1、第五章 线性系统的频域分析法,5-1 频率特性以如下R-C线性电路为例, 说明线性系统或环节的 频率特性定义和频率特性表达式的求法.,设输入电压, 由电工基础,中分析正弦电路的结论可知, 稳态时,输出,仍为同频率的正弦电压, 只是,幅值和初相位与,不同,可表示为,利用电工基础中分析正弦电路的矢量分析法可得:,上式表明,与,之比是输入正弦电压,的频率,的,函数, 用,表示, 则:,环节在正弦信号作用下, 稳态输出与输入之比对频率的 关系特性.,由此可得频率特性定义如下: 频率特性是指线性系统或,是关于,的复变函数, 可用指数形式也称极坐标,形式表示, 即, 式中, 对于上例的RC电路,是关于,的
2、实函数, 称,为RC电路的幅频特性, 表示,稳态输出的正弦信号的幅值与输入正弦信号的幅值之比随,而变化的特性., 对于上例的RC电路,是关于,的实函数, 称,为RC电路的,相频特性, 表示稳态输出的正弦信号的初相位与输入正弦 信号的初相位之差随频率而变化的特性.,而,这一表达式, 既包含了稳态输出的正弦信号的幅,值与输入正弦信号的幅值比, 也包含了稳态输出的正弦信 号与输入正弦信号的相位差, 故称其为幅相频率特性表达 式. 下面的问题是如何求取一般线性系统或环节的频率特 性表达式? 先考察上例的RC电路.,用算子阻抗法可得此RC电路的传递,函数为:,将上式与RC电路的频率特性表达式,相比较,
3、即可知, 对于RC电路,上述结论具有一般性, 可证明如下.,设某一线性系统或环节的如下图所示:,设,并设系统稳定, 为讨论问题方便起见, 设系统的所有极点,均为实数极点且各不相同, 即, 则有,上式中:,所以,由于,与,为共轭复数, 所以它们的模,相等而相角,相差一个负号, 即,从而,对上式分析可知, 输出的稳态分量,仍为与输入,同频率的正弦信号, 只幅值和初相位不同, 均为频率的函,数, 即:,的初相位,的初相位,结论: (1) 系统的频率特性,与传递函数和微分方程,一一对应, 它从频率的角度描述系统的特性. (2) 当系统或环节的输入信号是正弦信号时, 其稳态输出仍为与输入同频率的正弦信号
4、. (3) 此同频率的正弦输出信号的幅值与输入正弦信,号的幅值之比等于幅频特性,(4) 稳态同频率的正弦输出信号的初相角与输入正,弦信号的初相角之差为相频特性,(5) 由,在理论上可将频率特性的,概念推广到不稳定系统.,5-2 典型环节和开环系统频率特性的极坐标图,是个复变函数, 当,为某一确定值时,在复平面上相应地表示为一条确定的矢量, 由,在,确定的,值下的幅值和相角值确定. 当,取不同值时,矢量的终端在复平面上画出的轨迹, 叫极坐标图.,作为参变量, 在复平面上并不出现. 极坐标图也叫幅,相曲线图. 以下仅介绍极坐标曲线的概略画法, 即确定,当,取几个特殊值时幅值和相角值, 然后根据,矢
5、量随,值的变化而变化的趋势画出极坐标曲线的,大概形状. 从理论上,但由于,与,互为共轭复数, 其曲线在复平面上关于实轴成镜像对称,因此极坐标曲线往往只画,这一部分.,一 典型环节的极坐标图,1. 惯性环节,惯性环节的传递函数为,其频率特性表达式为,则幅频特性表达式为,相频特性表达式为,当,时,当,时,当,时,且由,和,的表达式可见, 随,的增加, 幅值,单调减小, 而相角,向负角度方向增加,据此,可画出惯性环节的概略极坐标曲线如下图所示:,曲线上箭头的方向表示随,的增加, 曲线上的点移,动的方向.,由前图可见, 随,的增大,即在低频范围内,输入信号通过惯性环节后幅值衰减少,在高频范围内,幅 幅
6、值衰减大, 因此把惯性环节称为低通滤波器. 当,从,时,从,即输出信号的初相位总,比输入信号的初相位滞后一个角度, 而最大的滞后相角,为, 故惯性环节也叫相位滞后环节.,2.积分环节,积分环节的传递函数为,其频率特性表达式为,则幅频特性表达式为,相频特性表达式为,其概略极坐标曲线如下图所示:,可见, 积分环节也是相位 滞后环节, 相位总是滞后,且低通特性好, 是,一个低通滤波器.,3.微分环节,微分环节的传递函数为,其频率特性表达式为,则幅频特性表达式为,相频特性表达式为,其概略极坐标曲线如下图所示:,可见,微分环节也叫相位超前环节,相位总是超前,且高通特性,好, 是一个高通滤波器.,4.二阶
7、振荡环节,二阶振荡环节的传递函数为,其频率特性表达式为,则幅频特性表达式为,相频特性表达式为,由上两式可见, 振荡环节幅相频率特性曲线的准确形状,与阻尼比,的值有关, 下面仅讨论,情况下的曲线,形状. 当,时,与,取值无关, 曲线总,是从(1,j0)点开始. 当,时,曲线与负虚轴相交, 交点处,的频率,交点离坐标原点的距离即,随,而变化,越大模越小, 反之越大, 当,时,曲线与负实轴相切于坐标原点. 随,的不同, 振荡环节幅相频率特性曲线有一簇.,其概略曲线见下图.,由上图可见, 当,小于某一个数值时,有一个大于,(在此,)的峰值,为峰值时的频率叫谐,振频率, 用,表示, 并定义,为谐振峰,值
8、, 下面推导,与,和,间的关系, 为此对,关于,求一次导, 并令其导函数为零, 有:,令上式分子等于零, 得:,由上式看出, 当,时, 说明,的峰值出现在,处,当,时,为虚数,说明,不存在,的最大值也出现在,处, 在上述情,况下, 随着,从,的数值单调减小. 但应,指出, 虽然当,时, 从极坐标图上反映不出,峰值, 但对于阶跃响应, 仍是振荡性质的, 具有超调量 但这种振荡特性具有良好的阻尼特性.,当,时, 小于欠阻尼,时的振荡频率, 将,代入,得:,因为, 所以,将,代入,可得:,由,及,可见, 当,时,此时振荡环节以无阻尼自然振荡角频率进行等幅振荡. 振荡环节的幅频曲线如下图:,减小到,时
9、的频率,称为截止频率,锐减, 将, 称为系统的,带宽, 对于二阶振荡环节,可由,下式求出:,二阶振荡环节是一个低通滤波器, 也是一个相位滞后环节,最大滞后相角为180度. 5. 延迟环节,延迟环节的传递函数为,其频率特性表达式为,则幅频特性表达式为,相频特性表达式为,其概略极坐标曲线如下图所示:,是,的线性函数, 当,时,因而延迟环节,也叫非最小相位环节.,二 开环系统的极坐标图,闭环系统的开环传递函数一般有若干个典型环节串 接而成, 故其传递函数一般可表为:,上式中, K叫开环传递系数或叫开环增益; v表示开环 系统串接理想积分环节的个数. 且,其频率特性表达式为:,将上式写成指数形式有:,
10、画开环幅相频率特性极坐标概略曲线时, 需精确知道以 下几个特殊点在复平面上的位置, 即:,1) 当,时,开环幅相曲线的起点. 当,时, 即0,型系统,起点在正实轴上, 它离,坐标原点的距离K, 就是0型系统的稳态位置误差系数.,当,时, 若, 为1型,系统, 起点为, 见下图,若, 为2型系统, 起点为, 见左图,当,时,开环幅相曲线的起点,位置依此类推.,2) 当,时,开环幅相曲线的终点.,因一般来说,所以,3) 开环幅相曲线与负实轴相交时的交点频率,及,计算方法有下面两种: a) 因曲线与负实轴相交时,由,两边取正切, 即:,可解得, 再代入,表达式, 求得,b) 因,是一复变函数, 可将
11、其分解为实部与虚部,由于开环幅相曲线与负实轴相交时, 必有,则可由上式解出, 再代入,表达式, 求得,开环幅相曲线与负实轴相交时交点值.下面举例说明开环幅相曲线的画法.,例1. 已知开环传递函数为:,画其幅相频率特性极坐标概略曲线.,解:,曲线与负实轴相交时, 有:,对上式两边取正切, 即:,利用正切的两角和公式展开上式:,代入,幅相频率特性极坐标概略曲线见下图:,例2. 已知开环传递函数为:,画其幅相概略曲线.,解:,曲线与负实轴相交时, 有:,对上式两边取正切, 即:,利用正切的两角和公式展开上式:,代入,幅相概略曲线见下图:,三 奈奎斯特稳定判据,设负反馈系统的开环传递函数,和,分别为m
12、次和n次s的代数多项式, 且n= m.,则系统的闭环传递函数,系统的特征多项式为:,令辅助方程,则,的零点,就是闭环传递函数的极点,的极点,就是开环传递函数的极点. 一般来说,是已知的,未知.,问题在于想通过已知的,来确定未知的,在s平面上的位置,至于,的具体数值倒不以关心. 这就是奈氏判据所要解决,的问题.,1. 奈氏判据的数学基础,奈氏判据的数学基础是复变函数中的幅角原理.1)假设在s平面上任选一点A, 则A点对应某一个具体的,S值,的映射关系, 在,的复平面上,可以确定相对应的像, 如下图中的B点.,使点S从A 点开始沿封闭,曲线,顺时针,方向移动且回 到A点.,3) 所选择的,只包围,
13、的某一个零点如, 且在,的路径上不通过任何一个,零极点. 则,从B点出发且回到B点,矢量的端点绕,复平面的坐标原点移动形成,封闭曲线.,通过复变函数,下面考察,的相角变化情况. 如s沿,变化时,相角变化的增量为, 则, 由左式可见, 当,只包围一个,零点时, 当s沿,曲线顺时针移动一圈时, 在,复平面上,矢量的端点也绕坐标原点顺时针转了一圈,见上右图.,如果,曲线包围了Z个,的零点, 则,曲线从B点开,始, 绕坐标原点顺时针转Z圈. 同理可得, 当,曲线包围,了一个,的极点, 则当s沿,曲线顺时针转一圈时,曲线绕坐标原点逆时针转一圈. 而当,曲线包围P个,的极点时, 当s沿,曲线顺时针转一圈时
14、,曲线绕坐标,原点逆时针转P圈. 而当,曲线包围P个,的极点和Z,个,的零点, 当s沿,曲线顺时针转一圈时,绕坐标,原点的圈数为: R=P-Z (1) (1)式即为幅角原理.,(1)式中, 当R0时, 表示,曲线绕坐标原点逆时针转过,的圈数.,当R0时, 表示,曲线绕坐标原点顺时针转过,的圈数.,奈氏判据 1) 开环传递函数,没有s=0的极点,即,将,封闭曲线扩大到虚轴和右半s平面上半径,为无穷大,的半圆, 如下图所示.,设(1)式中的P和Z为,在s右半,平面上的极点和零点个数, 则此,包围了整个右半s平面上的,的极点,和零点, 也即开环传递函数在s右半平 面上的极点, 及闭环传递函数在s右半
15、平,面上的极点, 而在,的路径上不通过任何,开环极点和闭环极点. 称此,为奈奎斯特路径.,又因为当s在半径,为无穷大的半圆圆周上取值时, 由于,而一般,的nm, 所以,当s在虚轴上取值时,则,曲线如下右图所示.,规定s沿,移动的方向为:,的半圆圆周,则,曲线的走向如上右图,箭头所示. 等式,将,曲线和,的幅相曲线挂上了钩, 如下图所示.,由图可见,平面,上的原点, 相当于,平面上的(-1,j0)点, 从而,曲线包围原点的圈,数R相当于,曲线在,平面上包围(-1,j0)点的圈数,曲线也叫奈奎斯特曲线, 从而奈氏判据可作如下表述:,R: 奈氏曲线绕临界点(-1,j0)转过的圈数, R0, 逆时针环
16、绕临界点(-1,j0); R0, 顺时针环绕临界点(-1,j0).,P:,在s右半平面上的极点个数.,Z: 闭环传递函数在s右半平面上的极点个数. 则: R=P-Z (2) 反馈控制系统稳定的充要条件是奈氏曲线逆时针包围(-1,j0) 临界点的圈数R等于开环传递函数在s右半平面上的极点个 数P. 当P=0时(即开环稳定), 则奈氏曲线不包围(-1,j0)点 闭环稳定; 当奈氏曲线通过(-1,j0)点, 闭环临界稳定;当奈 氏曲线包围(-1,j0)点, 则闭环不稳定.由(2)式, 当已知R和P时, 可得Z, 即Z=P-R. 所以当 闭环系统不稳定时,还可知在右半s平面上的闭环极点个数.,由于,曲
17、线当,与,关于实轴成镜,像对称, 所以一般只画,的曲线, 则(2)式可修正为:,2N=P-Z, N0逆时针环绕临界点(-1,j0); N0, 顺时针环,绕临界点(-1,j0). N为,当,时的曲线包围,(-1,j0)点的圈数.,曲线的走向是从,到,2) 开环传递函数,有s=0的极点,当开环传递函数有s=0的极点时,由于奈氏判据数学基础的幅角原理规定奈奎斯特路径上 不通过任何开环极点和闭环极点, 由于s=0是s平面的坐标 原点, 在所选择的奈氏路径上, 不符合所规定的条件, 此 时需将奈氏路径作如下修改.,在s平面上, 以原点为圆心, 作一半径,的半圆, 使,奈氏路径沿无限小半圆圆周绕过原点.,
18、如下左图所示.,但当,时, 奈氏路径仍可包围整个右,半s平面, 只将s=0的坐标原点排除在外. 位于无限小半圆圆周上的s可表示为:,则代入,且令, 有,由上式可见: s平面的a点,所以,s平面的b点,所以,s平面的c点,所以,当s在虚轴上取值时,就为,从而s平面上的奈氏,路径变换到,平面上的奈氏曲线就为:,a点,b点,c点,为说明问题清楚起见, 不仿令v=1, 则s平面上的无限小,半圆圆周变换到,平面上的奈氏曲线如下图所示:,可见奈氏曲线仍为封闭曲线, 从而奈氏判据可不作修改 进行应用. 例1. 设开环频率特性表达式为,已知, 试确定K的取值范围,使闭环稳定.,因开环为1型,解:,其奈氏曲线如
19、下图:,当曲线与负实轴相交时,当,即,时, 曲线不包围(-1,j0)点,请见下图:,以(-1,j0)点为矢量的起点, 以,曲线上的点为矢量的,终点, 当,时, 矢量的起,始位置如右图.,随,的增加,矢量的终点沿曲线顺时针移 动, 矢量环绕(-1,j0)点顺时针,方向转动, 当,增加到某一数值时,矢量,的相角达到负角度的最大值, 如右图.,再,增加, 则矢量以逆时针方向转动, 其负相角的绝对值变小,直至,时,矢量的终点和曲线与负实轴的交点重合,矢量的相角又回到0度; 当,继续增加, 矢量仍以逆时针方,向转动, 如图所示,矢量朝逆时针方向转动到其相角达到,正角度的最大值, 当,时, 矢量回到,时的
20、位置,其相角又回到0度; 可见,从0变化到,以(-1,j0)为起点的,矢量环绕(-1,j0)点的角度的增量为零, 故,曲线,未包围(-1,j0)点, N=0. 又因为由给定的开环频率特性表,达式, P=0, 所以Z=P-2N=0, 闭环稳定. 例2. 设开环频率特性表达式为,试确定K的取值范围, 使闭环稳定.,解:,舍去.,当,时, 曲线不包围(-1,j0),点, N=0, 又P=0, 所以Z=P-2N=0, 闭环稳定.,例3. 设开环频率特性表达式为,试确定K的取值范围, 使闭环稳定.,解:,在相同的K值下,则当,曲线如上图, 闭环不稳定. Z=P-2N=0-2(-1)=2.,当,曲线如下图
21、,由于Z=P-2N=0-2(-1)=2. 所以闭环不稳定.,当,时, 曲线,如下图,此时,即,曲线不,包围(-1,j0)点, N=0, 又P=0, 所以Z=P-2N=0, 闭环稳定. 此种系统叫条件稳定系统.,四 稳定裕度,奈氏判据不仅可由开环判断闭环是否稳定, 还可由 两个稳定裕度的指标定量描述闭环的稳定程度.1. 幅值裕度h,其几何意义见下图.,设开环幅相频率特性,曲线如图中所示,当开环传递函,数没有位于右半s平面上的极点,时,闭环稳定,且h越大, 系统的相对稳定性越,好, 当,时,闭环临界稳定,当,时,闭环不稳定. 假如系统的可变参数,为开环传递系数K, 则开环幅频特性可表为,式中,为,
22、中不含K的部分, 则,从而,设当K增大到K时,如, 则, 系统处于临界稳定,状态. 由此可得h的物理含意为: 当系统稳定时, K增 大到hK时, 系统变成临界稳定, 当系统不稳定时, K减 小到hK时, 系统变成临界稳定. h表示了K允许变化的 倍数.,2. 相角裕度,仅有幅值裕度h尚不能全面刻画系统的稳定程度, 这是因为, 如有两个系统的开环幅相频率特性曲线如下,图所示,则它们的幅值裕度相等. 若两条曲线与单位圆,圆周相交时的矢量的相角分别为,如右图中所示,比,更靠近,-180度, 当开环传递函数除K,以外的参数变化时,曲线比,更易穿越(-1,j0)临界点, 稳定程度低,因此需定义相角裕度,从另一个角度来定量,描述闭环的稳定程度. 相角裕度,的几何意义见下图.,上式中,是使,的幅值,为1的频率, 即,当开环,传递函数没有位于右半s平面上,的极点时, 即P=0, 则,闭环稳定,闭环临界稳定,闭环不稳定.,利用稳定裕度, 奈氏判据可表述为:当开环传递函数,没有位于右半s平面上的极点时, 即P=0, 则:,闭环稳定;,闭环临界稳定;,闭环不稳定.,
