1、差分方程模型,主讲教师：肖剑 单位：重庆大学数学与统计学院 联系方式：13340247142 ,个人住房抵押贷款问题,1998年12月，中国人民银行公布了新的存、贷款利率水平 ,其中贷款利率如下表所列:, 中国人民银行再次调整存、贷款利率,贷款期限 半年 1年 3年 5年 5年以上 利率/ 6.12 6.39 6.66 7.20 7.56,(当贷款期处于表中所列相邻年限之间时，利率为对应相邻两数中较大者.),上海商业银行对个人住房商业性贷款利率作出相应调整，公布新的利率表和还款表, 上海个人住房商业性贷款利率再次降低,个人住房商业抵押贷款年利率表 贷款期限 1年 2年 3年 4年 5年 利率（
2、） 6.120 6.255 6.390 6.525 6.660,个人住房商业抵押贷款(万元)还款表贷款期 年 1 2 3 4 5 月 12 24 36 48 60 月还款额 到期一次还清 444.356 305.9896 237.2649 196.4118 本息总额 10612.0 10664.54 11015.63 11388.71 11784.71,提出问题,个人住房商业抵押贷款年利率表和个人住房商业抵押贷款还款表是如何根据中央银行的贷款利率水平制定的？,分析一下年利率和月还款额表：,贷款期限 1年 2年 3年 4年 5年 利率（） 6.120 6.255 6.390 6.525 6.66
3、0 贷款期 年 1 2 3 4 5 月 12 24 36 48 60 月还款额 到期一次还清 444.356 305.9896 237.2649 196.4118 本息总额 10612.0 10664.54 11015.63 11388.71 11784.71,建立模型与求解,则由Ak到Ak+1，应有Ak+1-AkrAk-m 即得模型,Ak+1(r1)Ak -m (k=0,1,),其中r为利息，当然应该用月利率r0.06255/120.0052125,设贷款后第k个月时欠款余数为Ak ,月还款额m元,不难导出表达式,AkA0(1+ r)k(1+ r)k1m/r,A010000, k24 ,A2
4、4= 0 r0.0052125,M A0(1+ r)k r/(1+ r)k1,= 52.125(1.0052125)24 /(1.0052125 )241,考虑二年期情况：,使用Matlab,命令,结果,52.125*1.005212524/(1.0012524-1),444.356, 年利率如何得到,比较央行公布贷款利率与上海住房商业贷款， 有数字相同：6.12、6.66，但年限不同,中间年限的利率如何得出 (建议作图，从得到线性插值),任务1：制定住房商业性贷款利率表和还款表, 还款周期越短越好吗,如果逐年还款，对二年期贷款，用公式AkA0(1+ r)k(1+ r)k1m/r (r应为年利
5、率)算得年还款额为5473.867元,本息总 额10947.63元，比逐月还款本息总额10664.54元多,任务2：讨论还款周期问题,任务1的数据和要求若已知如下贷款年限的贷款利率()1年：4.248 3年：4.4645年：4.644 8年：4.96810年：5.13 20年：6.210试制作一张为期120年的贷款利率表和还款表,其它金融或经济问题, 养老保险,某保险公司的一份材料指出：在每月交费200元至60岁开始领取养老金的约定下，男子若25岁起投保，届时月养老金2282元；若35岁起投保，月养老金1056元；若45岁起投保，月养老金420元., 问题,交保险费所得利率如何？(假定投保人所
6、得完全由其交款及利息产生),(注意：显然结果依于投 保人寿命),设投保人在投保后第k个月所交保险费及利息的累计总额Fk为，那么易得到数学模型为分段表示的差分方程,Fk+1=Fk(1+ r) p, k = 0,1, N Fk+1=Fk(1+ r) q, k =N+1, M,其中p、q分别为60岁前所交月保险费和60岁起所领月养老金的数目(元)，r是所交保险金获得的利率，N, M分别是自投保起至停交保险费和至停领养老金的时间(月).显然M依赖于投保人的寿命,取M= 75(岁) （统计平均值）,以25岁起投保为例,则有P = 200, q = 2282; N = 420, M = 600,如前可推出
7、差分方程的解,Fk = F0 (1+ r )k (1+ r )k1 p/r, k = 0, 1, N Fk = FN (1+ r )k N (1+ r )k1 q/r, k =N+1, M,在前一式取k=N，后一式取k=M，且注意 F0 = FM = 0，消去FN ，,(1+ r )M (1+ q/p ) (1+ r )MN + q/p 0,记 x 1+ r， 代入数据x60012.41x18011.410,( Newton法,方程求根),使用Matlab,命令,结果,fzero(inline(x600-12.41x180+11.41), 1.01),1.00485,x1.00485, r0.
8、00485,交保险费所得月利率为 0.00485年利率为 0.0582,则被称为方程对应的 齐次线性差分方程 。,若所有的 ai(t)均为与t无关的常数，则称其为 常系数差分方程，即n阶常系数线性差分方程可分成,（4.15）,的形式，其对应的齐次方程为,（4.16）,也是方程（4.16）的解，其 中c1、c2为任意常数，这说明， 齐次方程的解构成一个 线性空间（解空间）。 此规律对于（4.15）也成立。,方程（4.15）可用如下的代数方法求其通解： （步一）先求解对应的特征方程,（4.17）,(C1,Cn为任意常数),，,为任意常数，i=1,2k。,例4.13 求解两阶差分方程,从表中可以看出
9、，该商品在 前5年相同季节里的销售量呈增长趋势，而在同一年中销售量先增后减，第一季度的销售量最小而第三季度的销售量最大。预测该商品以后的销售情况，一种办法是应 用最小二乘法建立经验模型。即根据本例中数据的特征，可以按季度建立四个经验公式，分别用来预测以后各年同一季度的销售量。例如，如认为第一季度的销售量大体按线性增长，可设销售量,由,求得 a=1.3， b=9.5。 根据 预测第六年起第一季度的销售量 为 =17.3， =18.6， 如认为销售量并非逐年等量增长而是按前一年或前几年同期销售量的一定比例增长的，则可建立相应的差分方程模型。仍以第一季度为例，为简便起见不再引入上标，以表示 第t年第
10、一节季度的销售量，建立形式如下的差分方程：,最小，解线性方程组：,即求解,得a0=-8，a1=-1，a2=3。即所求二阶差分方程为,虽然这一差分方程恰好使所有统计数据吻合，但这只是一个巧合。根据这一方程，可迭代求出以后各年第一季度销售量的预测值 y6=21，y7=19，等。 上述为预测各年第一季度销售量而建立的二阶差分方程，虽然其系数与前 5年第一季度的统计数据完全吻合，但用于预测时预测值与事实不符。凭直觉，第六年估计值明显偏高，第七年销售量预测值甚至小于第六年。稍作分析，不难看出，如分别对每一季度建立一差分方程，则根据统计数据拟合出的系数可能会相差甚大，但对同一种商品，这种 差异 应当是微小的，故应根据统计数据建立一个共用于各个季度的差分方程。,为此，将季度编号 为t=1,2,20，令,最小,求解线性方程组,即求解三元一次方程组,解得a0=0.6937,a1=0.8737,a2=0.1941,故求得二阶差分方程,（t21）,根据此式迭代，可求得第六年和第七年第一季度销售量的预测值为y21=17.58，y25=19.16还是较为可信的。,
