1、第四节 最大流问题,最大流问题是一类应用极为广泛的问题，例如在交通运输网络中有人流、车流、货物流，供水网络中有水流，金融系统中有现金流，通讯系统中有信息流，等等。50年代福特（Ford）、富克逊（Fulkerson）建立的“网络流理论”，是网络应用的重要组成部分。一、最大流有关概念 如果我们把图5-41年做输油管道网， 为起点， 为终点， 为中转站，边上的数表示该管道的最大输油能力，问应该如何安排各管道输油量，才能使从 到 的总输油量最大？ 管道网络中每边的最大通过能力即容量是有限的，实际流量也不一定等于容量，上述问题就是要讨论如何充分利用装置的能力，以取得最好效果（流量最大），这类问题通常称
2、为最大流问题。,定义20 设有向连通图 的每条边上有非负数称 为边容量，仅有一个r入次为0的点 称为发点（源），一个出次为0的点 称为收点（汇），其余点为中间点，这样的网络G称为容量网络，常记做 。 对任一G中的边 有流量，称集合 为G的一个流。称满足下列条件的流 为可行流：（1）容量限制条件：对G中每条边， 有（2）平衡条件：对中间点 ，有（即中间点 的物资的输入量与输出量相等） 对收、发点 有（即从 点发出的物资总量等于 点输入量）W为网络流的总流量。,可行流总是存在的，例如 就是一个流量为0的可行流。所谓最大流问题就是在容量网络中，寻找流量最大的可行流。 一个流 ，当 则称流 对边 是饱
3、和的，否则称 对 不饱和。最大流问题实际是个线性规划问题，但是利用它与图的紧密关系，能更为直观简便地求解。 定义21 容量网络 为发、收点，若有边集 为E的子集，将G分为两个子图 其顶点集合分别记 分别属于 ，满足： 不连通； 为 的真子集，而 仍连通，则称 为G的割集，记 。,割集 中所有始点在S，终点在 的边的容量之和，称为 的割集容量，记为 。如图5-41中，边集和边集 都是G的割集，它们割集容量分别为9和11。容量网络G的割集有多个，其中割集容量最小者称为网络G的最小割集容量（简称最小割）。二、最大流-最小割 定理 由割集的定义不难看出，在容量网络中割集是由 到 的必经之路，无论拿掉哪
4、个割集， 到 便不再相通，所以任何一个可行流的流量不会超过任一割集的容量，也即网络的最大流与最小割容量（最小割）满足下面定理。,定理10 设f为网络G=(V,E,C)的任一可行流，流量为 是分离 的任一割集，则有 由此可知，若能找到一个可行流 一个割集 ，使得 的流量 ，则 一定是最大流，而 就是所有割集中容量最小的一个。下面证明最大流-最小割定理，定理的证明实际上就是给出了寻找最大流的方法。 定理11（最大流-最小割定理）任一网络G中，从 到 的最大流的流量等于分高 的最小割的容量。,证明 设 是一个最大流，流量为W，用下面的方法定义点集 令 若点 且 则令 若点 且 则令 在这种定义下，
5、一定不属于 ，若否， 则得到一条从 到 的链 ，规定 到 为链 的方向，链上与 方向一致的边叫前向边，与 方向相反的边称为后向边，即 如图5-42中 为前向边 为后向边。 根据 的定义， 中的前向边 上必有，后向边上必有,令 当 为前向边 当 为后向边取 ，显然 。 我们把 修改为 ：为 上前向边 为 后向边 其余 不难验证 仍为可行流（即满足容量限制条件与平衡条件），但是 的总流量等于 的流加 ，这与 为最大流矛盾，所以 不属于 。,令 ，则 。 于是得到一个割集 ，对割集中的边 显然有但流量W又满足所以最大流的流量等于最小割的容量，定理得到证明。 定义22 容量网络G，若 为网络中从 到
6、的一条链，给 定向为从 到 , 上的边凡与 同向称为前向边，凡与 反向称为后向边，其集合分别用和 表示，f是一个可行流，如果满足,则称 为从 到 的（关于f的）可增广链。 推论 可行流f是最大流的充要条件是不存在从 到 的（关于f的）可增广链。 可增广链的实际意义是：沿着这条链从 到 输送流，还有潜力可挖，只需按照定理证明中的调整方法，就可以把流量提高，调整后的流，在各点仍满足平衡条件及容量限制条件，即仍为可行流。这样就得到了一个寻求最大流的方法：从一个可行流开始，寻求关于这个可行流的可增广链，若存在，则可以经过调整，得到一个新的可行流，其流量比原来的可行流要大，重复这个过程，直到不存在关于该
7、流的可增广链时就得到了最大流。,三、求最大流的标号算法 设已有一个可行流f，标号的方法可分为两步：第1步是标号过程，通过标号来寻找可增广链；第2步是调整过程，沿可增广链调整f以增加流量。1.标号过程（1）给发点以标号（2）选择一个已标号的顶点 ，对于 的所有未标号的邻接点 按下列规则处理：a) 若边 ，且 则令 ，并给以标号 。b) 若边 ，且 时，令 并给以标号,（3）重复（2）直到收点 被标号或不再有顶点可标号时为止。 如若 得到标号，说明存在一条可增广链，转（第2步）调整过程。若 未获得标号，标号过程已无法进行时，说明f已是最大流。2. 调整过程若 是可增广链上的前向边（1）令 若 是可
8、增广链上的后向边 若 不存在可增广链上（2）去掉所有标号，回到第1步，对可行流 重新标号。,例5.17 图5-43表明一个网络及初始可行流，每条边上的有序数表示 ，求这个网络的最大流。 先给 标以 。 检查 的邻接点 发现点 满足且 令 ，给 以标号 。同理给 点以标号 。 检查 点的尚未标号的邻接点 发现 满足 且 令 给 以标号 。,检查与 点邻接的未标号点有 ，发现 点满足 且 ，令则给 点以标号 。点未标号，与 邻接，边 且所以令 给 以标号 。类似前面的步骤，可由 得到标号 。 由于 已得到标号，说明存在增广链，所以标号过程结束，见图5-44。,转入调整过程，令 为调整量，从 点开始
9、，由逆增广链方向按标号 找到点，令 。 再由 点标号 找到前一个点 ，并令 。按 点标号找到点 。 由于标号为 为反向边，令 由 点的标号在找到 ，令 。 由 点找到 ，令 调整过程结束，调整中的可增广链见图5-44，调整后的可行流见图5-45。,重新开始标号过程，寻找可增广链，当标到 点为 以后，与 点邻接的点都不满足标号条件，所以标号无法再继续，而 点并为得到标号，如图5-45。 这时 ，即为最大流的流量，算法结束。 用标号法在得到最大流的同时，可得到一个最小割。即图5-45中虚线所示。 标号点集合为s，即 未标号点集合为 此时割集,割集容量 ，与最大流的流量相等。 由此也可以体会到最小割
10、的意义，网络从发点到收点的各通路中，由容量决定其通过能力，最小割则是这此路中的咽喉部分，或者叫瓶口，其容易最小，它决定了整个网络 的最大通过能力。要提高整个网络的运输能力，必须首先改造这个咽喉部份的通过能力。求最大流的标号算法还可用于解决多发点多收点网络的最大刘问题，设容量网络G有若干发 ；若干个收点 可以添加两个新点 ，用容量为 的有向边分别连结 得到新的网络 ， 为只有一个发点 一个收点 的网络，求解 的最大流问题即可得到G的解。,课堂练习1 求下面网络最大流，边上数为,vs,v4,v1,v5,v2,vt,v3,(4,3),(10,4),(3,2),(1,1),(4,2),(3,2),(5
11、,3),(4,3),(3,2),(7,6),(2,2),(8,3),最大匹配问题：考虑工作分配问题。有n个工人，m件工作，每个工人能力不同，各能胜任其中某几项工作。假设每件工作只需要一人做，每人只做一件工作，怎样分配才能尽量的工作有人做，更多的人有工作？ 这个问题可以用图的语言描述，如图5-47。其中x1,x2,xn表示工人,y1,y2,ym表示工作，边（xi,yj)表示第i个人能胜任第j项工作，这样就得到了一个二部图G，用点集X表示x1,x2,xn，点集Y表示y1,y2,ym ,二部图G=(X,Y,E)。上述的工作分配问题就是要在图G中找一个边集E的子集，使得集中任何两条边没有公共端点，最好
12、的方案就是要使此边集的边数尽可能多，这就是匹配问题。,定义23 二部图 G=(X,Y,E) ，M是边集E的子集，若M中的任意两条边都没有公共端点，则称M为图G的一个匹配（也称对集）。 M中任意一条边的端点v称为（关于M的）饱和点，G中其他定点称为非饱和点。 若不存在另一条匹配 ，则称M为最大匹配。 设M是G的一个匹配，P是G的一条道路，若P中的边是M与E(G)-M中的边交替出现的，则称P为M交错路；若起点和终点都是M非饱和点，则称P为M可扩路。如何寻找二部图中的最大匹配问题？最早是由匈牙利数学家Egervary给出的,称为匈牙利算法： 基本思想：寻找非饱和点-寻找可扩路-作对称差,求二部图G中的最大匹配？,X1,Y1,Y2,Y3,Y4,X2,X3,X4,最大匹配就是：,X1,Y1,Y2,Y3,Y4,X2,X3,X4,
