1、1 第 1 课 二次函数在闭区间上的最值 一元二次函数的区 间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。 一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况 . 设 )0()( 2 acbxaxxf ，求 )(xf 在 nmx ， 上的最大值与最小值。 分析：将 )(xf 配方，得顶点为 a bacab 4422， 、对称轴为abx 2当 0a 时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在 m， n上 )(xf 的最值： （ 1）当 nmab ， 2时， )(xf 的最小值是abacabf4422 ， )(xf 的最大值是 )()( nfmf 、 中的较大者。 （ 2）当 ),
2、(2 mab 时 ， )(xf 在 nm， 上是增函数则 )(xf 的最小值是 )(mf ，最大值是 )(nf （ 3）当 ),(2 nab时 ， )(xf 在 nm， 上是减函数则 )(xf 的最大值是 )(mf ，最小值是 )(nf 当 0a 时，可类比得结论。 （一）、正向型 是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形： （ 1）轴定，区 间定； （ 2）轴定，区间变； （ 3）轴变，区间定； （ 4）轴变，区间变。 1. 轴定区间定 二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定
3、二次函数在定区间上的最值”。 例 1. 函数 242 xxy 在区间 0， 3上的最大值是 _，最小值是 _。 练习 . 已知 xx 32 2 ，求函数 1)( 2 xxxf 的最值 。 2、轴定区间变 二次函数 是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的 ，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。 例 2. 如果函数 f x x( ) ( ) 1 12定义在区间 t t， 1 上，求 f x( ) 的最小值。 典型例题 基础过关 1 例 3. 已知 32)( 2 xxxf ，当 1, ttx ， Rt 时，求 )(xf 的最大值 观察前两题的解法，为什么最值有时候分两种情况讨论，而有时候
4、又分三种情况讨论呢？这些问题其实仔细思考就很容易解决。不难观察：二次函数在闭区间上的的最值总是在闭区间的端点或二次函数的顶点取到。第一个例题中，这个二次函数是开口向上的 ，在闭区间上，它的最小值在区间的两个端点或二次函数的顶点都有可能取到，有三种可能，所以分三种情况讨论；而它的最大值不可能是二次函数的顶点，只可能是闭区间的两个端 点，哪个端点距离对称轴远就在哪个端点取到，当然 也就根据区间中点与左右端点的远近分两种情况讨论。根据这个理解，不难解释第二个例题为什么这样讨论。 对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下： 当 a0 时)(212)()(212)()(21m a x如图如图，nmabn
5、fnmabmfxf)(2)()(2)2()(2)()(543m i n如图如图如图，mabmfnabmabfnabnfxf当 0a 时)(2)()(2)2()(2)()(876m a x如图如图如图，mabmfnabmabfnabnfxff xf m bam nf n bam n( )( ) ( )( )( ) ( )( )m i n ，如图如图2122129103、 轴变区间定 二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。 1 例 4. 已知 x2 1 ，且 a 2 0 ，求函数 f x x ax( ) 2 3的最值。
6、 来源 :Z.xx.k.Com 来源 :Z 11 xxy 变式训练 1： 求下列函数的定义域： （ 1）02 )1(12)2lg ( xxxxy ; (2) 02 )45()34lg ( xxxy ; 2. 设函数 )(xfy 的定义域为 0， 1，求下列函数的定义域 （ 1） )3( xfy ; （ 2） )1(xfy （ 3） )31()31( xfxfy（ 4） )()( axfaxfy 典型例题 1 变式训练 2： 若函数 )(xf 的定义域是 0， 1，则 )()( axfaxf （ 0 a21）的定义域是 （ ） A. 1, a a C. 1, a a 0， 1 例 3. 求下 列
7、函数的值域： （ 1） ;122 xx xxy(2) xxy 21 (3)1e 1e xxy 来源 :学 #科 #网 来源 :学科网 变式训练 3： 求下列函数的值域： （ 1）521 x xy(2) 21 xxy 例 4 若函数 axxxf 221)(的定义域和值域均为 1， b （ b 1），求 a 、 b 的值 变式训练 4： 已知函数 624)( 2 aaxxxf （ 1）求函数的值域 为 0， +) 时的 a 的值； （ 2）若函数的值均为非负值，求函数 32)( aaaf 的值域 1 第 3 课 指数 、对数和幂 函数 1 指数： (1) 规定： a0 (a0)； a-p ； (
8、0,m n mna a a m . (2) 运算性质： raaaa srsr ,0( (a0, r、 s R) raaa srsr ,0()( (a0, r、 s R) rbababa rrr ,0,0()( 2指数函数： 定义：函数 称为指数函数， 性质： 1) 函数的定义域为 ； 2) 函数的值域为 ； 3）恒过定点 ， 4) 当 _时函数为减函数， 当 _时为增函数 . 函数图象： 3对数： (1) 定义：如果 Nab )1,0( aa 且 ，那么 ，其中 a 称为对数的底， N称为真数 . (2) 基本性质： 01log a ； 1log aa ； Na Na log ma bnlog
9、= 换底公式 loga N 4对数函数： 定义：函数 称为对数函数， 性质 1) 函数的定义域为 ； 2) 函数的值域为 ； 3）恒过定点 ， 4) 当 _时，函数为减函数，当 _时为增函数； 5) 函数 xyalog与函数 )1,0( aaay x 且 互为反函数 . 函数图象： 5幂函数 ： 定义： 我们把形如 的函数称为幂函数 ，其中 是自变量， 是常数； 性质： （ 1）幂函数的图象都过点 ； （ 2）任何幂函数都不过 象限； （ 3）当 0 时，幂函数在 0, ) 上 ；当 0 时，幂函数在 (0, ) 上 ； （ 4）当 2,2 时，幂函数是 ；当 11,1, 3,3 时，幂函数是
10、 函数图象： 基础过关 1 1.指数函数 例 1. 已知 a=91,b=9. 求：（ 1） ;3 153 83 327 aaaa （ 2）111)( abba . 变式训练 1： 化简下列各式（其中各字母均为正数 ） : （ 1） ;)(6 5312121132bababa （ 2） .)4()3(65 21332121231 bababa 例 2. 函数 f(x)=x2-bx+c满足 f(1+x)=f(1-x)且 f(0)=3,则 f(bx)与 f(cx)的大小关系是 （ ） A.f(bx) f(cx) B.f(bx) f(cx) C.f(bx) f(cx) D.大小关系随 x的不同而不同
11、变式训练 2： 已知实数 a、 b满足等式 11( ) ( )23ab，下列五个关系式 中 ， 不可能成立的关系式有（ ）个 0 b a; a b 0; 0 a b; b a 0; a=b. 例 3. （ 1） f(x)=3 452 xx ; （ 2） g(x)=- 11( ) 4 ( ) 542xx. 变式训练 3： 求下列函数的单调递增区间： （ 1） y=( 226)21 xx; (2)y=2 62 xx . 1 例 4 设 a 0,f(x)=eexxaa 是 R上的偶函数 . （ 1）求 a的值； （ 2）求证： f(x)在（ 0， +）上是增函数 . 变式训练 4： 已知定义在 R
12、上的奇函数 f(x)有最小正周期 2即 ( 2 ) ( )f x f x ，且当 x (0,1)时，f(x)= 241xx. （ 1）求 f（ x)在 -1， 1上的解析式； （ 2）证明： f(x)在（ 0， 1）上是减函数 . 来源 :学 _科 _网 Z_X_X_K 2.对数函数 例 1 计算：（ 1）23lo g ( 2 3 ) （ 2） 2(lg 2 )2+lg 2 lg5+ 2( l g 2 ) l g 2 1; 变式训练 1： 化简求值 . 来源 :学 #科 #网 （ 1） (lg2)2+lg2 lg50+lg25; （ 2） (log32+log92) (log43+log83)
13、. 例 2 比较下列各组数的大小 . 1） log332与 log556; 2） log1.10.7与 log1.20.7; 来源 :Z#xx#k.Com 1 变式训练 2： 已知 0 a 1,b 1,ab 1，则 logabbb ba 1log,log,1的大小关系是 （ ） A.logabbb ba 1loglog1 B.bbb baa 1log1loglog C.bbb aba 1log1loglog D.bbb aab log1log1log 例 3已知函数 f(x)=logax(a 0,a 1)，如果对于任意 x 3， +）都有 |f(x)| 1成立，试求 a的取值范围 . 变式训练
14、 3： 已知函数 f（ x） =log2(x2-ax-a)在区间（ - , 1- 3 上是单调递减函数 .求实数 a的取值范围 . 例 4 已知函数131( ) lo g 1 xfx x （ 1）求 )(xf 的定义域； （ 2）判断 )(xf 的奇偶性 并予以证明 ； （ 3）若 ( ) 0fx 求实数 x 的取值范围 变式训练 4 已知 ).1,0(11log)( aaxxxf a（ 1）求 f(x)的定义域 ;（ 2）判断 f(x)的奇偶性并予以证明 ;（ 3）求使 f(x) 0的 x 取值范围 . 3.幂函数 例 1.写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性： （ 1） 22y x x
15、 （ 2） 1122y x x （ 3） 1124( ) 3 ( )f x x x 1 变式训练 1： 讨论下列函数的定义域、值域，奇偶性与单调性： （ 1） 43yx （ 2） 54yx （ 3） 12yx 例 2比较大小：（ 1） 11221.5 ,1.7 （ 2） 33( 1 .2 ) , ( 1 .2 5 ) （ 3） 1125 . 2 5 , 5 . 2 6 , 5 . 2 6 （ 4） 3 0 .530 .5 , 3 , lo g 0 .5变式训练 2： 将下列各组数用小于号从小到大排列： （ 1） 2 2 23 3 32 . 5 , ( 1 . 4 ) , ( 3 ) （ 2） 333 8420 . 1 6 , 0 . 5 , 6 . 2 5 （ 3） 1133 232 5 5( ) , ( ) , l o g3 3 3 来源 :学 ,科 ,网 Z,X,X,K 例 3已知幂函数 2 23mmyx （ mZ ）的图象与 x 轴、 y 轴都无交点，且关于原点对称，求 m 的值 分析：幂函数图象与 x 轴、 y 轴都无交点，则指数小于或等于零；图象关于原点 对称，则函数为奇函数结合 mZ ，便可逐步确定 m 的值 变式训练 3： 证明幂函数 12()f x x 在 (0, ) 上是减 函数
