1、双曲线的定义及其标准方程,1、椭圆是如何定义的?,2a与2c的大小关 系,2.椭圆的标准方程？,2a ( 2a|F1F2|0),平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数,的点的轨迹,思考,若把椭圆定义中的与两定点的“距离的和”改成“距离的差”,那么点的轨迹会发生什么变化？能否形成曲线？若能，它的方程又怎样呢 ?,1取一条拉链； 2如图把它固定在板上的两点F1、F2； 3 拉动拉链（M）。 思考：拉链运动的轨迹是什么？,数学实验,yanshi,如图(A)，,|MF1|-|MF2|=2a,如图(B)，,|MF2|-|MF1|=2a,上面 两支合起来叫做双曲线,由可得：,| |MF1|-|MF2|
2、 | = 2a （差的绝对值）,新宝马总部（墨尼黑）,双曲线的定义:,平面内与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a 点的轨迹叫做双曲线。,F1,F2 -焦点,|MF1| - |MF2| = 2a,|F1F2| -焦距=2c,.,F2,.,F1,M,o,F1,F2,M,2、| | | | =2a,1、| | | | =2a,(2a | | ),(2a | | ),3、若常数2a = | |,4、若常数2a| |,F1,F2,轨迹不存在,x,o,设M（x , y）,双曲线的焦 距为2c（c0）,F1(-c,0),F2(c,0) 常数为2a,F1,F2,M,以F1,F2所在的直线为X轴，线
3、段F1F2的中点o为原点建立直角 坐标系,1. 建系.,2.设点,3.列式,|MF1| - |MF2|= 2a,4.化简.,F1,F2,双曲线的标准方程,标准方程,对换x,y可得：,其中：c2=a2+b2,焦点在y轴上,焦点在x轴上,正定轴,请判断下列方程哪些表示双曲线？并说出焦点位置和的a,b,c.,椭圆与双曲线比较,焦点在x轴上,焦点在y轴上,c2=a2+b2ca0 a0 b0,|MF1|-|MF2|=2a,定义：,a,b,c关系,方程,|MF1|+|MF2|=2a,椭圆,双曲线,a2=b2+c2 ac0 ab0,大定轴,正定轴,双曲线及标准方程,例1：已知两定点F1(-5,0),F2(5
4、,0)求到这两点的距离之差的绝对值为8的点的轨迹方程。,解：810，由定义，所求的轨迹是焦点在x轴双曲线，,C=5,a=4 , b2=c2-a2=52-42=32,所以所求方程为：,双曲线及标准方程,例1：已知两定点F1(-5,0),F2(5,0)求到这两点的距离之差的绝对值为8的点的轨迹方程。,变式一：若两定点改为为F1(0,-5),F2(0,5) ，则轨迹如何？,变式二：若两定点改为为|F1F2|=10，则轨迹方程如何？,练习1：求适合下列条件的双曲线标准方程,(1)a=4,b=5,焦点在y轴上。,(2)a=3,c=5,课堂练习,双曲线及标准方程,课堂练习,(3)与双曲线 有相同焦距，双曲
5、线上一点P到F1、F2的距离之差的绝对值为4。,(4)与双曲线 的焦点相同，b=3.,练习2：已知双曲线的焦点在 y 轴上，并且双曲线上两点P1、P2的坐标分别为（3 , - 4 ），（ ，5），求双曲线的标准方程,分析：因为双曲线的焦点在轴上，所以可设所求的双 曲线的标准方程为因为点P1、P2在双曲线上，所以把这两点的坐标代入 方程，用待定系数法求解。,例2：k 1,则关于x、y的方程(1- k )x2+y2=k2- 1 所表示的曲线是 （ ),解：原方程化为：,A、焦点在x轴上的椭圆,C、焦点在y轴上的椭圆,B、焦点在y轴上的双曲线,D、焦点在x轴上的双曲线, k1, k21 0 1+k
6、0,方程的曲线为焦点在y轴上的双曲线。,故 选（B）,方程 表示（ ）A椭圆 B圆 C双曲线 D椭圆或圆或双曲线,D,变式一：,形如 的方程所表示的曲线形状由 m、n确定。,若m=n0，方程表示圆；,若m0，n0且 ，方程表示椭圆；,若mn0，方程表示双曲线。,变式二：,( 为定点， 为常数),小结,练习1、已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)双曲线上一点到焦点的距离差的绝对值等于6，则(1) a=_ , c =_ , b =_,(2) 双曲线的标准方程为_,(3)双曲线上一点， |PF1|=10,则|PF2|=_,3,5,4,4或16,6,课堂练习,2已知两点F1(-5，0)、F2(5，0)，动点P到F1和P到F2的距离的差等于8，则点P的轨迹是什么？,已知两点F1(-5，0)、F2(5，0)，动点P到F1、F2距离的差的绝对值等于10，求点P的轨迹 如果动点P到F1、F2距离的差的绝对值等于12，点P的轨迹会出现什么情形？,课堂练习,4、若椭圆 与双曲线的焦点相同,则 a =,3,课堂练习,3. 双曲线 的焦点坐标是 .,5 已知 表示双曲线，求k的取值范围。,课堂练习,
