1、滑模变结构控制5.1、引言5.2、滑模变结构控制的理论基础5.3、综合应用举例,第五章,5.1 引言,滑模变结构控制是一种非线性鲁棒控制方法，它主要用于处理建模的不精确性。滑模变结构控制器设计为解决建模不精确情况下保持系统稳定性和一致性提供了系统的方法。,滑模变结构控制理论经历了50余年的发展过程，其发展过程大致分为四个阶段：,1) 1957-1962年，前苏联学者Utkin和Emelyanov研究了二阶系统的分区线性化相平面方法，继电器的滑模运动等，这蕴含着滑模变结构控制的概念；,2) 1962-1970年，此阶段开始针对高阶线性系统进行研究，但仍限于单输入输出系统；,3）1970-1980
2、年，此阶段得出滑模变结构控制对摄动及干扰具有不变性，并给出了充分必要条件；,4）进入20世纪80年代，滑模变结构控制理论的研究进入了新阶段，以微分几何为主要工具的非线性控制思想推动了它的发展。,在应用研究方面，滑模变结构控制已成功地应用于工业机械手、非完整移动机器人系统，水下航空器、电机系统、航天器控制、电力系统等。,5.1 引言,5.2 滑模变结构控制的理论基础,5.2.1 滑模变结构控制的定义,用二阶线性系统的相平面分析方法来说明,为了阐明变结构控制系统的基本概念，考虑下列简单的二阶系统， 设状态反馈为 ，其中 的值可取为 或 ， 。 当 时，系统的微分方程为它是一个线性的二阶微分方程，其
3、相应的特征方程为特征根则为,这个结果表明，在 的前提下，无论 取何值，系统都存在右半平面的特征根，因而系统仍是不稳定的。即 时，相当于负反馈。当0 微分方程有一对共轭复特征值，其实部为正数，相平面坐标原点是不稳定的焦点。,5.2 滑模变结构控制的理论基础,极点分布,奇点,相迹图,中心点,稳定的焦点,稳定的节点,鞍 点,不稳定 的焦点,不稳定 的节点,5.2 滑模变结构控制的理论基础,当 时，系统的微分方程为 其相应的特征方程为 特征根则为即 时，相当于正反馈，系统的特征值为实数且一正一负，相平面的原点是一个鞍点。,5.2 滑模变结构控制的理论基础,可能的解决办法:如果我们能有办法把这条可以收敛
4、到原点的直线以外的所有状态都拉回到这条直线上，那么之后被控对象则可以沿这条直线收敛到原点。变结构控制就是要实现这样的目标。,5.2 滑模变结构控制的理论基础,显然，对应这两种结构，系统均不稳定，仅在 时有收敛到原点的相轨迹，即沿着这一结构的稳定特征向量方向的相轨线。如果我们将上述两种反馈方法按一定规律有机结合起来，则会产生相轨线的变化。选取系统 按下列规律在稳定特征线及x=0上进行切换其中 ， 则直线两侧的轨线都最终落在此直线并收敛到原点，因此相应的系统是渐进稳定的。上述切换线直接由系统的参数 和切换参数 决定，因而当参数 未知或存在扰动时，这种参数方法就显得相当困难。为此，我们再考虑选取切换
5、线为 x=0及 ， ）,5.2 滑模变结构控制的理论基础,s=0两侧的相轨线都引向切换线s=0。因此，状态轨线一旦到达此直线上，就沿着此直线收敛到原点，这种沿s=0滑动至原点的特殊运动称之为滑动模。直线s=0称之为切换线或切换流形（switching manifold），相应的函数称之为切换函数。在滑动模下，系统的运动规律由简单的微分方程 来描述，其解为 。显然，此时方程的阶数比原系统低，而且仅与参数c有关，即不受系统参数变化或干扰的影响，故此时系统具有很强的鲁棒性。,5.2 滑模变结构控制的理论基础,上例中，由于切换参数的取值为 和- ,即给出了两种控制结构，在控制过程中，结构在两者之间变化
6、，故称之为变结构控制系统。这种控制方法称为变结构控制方法。 其基本思想是：首先将从任一点出发的状态轨线通过控制作用拉到某一指定的直线上，然后沿着此直线滑动到原点。因此，这种具有滑动模态运动的控制也称为滑模控制(Sliding Mode Control)。,5.2 滑模变结构控制的理论基础,下面给出变结构控制的定义。有一非线性系统 我们需要确定切换函数向量 s(x)， ，并且寻求变结构控制这里变结构体现在 。从定义中可以看出，设计变构控制的基本步骤，它包括两个相对部分，即寻求切换函数s(x)和寻求 。,5.2 滑模变结构控制的理论基础,5.2.2 变结构控制的特性和特点,1）设计反馈u(x)，限
7、定是变结构的，它能将系统的运动引导到一个超平面S或更一般地一个流形s(x)=0上。选择这样的s(x)，使得其上的运动是渐进稳定的。,2）滑动模相轨迹限制在维数低于原系统的子空间内，对离线分析和算法的在线实现都非常有利。,3）滑动模的原点与控制量的大小无关，仅由对象特性及切换流形决定。,4）在一定条件下，滑动模对于干扰与参数的变化具有不变性，这正是鲁棒性控制要解决的问题。变结构系统的滑动模态具有完全自适应性。这成为变结构系统的最突出的优点。,5.2 滑模变结构控制的理论基础,5) 变结构控制已被用来解决复杂的控制问题。这些问题有：理想运动的跟踪问题，理想模型的跟踪问题，模型跟踪的自适应控制问题，
8、不确定系统的控制问题等等。,6）什么条件下可以确保滑动模态运动的存在以及系统在进入滑动模态运动以后能具有良好的动态特性如渐近稳定等，是变结构控制理论所要研究的主要问题。,5.2 滑模变结构控制的理论基础,最一般的非线性控制系统的数学模型为（5-4） 采用变结构控制，要表述系统的特点，还应补充一个切换函数s(x)，或切换面组：s(y)=0， ， , , 如果采用状态反馈，则s(y)=0应由s(x)=0代替。 设控制量 按下列逻辑在切换流形 上进行切换， （5-5）其中 分别是 的第i个分量； 及 是适当的光滑连续函数。 称为切换函数，一般情况下其维数等于控制向量维数。,5.2 滑模变结构控制的理
9、论基础,5.2.3 变结构控制的数学描述,上述系统与通常的连续反馈控制系统不同，控制量按一定的逻辑进行切换，即系统的结构按一定规律变化。其对应的微分方程右端是不连续的，我们关心此时微分方程的解是否存在及如何描述系统在 =0的运动等问题。许多学者研究了各种类型的具有不连续右端函数的微分方程解的存在唯一性，其中概念上直观的方法由费里波夫（Filipov）给出。下面作一简单介绍。,5.2 滑模变结构控制的理论基础,当系统（5-4）为单输入系统时，控制规律（5-5）变为（5-6）此时系统（5-4）在控制（5-6）的作用下在切换曲线s=0上的运动由下列方程描述， 其中 为滑动模下状态轨线的切向量。设 为
10、梯度向量，若 及 ，则由 可以解得其中 表示向量的内积。则此时系统在切换曲线s=0上的解是唯一存在的。,5.2 滑模变结构控制的理论基础,在多输入多输出情形下，方程（5-4）和方程（5-5）在费里波夫意义下的解可表示为其中 ， ，但目前还没有一般求解 的公式，因此必须寻求其它更实用的方法。,5.2 滑模变结构控制的理论基础,变结构控制的重要问题之一就是要确定滑动模的描述方程。对于一般变结构控制系统，当系统发生滑动模时，其间断点在时间上构成测度不为零的点集，系统状态被限制在切换流形上运动。在此情况下，不能采用衔接的思想求解，滑动模运动方程式需要新的方法来求得，通常采用等效控制方法来确定。,从理论
11、上讲，系统的状态轨线一旦达到切换流形就沿着其运动，即此时系统轨线保持在此切换流形上，称这种滑动模为理想的滑动模。在理想情形，当系统进入滑动模运动后，由于系统的状态轨线保持在其上面，也即满足s(x)=0，从而有 。,5.2 滑模变结构控制的理论基础,1）单输入情况：,先看以下切换函数s（x）的几种主要模型。 （1）线性模型。对象及切换函数都是线性的，其数学表达式为其中A为 阵，b及c为n维向量，我们需要求出向量c及变结构控制使闭环系统全局渐近稳定。因为线性系统已具有比较成熟的理论及综合方法，采用变结构控制这种复杂的非线性控制器，除非有其它方面的巨大优越性，一般是不容易被接受的。,5.2 滑模变结
12、构控制的理论基础,（2）线性对象，二次型切换函数是一特殊的二次型。这种系统的模型，是50年代发展起来的，早期得到了系统的研究。这种形式的切换面，在很多场合仍然被应用，如模型跟踪系统。 （3）非线性对象，线性切换函数,5.2 滑模变结构控制的理论基础,1）多输入情况：多输入的各个控制是以什么方式起到控制作用?,考虑 ，于是系统在此切换流形上应满足下列方程（5-6）如果从方程（5-6）中可以确定或解出u，则由此得到的形式解u就可视为系统（5-4）在切换流形s(x)=0上系统所施加控制的等效或平均作用量。用此形式解作为系统（5-4）右端函数在s=0上的取值，则可以消除描述变结构控制系统（5-4）的微
13、分方程右端函数在s=0上的不确定性。我们把由式（5-6）求出的控制量u称为等效或等价控制量，用记号 表示。,5.2 滑模变结构控制的理论基础,为讨论方便，我们仅讨论下列仿射控制系统（5-7） 其中f, B为适当维数的连续光滑函数。对这类系统由式（5-6）及式（5-7）可以推出（5-8）因此，如果选取的切换函数s(t,x)满足可逆，则由（5-8）可以得到唯一的等效控制量将此控制量代如式（5-7）就得到在理想情形下滑动模应满足的微分方程（5-9）,5.2 滑模变结构控制的理论基础,5.2.5 滑动模的到达条件,2）多变量系统：相当于在切换流形的邻域内非线性系统状态轨线关于切换流形s=0的稳定性。到
14、达条件决定变结构控制律。就是说，在设计变结构控制器时，我们将用到达条件导出变结构控制律的数学表达式。,1）单变量系统：直观上看要使系统轨线在有限时间内到达切换曲线，其切向量必须指向这条切换曲线，也即当s0 时， 。因此，这就是单变量系统实现滑动模的充分条件。,5.2 滑模变结构控制的理论基础,最先提出的到达条件为，当s(x)0 （5-10） 或它的等价表示式（5-11）当这种到达条件成立时，希望于 时从任意状态 出发的相轨线 能于有限时刻到达切换面 s(x)=0。切换函数s(x)应满足以下条件：可微；过原点，即s(0)=0。条件（5-10）中，s(x)表示从x到切换面s(x)=0的距离，s(x
15、)0时x位于s(x)=0的一侧，s(x)0时x位于s(x)=0的另一侧。,5.2 滑模变结构控制的理论基础,由于x取任意值，即x离开切换面可以任意远，故到达条件（5-10）是全局到达条件。但是，这个条件有一个缺点，就是它不能保证有限时刻到达。如当时，到达条件（5-10）满足，但是积分上式后有即不管 取什么值，总有即x将随时间渐近地趋向切换面s(x)=0，而永远不能到达它。,5.2 滑模变结构控制的理论基础,我们很容易对式（5-10）及（5-11）进行修改，避免渐近趋近，如，当s0 （5-10 a） 以及（5-11 a） 这里 是某正数，它可以取的任意小。有了这样的理解后，到达条件仍可写成（5-
16、10）及（5-11）的形式。，当s0，当s0这意味着，在切换面邻域中，运动轨线将于有限时刻到达切换面。但这个邻域多大没有说明，故称之为局部到达条件。这种局部到达条件的意义在于：它是切换面s(x)=0上布满滑动模态的条件，即滑动模态的存在条件。,5.2 滑模变结构控制的理论基础,3）多输入系统：控制u是m维的，当每一控制 有它自己的切换函数 时，共有m个切换函数，或一个切换向量s(x)。,此外还有类似李亚普诺夫函数型的不等式的到达条件：， （5-12）当s是标量时，写出微分，得到这一形式与（4-11）一样。,5.2 滑模变结构控制的理论基础,于是条件（5-10）可推广维，当 ； （5-13） 或
17、记为向量形式，当 （5-14） 此时式（5-12）可表示为， （5-15） 本情况中，（5-14）与（5-15）并不等价，因为故当式（5-15）成立时式（5-14）可以不成立。 从滑动模态的性质来看，条件（5-13）保证每一个切换面都布满滑动模态，而条件（5-15）只能保证 上布满滑动模态。这里 是所有 的交。,5.2 滑模变结构控制的理论基础,结论：（1） ，是 上存在滑动模态的充分条件；（2） ，当 ，是在所有的 上存在滑动模态的充分条件； （3） ， ，是 上存在滑动模态的充分条件；,5.2 滑模变结构控制的理论基础,5.1.6 变结构控制系统的趋近律,变结构控制系统的运动过程是由两部分
18、组成的，即由两个阶段的运动组成。第一阶段是正常运动，它全部位于切换面之外，或有限次穿越切换面；第二阶段是滑动模态，完全位于切换面上的滑动模态区内。,分开看每一段运动的品质均与所选的切换函数s(x)及 控制函数有关。选择 使其接近过程，即正常运动段的品质得到提高，选择s(x)使滑动模态的运动品质得到保证和改善。,5.2 滑模变结构控制的理论基础,理想滑动模态 实际滑动模态,将变结构控制系统中发生的运动过程分为三个部分，以便分别加以考虑。 1)趋近运动。即从任一初始状态于有限时间内到达切换面的运动。这一运动也可称为非滑动模态。 2)滑动模态。其品质对整个运动过程的品质起着重要的影响。可进行极点配置
19、、最优控制等来保证其品质。 3)稳态误差。控制过程会出现抖振现象，,正常运动的品质正是要求此趋近过程良好，比如快速。因此可以提出趋近律的概念和公式，来保证正常运动的品质，可以设计出各种各样的趋近律。各学者提出了各种趋近律。,5.2 滑模变结构控制的理论基础,（1）等速趋近律 （5-16） 趋近速度为 。如果 小，则趋近速度很慢，即正常运动是慢速的，调节过程太慢；反之如果 较大，则到达切换面时，系统具有较大速度，这样将引起大的抖动。故这种最简单的趋近律，虽然将容易地求得控制 ，且其本身也比较简单，但运动的品质有时不够好。（2）指数趋近律 （5-17）当s0时，从 可解出可以看出k充分大时的趋近比按等速规律要快。为了减小抖动，可以减小到达s(x)=0时的速度 ；即增大k，减小 可以加速趋近过程，减小抖动。,5.2 滑模变结构控制的理论基础,（3）幂次趋近律 （5-18）特别地，取 当 时积分得 逐渐减小到零，到达时间为 有限时间到达得到保证。 （4）一般趋近律当 及函数 取不同值时，可以得到以上各种趋近律。对以上趋近律，若s为向量,5.2 滑模变结构控制的理论基础,则 为对角阵：sgn s为向量：k是对角阵： f(s)为向量函数：总之，我们有两种到达条件： (1)对趋近不加刻划的趋近到达： (2)按规定趋近律的趋近到达：,5.2 滑模变结构控制的理论基础,5.3 综合应用举例,
