1、第二章 导数与微分,我们知道,匀速直线运动的速度是不变的,它等于 距离除以经过这段距离所用的时间. 至于变速直线运 动的瞬时速度显然不能用距离除以时间来计算.本章 我们就以极限为工具，从剖析和解决这个问题出发， 引进导数概念，讲述导数计算，介绍微分及其计算.导数贯穿于整个高等数学的始终，是学好高等 数学的关键一章.,第一节 导数的概念,第二节 求导法则和基本求导公式,第三节 函数的微分,第四节 隐函数的导数和由参数方程所确定函 数的导数,第五节 高阶导数,第一节 导数的概念,导数的概念最早来源于物理和几何方面 的研究。,一、引进导数的实例,1变速直线运动的瞬时速度,我们先以大家都非常熟悉的自由
2、落体 运动为例来进行分析,自由落体运动的运动规律为,我们分三步来讨论自由落体运动的 瞬时速度：,第一步：求,第二步： 求,物体在这段时间内的平均速度,第三步： 求,平均速度的极限即是瞬时速度,2曲线的切线斜率,先来讨论一般曲线的切线问题,通过比较认识切线的真正含义,一条直线与一个圆如果只有一个公共点，那么这条直线叫做圆的一条切线，公共点叫做切点。,抛物线 与 轴、轴分别只有一个公共点，但 轴是抛物线在顶点的切线，而 轴却不是。,曲线的切线可按如下方式定义：,（如图2-2），在曲线上任取不同于M0点的一点M，作割线M0M.当点M沿着曲线移动并趋于M0点时，割线就以点M0为轴转动，割线M0M的极限
3、位置M0T就叫做曲线在点M0处的切线，点M0叫做切点。,下面讨论切线的斜率,切线斜率的求法：,第一步：求,第二步：求,第三步：求,二、导数的定义,设函数,在点,及其近旁有定义，当自变量,有增量,时，函数有相应的增量,当,时，若,的极限存在，则极限值就称为函数,在点,的导数，并称函数,在点,导数），记为,，即,也可记为,或,.,可导（或有,=,或,求导数举例,解 （1）求函数改变量,（2） 求,（3） 当,时，求,的极限：,所以，,0,注意事项:,是函数,（1）,在区间,或,上的平均变化率；而,则是函数,在点,的变化率，它反映了函数随自变量变化的快慢程度.,（2） 如果极限,不存在，则称,在点,
4、不可导；如果不可导的原因是当,时,所引起的，则称函数,在点,的导数为无穷大.,三、函数的可导性与连续性的关系,定理,应当指出，一个函数在某点连续，但在该点函数不一定可导.,下面给出函数在区间内可导的概念.,如果函数,在区间,内的每一点都可导，,则称函数,在区间,内可导.这时，对于区间,内的每一个确定的,值，都有唯一的导数值,与之对应，即,所以,也是,的函数，称作,在,导函数，记作,或,内的,.,说明:,例2,=,解：,所以：,说明:,在不致引起混淆的情况下，导函数也简称导数.通常所说的求函数的导数，就是指求函数的导函数.求一个函数的导数运算称为微分法.,导数符号的简单应用,瞬时速度 ；曲线 在
5、点 处的 切线斜率即 .,四、 求导数举例,例3 求常值函数,的导数.,解：,所以,也就是说，常数的导数等于零，即,例4 求幂函数,的导数.(过程略),幂函数求导举例,例5 求正弦函数,的导数.,解 (1) 计算函数增量,(2)算比值,（3）取极限,由此可得,同理，余弦函数的导数为,例6 求对数函数,的导数.,解,根据重要极限,，得,由此得到,特别地，自然对数,的导数为,例7 求指数函数,的导数.,解,利用极限,，得,由此得到,五、左导数和右导数,在导数的定义中，,从0的两侧趋于0的，如果我,从0的一侧趋于0 ，就产生了所谓左右导数的,如果当,（或,）时，,的极限存在，,在点,的右导数（左导数
6、），,们限定,概念.,那么就称此极限为,记作,即,由此我们可以得到,在点,可导的充分必要,左、右导数存在且相等，即,条件是,例如：已知,求,及,并说明,是否存在？,解：,=,1=1,六、导数的物理意义与几何意义,由导数的引例我们知道，如果函数,代表一个,就是该直,的瞬时速度，这就是导数的物理意义.,如果函数,表示一条曲线，那么导数,就等于该曲线在点,的切线斜率，,变速直线运动的运动规律，那么导数,线运动在时刻,这就是导数的几何意义.,由此可见，曲线,在点,的切线斜率,，根据直线方程的点斜式，得到曲线在点,处的切线方程为：,法线方程为,解：,所以，该物体在任意时刻的速度,在,时的瞬时速度为,解,
7、是曲线,上任意点,处的切线斜率,（1）在点,处，因为,，所以切线斜率为,根据直线方程的点斜式，得,整理得切线方程为,法线方程为,整理得,k=,习题2-1 3、5、6、7、9。,作业,第二节 求导法则和基本求导公式,我们前面用导数定义求出了一些基本初等函数的导数，但对于一般的初等函数，用定义求导数，运算往往比较复杂.为了迅速准确地求出一般初等函数的导数，我们需要建立一个求导法则和求导公式体系.,一、函数四则运算的求导法则,设,都是 的可导函数，则,1.,2.,3.,下面我们给出两个函数和的求导法则证明，其它法则证明从略.,证明：, 则,因此,设,由已知条件知,即,所以,上述求导法则还有以下常用的
8、推论：,例1 求下列函数的导数：,（1）,（2）,（3）,（4）,(1),(2),(3),(4),例2：设 ，求 。,解：,所以,例3 求下列函数的导数,因此,同理,因此,同理,在求导时先对函数变形再求导，有时可简化运算过程.,例4：求曲线 在点 处的切线方程和法线方程。,于是 曲线在点 的切线方程是,即,曲线在点 的法线方程是,即,二、复合函数求导法则,引例:,可见不能用公式 直接求得,其原因在于：,不是基本初等函数，,而是 的复合函数。,复合函数求导有以下法则:,如果函数,在点,处可导，函数,点 处也可导，则复合函数 在点 可,也可写成,或,在对应,导，且,注:复合函数求导法又称为 链锁法
9、则，它可以推广到多个 函数复合的情形.,例6 利用复合函数求导法则求下列函数的导数.,解,与,所以,（1）因为,是由,复合而成的，,（2）,因为,复合而成的，,所以,是由,与,（3）因为,复合而成的，,所以,是由,与,（4）因为,是由,与,复合而成的，,所以,注:当复合函数的复合层次多于两层时，其计算方法与两层时完全一样，只需逐层求导即可,例7 求下列函数的导数,（1）因为,由,与,复合而成，,解：,所以,（2）因为,是由,与,复合而成的，,所以,说明:,当对复合函数的求导方法熟悉以后，可以不必写出中间变量，只需逐层求导即可,例8 求 的导数.,解,例9 求下列函数的导数,1.,2.,3.,解
10、,（1）先有理化分母，得,然后求导数，得,（2）先用对数性质展开，得,然后求导数，得,（3）先化简，得,然后求导数，得,1基本初等函数的导数公式,三、求导公式与求导法则汇总,2函数四则运算的求导法则,（C为常数）.,（C为常数）.,1.,2.,3.,4.,5.,3复合函数求导法则,设,则复合函数,的导数为：,或写成,或,.,有了这些公式和法则，初等函数的求导问题就可以完全解决了,例10 求下列函数的导数,1.,2.,3.,4.,5.,解,(1),(2),（3）,（4）,（5）,作业,1（2）（6）（14）；2（3）（5）（7）（12）（14）；3；5。,第三节 函数的微分,在实际问题中，有时需
11、要考虑当函数的自变量有微小变化时，相应的函数值变化的问题.这就是本节要讨论的函数的微分，它与导数有密切的联系，也是今后学习积分学的基础.,一、 微分的概念,图,2,-,4,若用 表示薄板的面积， 表示边长，则 . 于,是面积的改变量为,从上式可以看出，,由两项构成，,和,是次要部分.于是，当我们把,忽略不记时，,就是,的近似值，即,上式中 的系数 ，就是函数 在点的导数,这就是说，函数,的自变量,在点,的改变量,时，函数的改变量,约等于其在点,的导数,与,的乘积.,于是上式又可表示为,.,有微小,设函数,在点,处可导，即,根据函数极限与无穷小的关系，有,其中，,由此得,这表明，函数的改变量,是
12、由,和,两项所组成.,，,当,时，由,知：,是,的同阶无穷小，,是较,高阶的无穷小.,由此可见，当,时，在函数的改变量,中，起主要作用的是,，它与,的差是一个较,高阶的无穷小. 因此，,是,的主要部分；,又因为,是,的线性函数，所以通常称,为,的线性主要部分（简称线性主部）,定义,设函数,在点,处可导，则称,为函数,在点,的微分，记为,或,即,或,此时称函数,在点,可微. 如果函数在,区间,内每一点可微，则称函数在区间,内可微.,函数在任一点,的微分，叫做函数的微分，一般,就记为,或,特别地，自变量,的微分,，即,这就是说，自变量,的微分,就是它的改变,量,. 因此，,代替,，即,由此可见，,
13、，即函数,的导数等于函数的微分,与自变量的微分,的商.因,此，导数又称微商.,.,微分表达式中可用,解 先求函数在任意点,的微分,当,时的微分,函数的增量为,结论:,例2 求下列函数的微分,1.,2.,解：,1.,2.,二、 微分的几何意义,由图2-5可知：,如图2-5所示，过曲线,上一点,作曲线,. 当自变量在,处取得改变量,时，我们得到曲线上另一点,的切线，切线的斜率,结论:,函数,在点,的微分,，等于曲线在,点,的切线,上点的纵坐标对应于,的改变量.,这就是微分的几何意义.,1微分的基本公式,三、 微分的基本公式与运算法则,微分的四则运算法则,1).,2).,3).,4).,5).,四
14、微分形式不变性,复合函数的微分请参照 微分形式不变性（如下）.,根据微分的意义，当,是自变量时，函数,的微分是,如果,不是自变量，而是,的可导函数,时,则复合函数,的微分为:,因为, 所以上式可表示为,这说明, 无论,是自变量还是中间变量，函数,的微分总保持同一形式, 微分的这一性质,.,叫做一阶微分形式不变性.,例1 用两种方法求下列函数的微分：,(1),(2),(3),解法1 根据微分的定义,(1),(2),(3),解法2 根据微分的基本法则和一阶微分 形式不变性,(1),(2),(3),解：,（1）,因为,所以,(C为任意常数).,（2）,同理,（3）,同理,例2 在下列括号内填入适当的
15、函数,使等式成立.,(1),(2),(3),解,（1）,因为,所以,(C为任意常数).,（2）,同理,（3）,同理,五、 微分在近似计算中的应用,当,很小时，,亦即,将上式移项得,此式常用来计算函数,在点,附近的函数值的近似值.,(2),(1),例1 半径为10的球充气后半径增加了0.02,求球 的体积大约增加了多少?,解 设球的体积为,，半径为,，则,由已知,，设球的体积的增加量为,因为,很小，所以可以用微分,来近似代替,而,于是,即球的体积大约增加了,.,.,例2：计算 的近似值,解 由于所求的是余弦函数值,故选取函数,于是,因为,所以取,(此时 很小),代入上式得,即,在公式,（2）中,
16、当 时,得,（3）,当,很小时，可用公式（3）求函数,在,附近函数值的近似值.,当,很小时，由公式（3）可得工程上常用的近似,公式(证明略)如下：,(1),(6),(5),(3),(4),(2),作业,习题2-3 3、4（2）（4）（6）（8）、5（1）（3）（5）（9）、8。,一 隐函数及其求导法,第四节 隐函数和由参数方程所确定函数的导数,形如 的函数，叫做显函数,如：,由方程,所确定的,与,叫做隐函数.例如圆的方程,以及,等等，因变量,与自变量,的关系是由一个,的方程,所确定的.,之间的函数关系,含有,显函数有时很容易化成隐函数.,例如,但有的隐函数很难或不可能化为显函数. 例如,例如：
17、,就可化为,，,因此，我们试图把隐函数化为显函数再求导的想法并非总能实现. 那怎样求隐函数的导数呢？,隐函数求导方法:,（1）在给定的方程两边分别对 求导数，遇到,时看成 的函数， 的函数看成 的复合函数；,（2）从（1）所得式中解出 （或 ）即可.,例1 求由方程 所确定的函数 的导数.,解：将方程两边对 求导数，得,所以,说明：将此函数化为显函数再求导，可得到同样的结果.,例2 求由下列方程所确定的函数的导数：,(1),(2),解：,(1)方程两边对 求导数，得,解 出，得,（2）方程两边对 求导数，,得,解出,得,，,例3 求圆 在点 的切线方程.,解 方程两边对 求导数，得,解 出，得
18、,把点,的坐标代入，得切线的斜率,由直线方程的点斜式，得,整理得切线方程为,对数求导法,有时所给的函数是幂指函数的形式，即,或是幂、积、商很复杂的式子，这些函,它们化为隐函数，然后按照隐函数求导法则求出原函数,，,数虽然是显,函数，,但直接求它的导数很烦琐，可先用两边取对数的,方法将,的导数. 这种方法称为“对数求导法”.,例4 求下列函数的导数：,(1),(2),解：（1）此函数是幂指函数，两边取自然对数,解出 ， 即得所给函数的导数为:,化为隐函数，得:,上式两边对,求导数，得,（2）此函数是含有幂、积、商的复杂式子，直接求导很麻烦，因此，两边取对数并根据对数的运算法则，得,上式两边对,求
19、导数，得,解出 ，即得原函数的导数为:,二、 由参数方程所确定的函数的导数,一般地，参数方程,可以确定,与,函数关系.这种关系，有时可以用显函数表示出来.,例如,消去参数,可得,（称为普通方程），,由此可求出,之间的,，,但对于有些参数方程，它所确定的,关于,关系，很难化为普通方程. 因此我们希望寻找一种不消去,而直接从参数方程求,的方法.,的函数,参数,.,根据导数又称微商这一结论，在,中同除以,，得：,即,这就是参数方程所确定的,与,方法，其结果一般仍为关于参数的解析式.,的分子和分母,之间的函数的求导,例1 已知参数方程,，求,解 根据参数方程的求导公式,因为,所以,解: 因为,所以，所
20、求切线的斜率为,将,代入所给参数方程中，得切点,所以，切线的方程为,整理得,解 因为,所以,于是所求切线的斜率为,作业,习题2-4 1（1）（3）（5）；2（1）； 3 （4） ；4；5（1）；,一、 高阶导数的概念,第五节 高阶导数,一般地，函数,的导数,仍然是,的函数，如果是可导函数，则可以继续求它的导数，,，这相当于对函数,求了两次导数，,我们称,为,的二阶导数，,记作,， 或,，或,例1 求下列函数的二阶导数,(1),(3),(2),解,(1),(2),(3),的二阶导数,类似的，函数,的导数叫作,的三阶导数.记作,或,或,；三阶导数的导数称为四阶导数，记作,或,或,，等等.,一般地,
21、的,阶导数的导数叫作,的,阶导数，,记作,或,或,例2 求下列函数的各阶导数.,解 （1）,依此类推，可得,（1）,解：（2）,观察这些导数的规律，可得,（2）,由此可得,（3）,*例3 求由方程,确定的隐函数的,解 将方程两边对 求导，得,所以,二阶导数.,解 因为,所以,二 、二阶导数的力学意义,设物体作变速直线运动，其运动方程,运动的速度是路程,对时间,的导数，即,若速度,仍是时间,的函数，我们可以求速度,对时间,的导数，,表示，即,.在力学中，,物体运动的加速度，也就是说，作直线运动的物体运动的,速度,是路程,对时间,的二阶导数.,.则物体,此时，,并用,称为,加,例 已知作直线运动物体的运动方程为,，求物体运动的加速度.,解：因为,所以,注：由于二阶导数是在一阶导数的基础上再求一次导数，所以不需要引进新的公式.,本章结束 谢谢观看,
