们有,这里vx u 是一个本原多项式, 因为u和v互素.另一方面, q (x)可以写成,这里 是一个有理
20、数 而是一个本原多项式. 这样,惠州学院数学系,这里r和s是互素的整数并且 s 0 , 而 vx u 和 都是本原多项式.由此, 和定理2.8.2的证明一样,可以推得 s = 1 而,(3),这里 是一个整系数多项式. 令,那么由(3)得,惠州学院数学系,惠州学院数学系,惠州学院数学系,惠州学院数学系,2.9 多元多项式,一.内容分布,2.9.1 基本概念,2.9.2 n元多项式的字典排列法,2.9.3 多项式函数,二.教学目的,1.掌握多元多项式的基本概念:单项式,多项式,系数,同类项,次数,单项式等及n元多项式环,2.掌握多元多项式的运算:加法,乘法,3.掌握多项式的字典排列法,多项式函数
21、.,三.重点、难点,n元多项式的一般形式,多项式的字典排列法,惠州学院数学系,惠州学院数学系,惠州学院数学系,在一个n元多项式（1）里，组成这个多项式的单项式叫做这个多项式的项.各项的系数也叫做这个多项式的系数.,R上两个单项式 和 叫做同类项，如果 . 两个单项式说是相等，如果它们是同类项并且系数相等.,现在定义R上n元多项式的运算.,R上两个n元多项式 的和指的是把分别出现在这两个多项式中对应的同类项的系数相加所得到的n元多项式，记作f + g .,惠州学院数学系,为了定义两个多项式的乘积，先定义两个单项式的乘积.R上两个n元单项式 与 的积指的是单项式,惠州学院数学系,这样定义的多项式的
22、加法和乘法就是中学代数里熟知的多项式的运算，并且容易看出，n元多项式的运算满足下列条件：,惠州学院数学系,设f, g, h都是某一数环R上n个文字 的多项式，那么,我们把一个数环R上一切n个文字的多项式 所成的集合，连同如上定义的加法和乘法叫做R上n个文字 的多项式环，简称上元多项式环，记作: .,惠州学院数学系,设 是数环R上一个不等于零的n元多项式. 设,（2） ，,（3）,惠州学院数学系,就是按字典排列法书写的一个四元多项式.,惠州学院数学系,惠州学院数学系,惠州学院数学系,2.10 对称多项式,一.内容分布,2.10.1 对称多项式基本定理,2.10.2 用初等对称多项式表成对称多项式
23、,二.教学目的,1.掌握理解n元对称多项式, n元初等对称多项式概念,2.掌握对称多项式的基本定理,3.熟练用初等对称多项式的多项式. 0,三.重点、难点,对称多项式表成初等对称多项式的多项式,惠州学院数学系,是整数环上一个三元对称多项式.,惠州学院数学系,看以下的n个n元多项式：,（1）,这里 表示 中每次取k个所作的一切可能乘积的和，这样的n个多项式显然都是n元对称多项式.我们称这n个多项式 为n元初等对称多项式.,惠州学院数学系,对称多项式的基本定理,惠州学院数学系,惠州学院数学系,例2 用初等对称多项式表示n元对称多项式,由定理2.10.2的证明知道，所求的表示式的各项 完全决定于相应
24、的对称多项式 的首项.这些首项必须满足以下条件：,1.每一 的首项都小于f 的首项，并且如果i j ，那么的 首项小于 的首项；,2.每一首项的指数组 满足不等式,3.每一首项的次数都等于4（因为f是一个四次齐式，所以每一个 也是四次齐式）,惠州学院数学系,自f 的首项的指数组开始，写出满足上述条件的一切可能的指数组，以及对应的 的幂的乘积. 列表如下：,这样，多项式 f 可以写成以下形式,惠州学院数学系,为了决定系数a , b ，取 的值代入上面的等式.例如，可以先取 . 对于这一组数，f 的值等于3，而 的值依次是3，3，1，0. 所以,由此得a = - 2. 再取 .对于这一组数，f 的值等于6， 的值依次是4，6，4，1.所以,由此得b = 2 . 于是,惠州学院数学系,
