1、第二章 轴向拉伸和压缩,2.1 轴向拉压杆的内力,1.1 工程实际中的轴向受拉杆和轴向受压杆,1.2 轴向拉压杆的内力轴力和轴力图,截面法求内力： 假想用一截面m-m将杆分割为I和II两部分;取其中的任一部分（例如I）为脱离体，并将另一部分（例如II）对脱离体部分的作用;用在截开面上的内力的合力N来代替（图2-2b），则可由静力学平衡条件： 因此截面上的内力：,同样，若以部分II为脱离体（图2-2c），也可求得代表部分I对部分II作用的内力为注意：它与代表部分II对部分I的作用的内力等值而反向 轴力内力N作用线通过截面形心，即沿杆轴线作用，故称为轴力。量纲为力，在国际单位制中常用的单位是N（牛
2、）或kN（千牛）。 一般规定：轴力的指向离开截面时为正号轴力；指向朝向截面时为负号轴力。即拉力符号为正，压力符号为负。,1.3 轴力图,轴力图用平行于杆轴线的坐标表示截面位置，用垂直杆轴线的坐标表示截面上轴力大小，从而给出表示轴力沿截面位置关系的图例，即为轴力图。,例题2-1 变截面杆受力情况如图2-3所示，试求杆各段轴力并作轴力图。,解：（1）先求支反力 固定端只有水平反力，设为XA，由整个杆平衡条件XA+53+20，XA5+234kN,（2）求杆各段轴力该杆分成AB、BD和DE三段。在AB段内用任一横截面1-1将杆截开后，研究左段杆的平衡。,在截面上假设轴力N1为拉力（如图(b)）。 由平
3、衡条件,N1XA0，N14kN。结果为正，说明原假设拉力 是正确的。,在BC及CD段，横截面积虽有改变，但平衡方程式与截面大小无关，故只取一段。如在BD段用任一截面2-2将杆截开，研究左段杆的平衡。在截面上轴力N2仍设为拉力（如图2-3（c）。由平衡条件：N2+540，N21kN。 结果为负，说明实际方向与原假设的N2方向相反，即为压力。同理在DE段，用任一截面3-3将杆截开，研究右段杆的平衡，因为该杆段的外力较少，计算简例，假设轴力N3为拉力（如图2-3（d），由，得N32kN。,（3）作轴力图 取一直角坐标系，以与杆轴平行的坐标轴x表示截面位置，对齐原题图下方画出坐标轴。然后，选定比例尺，
4、纵坐标N表示各段轴力大小。根据各截面轴力的大小和正负号画出杆轴力图，如图2-3（e）。,2.2 轴向拉压杆的应力,2.1 横截面上的应力根据由实验中观察到的变形现象，作出关于变形分布规律的假设，然后据以推导出应力的计算公式。 变形实验如右图示：,杆受轴向拉力P后，杆发生变形，在杆的表面上可观察到如下的现象 ：,（1）周边线ab、cd等分别移到了 、 等位置，但仍保持为直线，且仍互相平行及垂直于杆轴线。 （2）纵向直线ef、gh等分别移到了 、 等位置，但仍保持与杆轴线平行。根据现象做出如下假设：杆在变形以前的横截面，在变形以后仍保持为平面且仍与杆轴线垂直。通常把这个假定叫做平面假设。,根据平面
5、假设可知： 当杆受拉时，所有的纵向纤维都均匀地伸长，即在杆横截面上各点处的变形都相同。因内力是伴随着变形一同产生的，故在杆横截面上的内力也一定是均匀分布的。,横截面上正应力计算 由图2-5b可见，作用在微面积dA上的微内力dN=dA 通过积分可求得作用在杆横截面上的内力,因在横截面上各点处的正应力相等，故 从而,上式即为轴向受拉杆横截面上正应力的计算公式。 又 NP ，故,单位是Pa，在工程单位制中常用的单位是kg/cm2和t/m2。,例题2-4：图2-6表示用两根钢丝绳起吊一扇平板闸门。若每根钢丝绳上所受的力为20kN，钢丝绳圆截面的直径d20mm，试求钢丝绳横截面上的应力。,解： 钢丝绳的
6、轴力 NP20kN2104N钢丝绳的横截面积,由公式 可求得钢丝绳横截面上的应力为：,2.2 斜截面上的应力,轴向受拉杆用一与其横截面mk成a角的斜截面mn（简称为a截面）将其分成为I、II两部分，并取部分I为脱离体,由静力学平衡方程 ,可求得a截面上的内力,在a截面上的应力为pa，其指向与杆轴线平行，且在整个a截面上是均匀分布的。 若以A a与A 分别表示截面mn与横截面mk的面积，则,由图2-7可知,将式（a）、（c）代入式（b），即可求得截面上的 应力a截面上的应力为pa：,为了研究方便，通常pa将分解为两个分量，即沿截面法线方向（或垂直于截面）的分量与沿截面切线方向（或平行于截面）的分
7、量。,方向规定： a角以自横截面的外向法线量起，到所求斜截面的外向法线为止，是反时针转时为正，是顺时针转时为负；正应力仍以拉应力为正，压应力为负。剪应力以它对所研究的脱离体内任一点（例如C）的力矩的转向是顺时针转时为正，是反对时针转时为负。 如图2-8示：,例题2-5 有一受轴向拉力P100kN的拉杆（图2-9a），其横截面面积A1000mm2。试分别计算a0、a90及a45各截面上的sa和ta的数值。,解： （a）,解： （a ） a 0的截面即杆的横截面（如图2-9中的截面1-1）。由式（2-3）和（2-4）可分别算得：,（b ） a 90的截面即杆的横截面（如图2-9中的截面2-2）。可
8、分别算得：,（c ） a 45的截面即杆的横截面（如图2-9中的截面3-3）。可分别算得：,将上面算得的正应力和剪应力分别表示在它们所作用的截面上，如图2-9b、c、d所示。,分析例题2-5的答案，可得出如下结论，即：1. 在轴向受拉（压）杆的横截面上，只有正应力；2. 在与杆轴线平行的纵截面上，既不存在正应力，也不存在剪应力；3. 在所有的斜截面上，即有正应力，又有剪应力；当 a在090之间变动时，最大正应力smax 产生在a 0的横截面上且等于s，即 ；最大剪应力产生在a 45，数值等于正应力的一半，即 。,2.3 轴向拉压杆的变形 胡克定律,3.1 轴向受拉（压）杆的变形1. 轴向受拉杆
9、的变形主要是轴向伸长，且杆的横向尺寸也有所缩小。2. 轴向受压杆，其主要变形为轴向缩短，同时其横向尺寸也有所增大。,一、受拉杆的轴向变形设有一原长为l的等直杆，受到一对轴向拉力P作用后，其长度增大为l1，则杆的轴向伸长为,在杆各部分都为均匀伸长的情况下 ，可求出每单位长度杆的轴向伸长，即轴向线应变为,受拉杆为正，故轴向受拉杆的 e为正。,二、受拉杆的横向变形设杆的原有横向尺寸为d，受力变形后缩小为d1（图2-10），故其横向缩小为,与其相应的横向线应变为,受拉杆的 d为负值，故e也为负值，它与轴向线应变有相反的正负号。,3.2 胡克定律胡克定律：当杆内应力不超过材料的比例极限（即正应力s与线应
10、变e成正比的最高限应力）时，应力与应变成正比，即,式中的比例常数E称为弹性模量，它表示材料在拉伸（压缩）时抵抗弹性变形的能力，其量纲为，在国际单位制中的常用单位是Pa。E的数值随材料而异，是通过试验测定的。,3.3 横向变形系数实验结果还表明，当受拉（压）杆内的应力不超过材料的比例极限时，横向线应变e与轴向线应变e 之比的绝对值为一常熟，即,式中u称为横向变形系数或泊松（S.D.Poisson）比，是一无量纲的量，其数值也随材料而异，需要通过试验测定。,例题2-6：用低碳钢试件作拉伸试验。当拉力达到20kN时，试件中间部分A、B两点间距离由50mm变为50.01mm（图2-11）。试求该试件的
11、相对伸长、在试件中产生的最大正应力和最大剪应力。已知低碳钢的E2.1105 MPa。,解： 在拉力P20kN时，试件上A、B两点间一段的绝对伸长为l=50.1500.01mm 相对伸长为,轴向拉伸时，最大正应力发生在试件的横截面上，将E和 e代入公式 ,可得,轴向拉伸时，最大剪应力发生在试件中a45的斜截面上，其值等于最大正应力的一半，即,表2-1 弹性模量与横向变形系数的约值,2.4 材料在拉伸和压缩时 的力学性质,4.1 概述 不同的材料有着不同的应力限度，这就需要研究各种材料本身固有的力学性质（或机械性质）。许多材料在拉伸试验时，能较充分地显示出它们的力学性质，故拉伸试验是一种被广泛采用
12、的基本试验。通常采用两类典型材料，以低碳钢为代表的塑性材料和以铸铁为代表的脆性材料。,4.2 钢材的拉伸试验根据国家颁布的测试规范，在做拉伸试验时，应将材料做成标准试件，使其几何形状和受力条件都能符合轴向拉伸的要求。图2-14表示一般金属材料试件的形式。,试验方法： 在试验以前，要在试件中部的等截面直杆部分用与试件轴线垂直的二细线（或圆环线）标出一工作段，并称其长度为标距l。为便于比较不同精细试件的工作段在拉断后的变形程度，通常将圆截面标准试件的标距l与横截面直径d的比例规定为l10d或l5d将矩形截面标准试件的标距l与横截面面积A的比例规定为 或 。做轴向拉伸试验时，首先应将试件两端牢牢地夹
13、在试验机的上、下夹头中（图2-15），然后再开动试验机给试件施加拉力，使其发生伸长变形，直至最后拉断。,通常是将试件拉伸图中的拉力P除以试件的原有截面面积A求得试件中的正应力 ，将伸长 l除以标距l求得试件的轴向线应变 ，然后根据求得的s值和e值画出材料的应力应变曲线 。图2-17所示为低碳钢的应力应变曲线：,从低碳钢的应力应变曲线可以看到，在整个拉伸试验过程中，与拉伸图中所示的I、II、III、IV四个阶段相对应，应力与应变之间的关系也大致可分为如下的四个阶段：（1）弹性阶段，即OB直线段。相应于点A的应力叫做材料的比例极限，而将相应于弹性阶段最高点B的应力叫做材料的弹性极限。（2）屈服阶段
14、。当荷载继续增加，使应力接近点C所示的应力值时，应变的增长将比应力的增长要快一些，且在过点C以后一直到点D时，几乎应力保持不变而应变却继续不断地迅速增加，这种现象称为材料的屈服（或流动）。与点C相对应的应力叫做材料的屈服极限（或流动极限），这一阶段称为屈服阶段（或流动阶段）。,（3）强化阶段。经过屈服阶段以后，钢材因塑性变形使其内部的晶体结构得到了调整，抵抗能力有所增强，故如图2-17中DE段曲线所示，应力又逐渐升高，这个阶段称为强化阶段。与曲线最高点E相对应的应力是材料在被拉断前所能承受的最大应力，叫做材料的强度极限（或极限强度）。（4）颈缩阶段。当应力超过强度极限 后，试件的变形开始集中在
15、某一小段内，使此小段的横截面面积显著地缩小，出现如图2-16c所示的颈缩现象。此时，施加于试件的拉力不但加不上去，反而会自动地降下来一些，一直到试件被拉断，如图2-17中EF段曲线所示。这一阶段称为颈缩阶段（或局部变形阶段）。,材料塑性的重要指标 ep，其值常用百分数表示，称为伸长率（或延伸率），并用符号 d表示，即,式中的l1是试件断裂后标矩段的总长度（试验完 后需测出的）， l是试件断裂后标矩段的总伸长。在工程实际中，通常将发生显著塑性变形（ d5）以后才断裂的材料称为塑性材料，而将在没有发生显著变形以前（ d 5）即断裂的材料称为脆性材料。衡量材料塑性的另一指标，称为面积收缩率，即,式中
16、的A1是试件断裂后在断口处的横截面面积。,例题2-9：用低碳钢圆截面试件（参看图2-14a）做拉伸试验。已知试件圆截面的直径d10mm，工作段的长度l100mm，当加拉力至P10kN时，量测得工作段的伸长l0.0607mm，低碳钢的比例极限（实验平均数值） sp 200MPa，试求此时钢试件横截面上的正应力 s，工作段的应变e以及低碳钢的弹性模量E各为多少？ 解： 首先算出钢试件的横截面面积,将其代入式（2-2-1）求得试件横截面上的正应力,再由式（2-3-1）算出试件工作段的应变,低碳钢的弹性模量,4.3 钢材的冷作硬化和钢筋的冷拉加工 卸载后又立即重新加载，则应力应变曲线将沿OK上升，且在
17、到达点K后转向原曲线KEF，最后到达点F。这表示，若使钢材先产生一定的塑性变形，则其比例极限屈服极限可得到提高 ，但其塑性变形将减少 ，通常把钢材的这种特性称为冷作硬化。,4.4 其他材料在拉伸时的力学性质 对没有明显屈服阶段的工程材料，一般规定以产生0.2的残余变形时所对应的应力值作为条件屈服极限。一般来说，脆性材料在受拉过程中没有屈服阶段，也不会发生颈缩现象。,4.5 材料在压缩时的力学性质 （1）钢材的压缩试验 钢材的压缩试件通常做成圆柱体，其高度为直径的1.52倍（图2-22）。 试验时将试件放在试验机的二压座间，施加轴向压力。象拉伸试验那样，若使 ，也可将压缩图整理为钢材在压缩时的应
18、力应变曲线。图2-23中的实线即为低碳钢在压缩时的应力应变曲线。,从这两条曲线可以看出：在屈服阶段以前，它们基本上是重合的，这说明低碳钢在压缩时的比例极限、屈服极限和弹性模量都与拉伸时相同。但在超过屈服极限以后，因低碳钢试件被压成鼓形（图2-22），受压面积越来越大，不可能产生断裂，也无法测定材料的压缩强度极限。故一般说来，钢材的力学性质主要是用拉伸试验来确定。,（2）铸铁的压缩试验 作为脆性材料典型代表的铸铁在受压时的应力应变曲线如图2-24a所示。试验证明，铸铁试件在压缩变形很小时即会突然破裂 。铸铁的抗压性能较好，它在受压时的强度极限比受拉时的要高45倍。由于破坏面间磨擦力的影响，铸铁试
19、件破坏时，是沿与试件轴线大约成3935的斜面上发生剪断破坏（图2-24b），这表明铸铁的抗剪能力比其抗压能力差，故只适合于用作受压的构件。,4.6 工程中常用材料的力学性质的比较 在工程实际中，通常是根据材料在破坏前变形的大小，将材料划分为塑性材料和脆性材料。对材料性质的进一步研究，发现即使是同一种材料，在不同外界因素（例如加载的速度，温度的高低、受力的状态等）的影响下，它既可表现为塑性性质，也可表现为脆性性质。,以低碳钢和铸铁为代表，对其力学性质的特点加以说明： （1）在拉伸时，塑性材料的强度极限远大于脆性材料的强度极限，故受拉构件一般应采用塑性材料。（2）脆性材料的抗压强度远大于其抗拉强度
20、，故脆性材料适合于用在抗压的地方。（3）塑性材料在破坏以前的变形较大，其抵抗冲击的能力比脆性材料要大得多，故对承受冲击或振动的构件一般要用塑性材料。（4）试验证明，塑性材料或脆性材料对应力集中现象即在变截面处发生应力急骤增大的现象（参见第七节）的反映也是大不相同的。,表2-2 部分常用材料在拉伸和压缩时的 主要力学性能指标（常温，静载下）,表2-2 部分常用材料在拉伸和压缩时的 主要力学性能指标（常温，静载下）,4.7 材料强度的许用应力和安全系数 通过材料的拉伸（压缩）试验，我们即可确定材料在位伸（压缩）下达到危险状态时应力的极限值（例如达到屈服极限时即会出现较大的塑性变形；达到强度极限时即
21、会发生断裂破坏），这种应力的极限值称为材料的极限应力。为保证构件能正常地工作和具有必要的安全储备，在设计时，必须使构件中的最大工作应力小于材料的许用应力。所谓许用应力是将极限应力除以安全系数而得到的，并用符号 s，,式中的K是安全系数，其数值恒大于1。,2.5 轴向受拉（压）压杆 的强度计算,5.1 受拉（压）杆的强度条件,把最大轴力Nmax所在的截面称为危险截面，其上的正应力称为杆的最大工作应力。 等截面受拉（压）杆的强度条件 :,针对不同的具体情况，应用等截面受拉（压）杆的强度条件可解决三种不同类型的强度计算问题，即（1）校核杆的强度（2）选择杆的截面（3）确定杆的容许荷载,例题2-11
22、有一根由三号钢制成的拉杆。已知三号钢的许用应力 s=170MPa，杆的横截面为直径d14mm的圆形。若杆受有轴向拉力P25kN，试校核此杆是否满足强度要求。 解： 已知：杆中的最大轴力NmaxP25kN杆的横截面积,三号钢的许用应力 s=170MPa，将它代入式（2-5-1）可得满足强度要求。,5.2 考虑自重时受拉（压）杆的计算 1. 强度计算和变形计算在实际工程中，尤其是土建和水利工程中，有许多建筑或其构件，例如混凝土柱、钢筋混凝土梁、以及挡土墙、桥墩、重力坝等等，它们的自重都非常大；另外有些长度比较大的构件例如起重机的吊缆、钻探机的钻杆和海洋深度探测器的悬索等，其自重虽不一定很大，但和它
23、们所承受的其它荷载比较，自重常占有很大的比例，故在计算这些构件的强度和变形时，不能再把它们的自重忽略不计 。,例题2-14：有一高度l24m的方形截面等直石柱（图2-29a），在其顶部作用有轴向荷载P1000kN。已知材料的容重g=23kN/m3、容许应力s= 1MPa，试设计此石柱所需的截面尺寸。,解： 在求解本例题时，应考虑到石柱是在轴向荷载P及其自重的共同作用下，柱的自重可看作是沿柱高均匀分布的荷载（图2-29a）。 （1）计算轴力 在距柱顶面的距离为x处，用一个假想横截面nn截出脱离体如图2-29b所示，则在nn截面上的轴力为,当x0时，W(x)0，即在柱的顶面上不受自重作用， 当xl
24、时， W(x) gAl,（2）设计横截面 等直柱的横截面应根据最大轴力Nmax来设计，即柱的截面大小应能满足下列强度条件：故可求得故方形截面的边长a应为取,2. 等强度杆 对于等直柱我们是按照式（2-5-2）选择其横截面的，只使柱的底端横截面上的最大正应力smax达到了容许应力 s，而其它横截面上的应力都要比 s小。杆上每一横截面上的应力都达到 s，具有这种特点的杆称为等强度杆。,杆顶端横截面的面积为A0，杆身材料的容重为g，许用应力 s，则,顶端作用有轴向荷截P的圆截面等强度杆，其顶端横截面面积为 A0，距离为x处的横截面面积 ，r(x)为圆截面的半径 ，其中,2.6 拉伸和压缩的超静定问题
25、,6.1 超静定问题的解法 根据静力学平衡方程即可解得要求的支座反力和轴力，这类问题称为静定问题。靠静力平衡方程的办法不能求得其解答，这类问题称为静力学不可定问题，也简称为静不定问题或超静定问题。,超静定问题中与多余约束相应的支座反力或内力称为多余未知力，而把多余未知力的数目称为超静定问题的超静定次数 。求解超静定问题的关键步骤是： （1）根据静力平衡条件列出所有独立的静力学平衡方程；（2）根据变形协调条件建立足够的补充方程。,例题2-17 如图2-36a所示的超静定杆系结构，是由三根等直杆1、2、3在点A铰接所构成。已知杆2、3的长度、横截面面积及材料的弹性模量均相同，即l2=l3，A2A3
26、，E2E3；杆1的长度为l1，横截面面积为A1，材料的弹性模量为E1。试求在点A悬挂重量为P的重物时各杆中的轴力。,解： （1）由静力平衡条件列出静力平衡方程，令N1、N2、N3分别代表杆1、2、3的轴向拉力，取节点A为脱离体（图2-36b），并列出其静力平衡方程，即由 可得 N2N3 （1）由 可得 （2）,（2）由变形协调条件建立补充方程：胡克定律有效的情况下，三杆各自的伸长为将式（b）代入式（a）即得到补充方程（3）,（3）解方程组（1）、（2）、（3）并加整理后可得且有点A的铅直位移为,二、装配应力 若组装的杆系结构是超静定结构，则任一杆所具有的长度误差都会在结构各杆中引起附加的应力，
27、这样的应力称为装配应力，是一种初应力。,三、变温应力 构件由于所受的外在约束，以及各部分间的相互约束，使其在温度改变时的膨胀和收缩不能自由地发生时，在构件中就会产生应力，即所谓变温应力。 当温度的变化较大时，在构件中可引起较大的变温应力，故计算和考虑变温应力的影响，从而采取适当的措施是工程实际中不可忽视的工作。,2.7 应力集中的概念,局部的应力骤增现象，称为应力集中。,可观察到：在截面mm上，靠近小孔边处网格变形最大，离孔边稍远处网格变形就迅速下降并趋于均匀。这充分表明在截面mm上的应力分布不再是均匀的，如图（2-42（c），在靠近小孔的边缘处应力骤然增大为 smax，而离孔边稍远处应力就迅速下降并趋于平均应力。,
