1、理论力学电子科技大学物理电子学院付传技Email:第五章第五章 分析力学分析力学 分析力学是拉格朗日等人在十八世纪在牛顿力学基础上建立的经典力学的一个体系，因为所用的方法完全是数学分析，称之为分析力学。建立分析力学的目的是为了 用数学方法解决复杂的力学问题，后来的研究发现，分析力学的体系和方法不局限于力学，对物理学的其他领域也非常有用。其原因是将物理规律抽象为数学原理和定理，揭示了物理规律背后更普遍的性质，掌握这些对今后的学习很重要。这一章的重点是拉格朗日方程，哈密顿正则方程和正则变换等，在近代物理中有重要应用。 5.2 虚功原理 5.1 约束与广义坐标 第五章 分析力学 5.3 拉格朗日方程
2、 5.4 小振动 5.5 哈密顿正则方程 5.6 泊松括号和泊松定理 5.9 哈密顿 -雅科比理论 5.7 哈密顿原理 5.8 正则变换 5.10 相积分与角变数 5.11 刘维定理1. 约 束的概念和分 类概念 力学 体系 中存在的限制质点自由运动的条件称为 约束。 5.1 约束与广义坐标 分类 稳定约束不稳定约束不可解约束可解约束（完整约束） 几何约束运动约束（微分约束）可积不可积非完整约束2.广 义 坐 标若 n个质点的体系受 k个几何约束此时，独立坐标数为 3n-k个，它的自由度为 3n-k=s，其位置可用 s个独立参数表示 :这 s个独立参数就叫广义坐标或虚位移 它是所有想象中可能的
3、位移，取决于质点在此刻的位置和约束条件。没有时间变化实位移和虚位移的区别 : 在任意的 t时刻，虚位移可不止一个，在稳定约束条件下，实位移是虚位移中的一个，当对于不稳定约束，它们并不一致。 5.2 虚功原理实位移1.实 位移和虚位移理想约束 ：质点上的所有约束反力的虚功之和为零引入虚位移可以消去这些约束反力受理想约束的力学体系平衡的充要条件是所有主动力的虚功之和等于零。虚功 ：作用在质点上的力 F在任意虚位移中做的功2.理想 约 束3.虚功原理虚功原理的广义坐标表示：虚功原理的广义坐标表示：平衡条件平衡条件 : 广义力广义力由虚功 原理泛函及其变分拉格朗日未定乘数法和约束力1.基本形式的拉格朗日方程达朗伯原理达朗伯 -拉格朗日方程 5.3 拉格朗日方程从 牛顿运动定律出发由于存在约束关系， 不独立，要用广义坐标表示可写为其中而得注意 得到基本形式的拉 格朗日 方程广义力广义动量广义速度2. 保守系的拉格朗日方程对 保守力系基本形式的拉 格朗日 方程成为若 势能 V不包含广义速度，引入拉格朗日函数方程变为因为保守力系的拉格朗日方程，简称拉氏方程。质点在有心力场中的动能和势能3. 循 环积 分一般的，若拉氏函数不显含某一坐标，称这一坐标为循环坐标 。任一循环坐标都对应一个 循环积分 。若拉氏函数不显含4. 能量 积 分即若 力学体系是稳定的以 乘 相加，得
