现代控制理论(第二章).ppt

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资源描述

1、2.1 线性定常齐次状态方程的解(自由解),2.2 矩阵指数函数状态转移矩阵,2.3 线性定常系统非齐次方程的解,2.4 * 线性时变系统的解,2.5 * 离散时间系统状态方程的解,2.6* 连续时间状态空间表达式的离散化,第二章 控制系统状态空间表达式的解,2.1 线性定常齐次状态方程的解(自由解),所谓系统的自由解,是指系统输入为零时,由初始状态引起的自由 运动。此时,状态方程为齐次微分方程:,(1),若初始时刻 时的状态给定为 则式(1)有唯一确定解:,(2),若初始时刻从 开始,即 则其解为:,(3),证明: 和标量微分方程求解类似,先假设式(1)的解 为 的矢量幂级数形式,(4),既

2、然式(4)是式(1)的解,则式(5)对任意时刻 都成立,故 的同次 幂项的系数应相等,有:,在式(4)中,令 ,可得:,将以上结果代入式(4),故得:,(6),等式右边括号内的展开式是 矩阵,它是一个矩阵指数函数,记为 ,即,(7),于是式(6)可表示为:,再用 代替 即在代替 的情况下,同样可以证明式2) 的正确性。,2.2 矩阵指数函数状态转移矩阵,2.2.1 状态转移矩阵,齐次微分方程(1)的自由解为:,或,该式反应了状态矢量由初始状态到任意时刻的矢量变换关系,反应了 状态矢量在空间随时间转移的规律,因此称为状态转移矩阵。,2.2 矩阵指数函数状态转移矩阵,注:状态矩阵一般不是常数,而是

3、时间的函数起始矢量可以任意取,系统求解区间可任意选定状态空间法的优点,满足初始状态 的解是:,满足初始状态 的解是:,令: 则有:,2.性质二,3.性质三,1性质一,这就是组合性质,它意味着从 转移到0,再从0转移到 的组合。,2.2.2 状态转移矩阵(矩阵指数函数)的基本性质,注:本性质可用于判断矩阵是否符合状态转移矩阵的条件,这个性质说明, 矩阵与A矩阵是可以交换的。 注:本性质还表明,由状态转移矩阵 可反推A!,5.性质五,对于 方阵A和B,当且仅当AB=BA时,有 而当ABBA是,则,这个性质说明,除非距阵A与B是可交换的,它们各目的矩阵指数函 数之积与其和的矩阵指数函数不等价。这与标

4、量指数函数的性质是不同的。,4.性质四,1若 A 为对角线矩阵,即,(5),2.若 A 能够通过非奇异变换予以对角线化,即,2.2.3 几个特殊的矩阵指数函数,3.若 A 为约旦矩阵,则,(8),4.若,(9),1.根据 的定义直接计算,2.变换 A 为约旦标准型,(1)A 特征根互异,其中 T 是使 A 变换为对角线矩阵的变换阵。由式(7),有:,2.2.4 的计算,编程,用计算机算,最终能得到收敛解。但很难得到解析解。例2-1,3.利用拉氏反变换法求,(10),证明 齐次微分方程,两边取拉氏变换,即,故,4.应用凯莱哈密顿定理求,对上式两边取拉氏反变换,从而得到齐次微分方程的解:,(1)由

5、凯莱哈密顿定理,方阵A满足其自身的特征方程,即,所以有,同理,以此类推, 都可用 线性表示。,(2)在 定义中,用上面的方法可以消去 A 的 n及 n以上的幂次项, 即,(11),(3) 的计算公式,A的特征值互异时,则,证明 根据A满足其自身特征方程的定理,可知特征值 和 A 是 可以互换的,因此, 也必须满足式(11),从而有:,(12),上式对 求解,即得式(12)。,A 的特征值均相同,为 时,则,证明 同上,有:,(13),上式对 ,求异数,有:,再对 求异数,有:,重复以上步骤,最后有:,由上面的n个方程,对 求解,记得公式(13)。,2)用标准型法求解,特征值互异 ,转化成对角标

6、准型,且A为友矩阵,特征值:,例2-1,2-2,2-4:求以下矩阵A的状态转移矩阵,解:1)直接算法(略),3)用拉氏变换法求解,例2-6,利用凯莱-哈密顿定理 -自学! 例2-3与例2-7也请注意自学!,2.3 线性定常系统非齐次方程的解,现在讨论线性定常系统在控制作用 作用下的强制运动。此时状态方程为非齐次矩阵微分方程:,当初始时刻 初始状态 时,其解为:,式中, 。,(1),(2),当初始时刻为 ,初始状态为 时,其解为:,式中, 。,(3),证明 采用类似标量微分方程求解的方法,将式(1)写成:,等式两边同左乘 ,得:,对式(4)在 上间积分,有:,整理后可得式(2):,同理,若对式(

7、4)在 上积分,即可证明式(3)。,式(2)也可从拉氏变换法求得,对式(1)进行拉氏变换,有:,即,上式左乘 ,得:,(5),注意式(5)等式右边第二项,其中:,两个拉氏变换函数的积是一个卷积的拉氏变换,即,以此代入式(5),并取拉氏反变换,即得 :,在特定控制作用下,如脉冲函数、阶跃函数和斜坡函数的激励下,则 系统的解式(2)可以简化为以下公式:,1.脉冲响应,即当 时,2.阶跃响应,即当 时,3.斜坡响应,即当 时,(6),(7),(8),例2-8 要求掌握!,例2-8:已知系统状态方程中 试求解该系统的单位阶跃响应。,解法一:积分法,例2-8:已知系统状态方程中 试求解该系统的单位阶跃响

8、应。,解法二:拉氏变换法,2.4 * 线性时变系统的解,2.4.1 时变系统状态方程解的特点,为了讨论时变系统状态方程的求解方法,现在先讨论一个标量时变系统:,采用分离变量法,将上式写成:,对上式两边积分得:,(1),因此,(2),或者写成:,仿照定常系统齐次状态方程的求解公式,式(2)中的 也可以表示为状态转移矩阵,不过这时状态转移矩阵不仅是时间t 的函数, 而且也是初始时刻t。的函数。故采用符号 来表示这个二元函数:,(3),能否将式(3)这个关系式也推广到矢量方程:,遗憾的是,只有当 满足乘法可交换条件,上述关系才能成立。现证明如下:,如果 是齐次方程的解,那么 必须满足:,(6),把

9、展开成幂级数:,上式两边对时间取导数:,(7),(8),(9),把式(7)两边左乘 有:,比较式(8)和式(9),可以看出,要使,成立,其必要和充分条件是:,(10),即 是乘法可交换的。但是,这个条件是很苛刻的 一般是不成立的。从而时变系统的自由解,通常不能像定常系统那样写 成一个封闭形式。,2.4.2 线性时变齐次矩阵微分方程的解,尽管线性时变系统的自由解不能像定常系统那样写成一个封闭的解 析形式,但仍然能表示为状态转移的形式。对于齐次矩阵微方程:,(11),式中, 类似于前述线性定常系统中的 ,它 也是 非奇异方阵,并满足如下的矩阵微分方程和初始条件:,证明 将解式(12)代入式(11)

10、,有,即,又在解式(12)中令 ,有:,即,这就证明了,满足式(13)、式(14)的 ,按式(12)所求得的 是齐次微分方程(11)的解。,2.4.3 状态转移矩阵 基本性质,与线性定常系统的转移矩阵类似,同样有:,因为:,且,故式(15)成立。,2) ,见式(14)。,因为从式(14)和式(15)可得:,或,那么无论右乘 ,或左乘 ,式(16)都成立,故 是非奇异阵,其逆存在,且等于 。,在这里, 一般是不能交换的。,2.4.4 线性时变系统非齐次状态方程式的解,线性时变系统的非齐次状态方程为:,且 的元素在时间区间 内分段连续,则其解为:,(17),(18),证明 线性系统满足叠加原理,故

11、可将式(17)的解看成由初始状态 的转移和控制作用激励的状态 的转移两部分组成。即,(19),代入式(17),有:,即,可知:,在t。t区间积分,有:,于是,在式(19)中令 ,并注意到中 ,可知 ,这样由上式即可得到式(18)。,2.4.5 状态转移矩阵的计算,因为 A 是常数矩阵,所以上式直接表示为:,在定常系统中,齐次状态方程 的解是:,式中, ,只与 有关。,在时变系统中,齐次状态方程 的解,一般的表示为:,前已证明,只有当 是可交换时,即,(20),才有:,在一般情况下,对于不满足式(20)的时变系统, 的计算,一般采用级数近 似法,即,(21),这个关系式的证明是十分简单的,只需验

12、证它满足式(13)的矩阵方 程和式(14)的起始条件即可。,可知式(21)满足式(13)和式(14)。,2.5* 离散时间系统状态方程的解,2.5.1 递推法,线性定常离散时问控制系统的状态方程为:,这个一阵差分方程 的解为:,或,(1),即,(2),2.5.2 Z 变换法,对于线性定常离散系统的状态方程,也可以来用 Z 变换法来求解。,设定常离散系统的状态方程是:,对上式两端进行 Z 变换,有:,或,所以:,对上式两端取 Z 的反变换,得:,(3),对式2)和式(3)比较,有:,(4),(5),如果要获得采样瞬时之问的状态和输出,只需在此采样周期内,即 在 内,利用连续状态方程解的表达式:,

13、为了突出地表示f的有效期在 ,可以令 (这里01)于是上式变成:,(6),显然,这个公式的形式和离散状态方程是完全一致的,如果使的值在0和1之间变动,那么便可获得采样瞬时之间全部的状态和输出信息。,将式(2)和式(3)比较,有,二者形式上虽有不同,但实际上是完全一样的。,2.6* 连续时间状态空间表达式的离散化,2.6.1 离散化方法,对于连续时间的状态空间表达式:,将其离散化之后则得离散时间状态空问表达式为:,C 和 D 则仍与式(1)中的一样。,(1),(2),2.6.2 近似离散化,在采样周期 T 较小时,一般当其为系统最小时间常数的l/10左右时, 离散化的状态方程可近似表示为:,(5

14、),证明 根据导数的定义:,以此代入 中,得,现讨论 这一段的导数,有:,整理后,即得式(5)。,2.6.3 线性时变系统的离散化,1线性时变系统离散化,设原系统状态空间表达式为:,离散化之后的状态空间表达式为:,仿照时不变系统的证明方法,可以求出上式中的七 , 这里直接写出其结果如下:,(8),(11),(9),(10),式中, 区段内的状态转移矩阵,可以在 附近用泰勒级数展开作近似计算:,(12),考虑到 的下列性质:,将以上诸式代人式(12),并在 T 很小时忽略 T 的二次幂以上的高阶 项,可得 的近似计算式:,(13),据此,按式(11)不难求得 。,也可仿本节中介绍的近似离散化的方法,得近似的计算公式如下:,2离散化时变状态方程的解,(16),(17),式中, 应满足以下条件:,

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