1、第一章 复数与复变函数,By 付小宁,1. 复数的概念,1 复数及代数运算,回忆,复数的一般形式？,Z=a+bi(a, bR),实部!,虚部!,一个复数由什么唯一确定？,a =Re( z ),b =Im( z ),复数不能比较大小的一种解释,（1）如果i0，那么ii0i，即-10。,（2）如果i0，那么-i0，(-i)20(-i) 即-10.,例如：i与0能不能比较大小？,因此，i与0不能比较大小。,A 复数的概念,Note Z1 =a1 + i b1, Z2 =a2 + i b2 Z1 = Z2 if a1= a2 & b1= b2,(A)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上； (B)在复平
2、面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上； (C)在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数； (D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数。,例1. 辨析：,1下列命题中的假命题是（ ）,D,2“a=0”是“复数a+bi (a , bR)是纯虚数”的（ ）。(A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件(C)充要条件 (D)不充分不必要条件,C,3“a=0”是“复数a+bi (a , bR)所对应的点在虚轴上”的（ ）。(A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件(C)充要条件 (D)不充分不必要条件,A,D,2. 复数的代数运算,3. 共轭复数,2 复数的几何表示,1. 复平面,（1）几何表示法,
3、复数的模(或绝对值),（2）向量表示法,关于两个复数的和与差的模，有以下不等式：,模的性质,三角不等式,复数的辐角,辐角的主值,（3）三角表示法,例3 求下列复数的模：(1)z1=-5i (2)z2=-3+4i (3)z3=5-5i,(2)满足|z|=5(zC)的z值有几个？,思考：,(1)满足|z|=5(zR)的z值有几个？,(4)z4=1+mi(mR) (5)z5=4a-3ai(a0),这些复数对应的点在复平面上构成怎样的图形？,例4(1) 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围。,表示复数的点所在象限的问题,复数的实部与虚
4、部所满足的不等式组的问题,转化,(几何问题),(代数问题),一种重要的数学思想：数形结合思想,例4(2) 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i，证明对一切m，此复数所对应的点不可能位于第四象限。,不等式解集为空集,所以复数所对应的点不可能位于第四象限.,例5 试用复数表示圆的方程:,其中，a,b,c,d是实常数。 解： 利用,另解：,例6、复数,图形为一角形，它是一个单连通无界区域，其边界为半射线：,图形,2. 复球面与无穷大,1. 南极、北极的定义,球面上的点, 除去北极 N 外, 与复平面内的点之间存在着一一对应的关系. 我们可以用球面上的点来表示复数.,我们规定: 复数中有一
5、个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应, 记作 . 因而球面上的北极 N 就是复数无穷大的几何表示.,球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应, 这样的球面称为复球面.,2. 复球面的定义,称 为扩充复平面，记为 。,无穷远点:,关于无穷远点，我们规定其实部、虚部、辐角无意义，模等于：,它和有限复数的基本运算为：,这些运算无意义：,题：,证明：若|z1|=|z2|=|z3|=1,z1+z2+z3=0, 则z1，z2，z3是内接于单位圆|z|=1的一个正三角形的三顶点。,证明：,由于,所以 z1，z2，z3,位于单位圆上。又,得,即,习题Ex1-19,同理可以得到,得证。,3 复数的乘幂与方
6、根,1) 乘积与商,两个复数乘积的模等于它们的模的乘积; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.,则有,几何意义,两个复数的商的模等于它们的模的商; 两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.,则有,2) 幂与根,(a) n次幂:,(b)棣莫佛公式,例6、求所有值：,解：由于,所以有,有四个根。,4 区域,（1）邻域,（2）内点,如果 G 内每一点都是它的内点,那末G 称为 开集.,(4) 区域,如果平面点集D满足以下两个条件, 则称它为一个区域.,(a) D是一个开集；,(b) D是连通的,即D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连结起来.,(3) 开集,(5) 边界点、边界,设D是复
7、平面内的一个区域,如果点P 不属于D, 但在P 的任意小的邻域内总有D中的点,这样的P点我们称为D的边界点.,(7)有界区域和无界区域,D的所有边界点组成D的边界.,区域,邻域,边界点,边界,以上基本概念的图示,(8) 简单曲线,(9) 光滑曲线,由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为按段光滑曲线.,任意一条简单闭曲线C将复平面唯一地分成三个互不相交的点集.,简单闭曲线的性质,(10) 单连通域与多连通域,区域的连通性:,设D是一个区域，在复平面C上，如果D内任何简单闭曲线所围成的内区域中每一点都属于D，则称D是单连通区域; 否则称D是多连通区域。,5 复变函数,1.复变函数的定义:,2.单
8、(多)值函数的定义:,3.定义集合和函数值集合:,4. 复变函数与自变量之间的关系:,例如,5.2 映射的概念,1. 引入:,2.映射的定义:,3. 两个特殊的映射:,且是全同图形.,根据复数的乘法公式可知,(如下页图),将第一图中两块阴影部分映射成第二图中同一个长方形.,以原点为焦点,开口相左的抛物线.(图中红色曲线),以原点为焦点,开口相右的抛物线.(图中蓝色曲线),4. 反函数的定义:,根据反函数的定义,当反函数为单值函数时,今后不再区别函数与映射.,解,5.3 、典型例题,例7,还是线段.,例7,解,例7,解,仍是扇形域.,例8,解,所以象的参数方程为,6.1 、函数的极限,1.函数极
9、限的定义:,注意:,6 复变函数的极限和连续性,2. 极限计算的定理,定理一,证,根据极限的定义,(1) 必要性.,(2) 充分性.,证毕,说明,定理二,与实变函数的极限运算法则类似.,例1,证 (一),根据定理一可知,证 (二),例2,证,根据定理一可知,6.2 、函数的连续性,1. 连续的定义:,定理三,例如,定理四,特殊的:,(1) 有理整函数(多项式),(2) 有理分式函数,在复平面内使分母不为零的点也是连续的.,例3,证,例4 讨论函数 的连续性. 解 设 为复平面上任意一点，则 当 时， 在 无定义，故 在 处不连续. 当 落在负实轴上时，由于 ，在 从实轴上方趋于 时， 趋于 ，在 从实轴下方趋于 时， 趋于 ，所以不连续.当 为其它情况时，由于 所以 连续.,6.3 、小结与思考,通过本课的学习, 熟悉复变函数的极限、连 续性的运算法则与性质.,注意:复变函数极限的定义与一元实变函数 极限的定义虽然在形式上相同, 但在实质上有很 大的差异, 它较之后者的要求苛刻得多.,复变量影射的三种形式,放映结束，按Esc退出.,
