1、1,多目标规划模型,在现实生活中,决策的目标往往有多个,例如,对企业产品的生产管理,既希望达到高利润,又希望优质和低消耗,还希望减少对环境的污染等.这就是一个多目标决策的问题.又如选购一个好的计算机系统,似乎只有一个目标,但由于要从多方面去反映,要用多个不同的准则来衡量,比如,性能要好,维护要容易,费用要省.这些准则自然构成了多个目标,故也是一个多目标决策问题.一般来说,多目标决策问题有两类.一类是多目标规划问题,其对象是在管理决策过程中求解使多个目标都达到满意结果的最优方案.另一类是多目标优选问题,其对象是在管理决策过程中根据多个目标或多个准则衡量和得出各种备选方案的优先等级与排序.,多目标
2、决策由于考虑的目标多,有些目标之间又彼此有矛盾,这就使多目标问题成为一个复杂而困难的问题.但由于客观实际的需要,多目标决策问题越来越受到重视,因而出现了许多解决此决策问题的方法.一般来说,其基本途径是,把求解多目标问题转化为求解单目标问题.其主要步骤是,先转化为单目标问题,然后利用单目标模型的方法,求出单目标模型的最优解,以此作为多目标问题的解.化多目标问题为单目标问题的方法大致可分为两类,一类是转化为一个单目标问题,另一类是转化为多个单目标问题,关键是如何转化.下面,我们介绍几种主要的转化方法:主要目标法、线性加权和法、字典序法、步骤法。,10.1多目标决策问题的特征,在解决单目标问题时，我
3、们的任务是选择一个或一组变量X，使目标函数f(X)取得最大（或最小）。对于任意两方案所对应的解，只要比较它们相应的目标值，就可以判断谁优谁劣。但在多目标情况下，问题却不那么单纯了。例如，有两个目标f1(X)，f2(X),希望它们都越大越好。下图列出在这两个目标下共有8个解的方案。其中方案1，2，3，4称为劣解，因为它们在两个目标值上都比方案5差，是可以淘汰的解。而方案5，6，7，8是非劣解（或称为有效解，满意解），因为这些解都不能轻易被淘汰掉，它们中间的一个与其余任何一个相比，总有一个指标更优越，而另一个指标却更差。,一、解的特点,二、模型结构多目标决策问题包含有三大要素：目标、方案和决策者。
4、 在多目标决策问题中，目标有多层次的含义。从最高层次来看，目标代表了问题要达到的总目标。如确定最满意的投资项目、选择最满意的食品。从较低层次来看，目标可看成是体现总目标得以实现的各个具体的目标，如投资项目的盈利要大、成本要低、风险要小；目标也可看成衡量总目标得以实现的各个准则，如食品的味道要好，质量要好，花费要少。多目标决策问题中的方案即为决策变量，也称为多目标问题的解。备选方案即决策问题的可行解。在多目标决策中，有些问题的方案是有限的，有些问题 的方案是无限的。方案有其特征或特性，称之为属性。,1、多目标规划问题的模型结构,为决策变量,如对于求极大(max)型，其各种解定义如下： 绝对最优解
5、：若对于任意的X，都有F（X*）F(X) 有效解：若不存在X，使得F（X*） F(X) 弱有效解：若不存在X，使得F（X*)F(X),2、多目标优选问题的模型结构可用效用函数来表示。设方案的效用是目标属性的函数：,并设,且各个方案的效用函数分别为,则多目标优选模型的结构可表示如下：,10.2 多目标规划问题的求解,1、主要目标法在有些多目标决策问题中，各种目标的重要性程度往往不一样。其中一个重要性程度最高和最为关键的目标，称之为主要目标法。其余的目标则称为非主要目标。,例如，在上述多目标问题中，假定f1(X)为主要目标，其余p-1个为非主要目标。这时，希望主要目标达到极大值，并要求其余的目标满
6、足一定的条件，即,例题1 某工厂在一个计划期内生产甲、乙两种产品，各产品都要消耗A，B，C三种不同的资源。每件产品对资源的单位消耗、各种资源的限量以及各产品的单位价格、单位利润和所造成的单位污染如下表。假定产品能全部销售出去，问每期怎样安排生产，才能使利润和产值都最大，且造成的污染最小？,解：问题的多目标模型如下,对于上述模型的三个目标，工厂确定利润最大为主要目标。另两个目标则通过预测预先给定的希望达到的目标值转化为约束条件。经研究，工厂认为总产值至少应达到20000个单位，而污染控制在90个单位以下，即,由主要目标法化为单目标问题,用单纯形法求得其最优解为,2、线性加权和目标规划,在上述目标
7、规划中，假定f1(X),f2(X),fp(X)具有相同的量纲,按照一定的规则分别给fi赋予相同的权系数i，作线性加权和评价函数,则多目标问题化为如下的单目标问题,例如，某公司计划购进一批新卡车，可供选择的卡车有如下4种类型：A1，A2，A3，A4。现考虑6个方案属性：维修期限f1，每100升汽油所跑的里数f2，最大载重吨数f3，价格（万元）f4，可靠性f5，灵敏性f6。这4种型号的卡车分别关于目标属性的指标值fij如下表所示。,首先对不同度量单位和不同数量级的指标值进行标准化处理。先将定性指标定量化：,可靠性和灵敏性都属于效益型指标，其打分如下,按以下公式作无量纲的标准化处理,其中：,变换后的
8、指标值矩阵为：,设权系数向量为W=（0.2,0.1,0.1,0.1,0.2,0.3), 则,故最优方案为选购A3型卡车,3、分层序列法： 1.基本步骤：把(VP)中的p个目标 按其重 要程度排序。依次求单目标规划的最优解。 2. 过程：无妨设其次序为 先求解得最优值 ，记 再解得最优值 ， 依次进行，直到得最优值则 是在分层序列意义下的最优解集合。,3. 性质： ，即在分层序列意义下的最优解是有效解。 证明：反证。设 ，但 ，则必存在 使 即至少有一个j0 ，使 ,由于 ，即 ， 矛盾。得证。 4. 进一步讨论：上述方法过程中，当某个问题(Pj)的解唯一时，则 问题 的求解无意义，因为解都是唯
9、一的。实际求解时，有较宽容意义下的分层序列法：取 为预先给定的宽容值，整个解法同原 方法类似，只是取各约束集合时，分别取为：,4、步骤法（STEM法）这是一种交互方法，其求解过程通过分析者与决策者之间的对话逐步进行，故称步骤法。步骤法的基本思想是，首先需要求出原多目标问题的一组理想解(f1*,f2*,fp*)。实际上，这些解fi*(i=1,2,p)无法同时达到，但可以当作一组理想的最优值。以理想解作为一个标准，可以估计有效解，然后通过对话，不断修改目标值，并把降低要求的目标作为新的约束条件加入原来的约束条件中去重新计算，直到决策者得到满意的解。步骤法算法如下： 第一步：分别求解以下p个单目标问
10、题的最优解,得到最优解 ，其相应的目标值 即为 理想值，此最优解处别的目标所取的值用 表示，即 ，把上述计算结果列入下表,在表中，确定每一列的最小值并记第i列的最小值为fip(i=1,2,p),第二步：求解,其中：,这里,（1）,第三步：将上述模型（1）的解X0与相应的目标值f1(X0), f2(X0), ,fp(X0) 交给决策者去判断。决策者把这些目标值与理想值进行比较后，如果认为其中某些目标值太坏，另一些目标值可以不要那么太好，可以把比较好的目标值中的某一个修改得差一些，以使水平太坏的目标得到改善。当决策者减少了第j个目标的值 之后，约束条件S应该改为S*,在进行下一次迭代时，对应于降低
11、了要求的那些目标fj(j=1,2,k)的权系数i应该设为0。这种迭代继续下去，直到决策者满意为止。,例题：某公司考虑生产两种光电太阳能电池：产品甲和产品乙。这种生产过程会在空气中引起放射性污染。因此，公司经理有两个目标：极大化利润与极小化总的放射性污染。已知在一个生产周期内，每单位甲产品的收益是1元，每单位乙产品的收益是3元。而放射性污染的数量，每单位甲产品是1.5个单位,每单位乙产品是1个单位.由于机器能力(小时)、装配能力（人时）和可用的原材料（单位）的限制，约束条件是,目标有两个:一是利润最大,二是污染最小.该问题的多目标规划模型如下:,解:首先,分别求解两个单目标问题的最优解,由它们得
12、到的目标函数值组成理想解.,由此,构造支付表,由此计算两个目标与理想值偏离的权重,解下列线性规划问题:,由此求得,分析者把计算结果交给决策者,决策者将目标值与理想值(21.192,-7.064)与理想值(46,0)比较,如果认为f2是满意的,但利润太低,并认为污染可接受到10个单位.于是,约束集修改成,进行下一轮迭代.首先设2=0,并计算得1=1.将模型修改为,由此求得:,决策者把这一结果与前一轮的解及理想值作比较,认为两个目标值都比较满意,则迭代结束.,目标规划模型,线性规划问题都是处理单个目标的情况，但是在现实世界中有许多问题具有多个目标，这些目标的重要性各不相同，往往有不同的量纲，有的目
13、标相互依赖，例如决策者既希望实现利润最大，又希望实现产值最大；有的相互抵触，如决策者既希望充分利用资源，又不希望超越资源限量。而决策者希望在某些限制条件下，依次实现这些目标。这就是目标规划所要解决的问题。当所有的目标函数和约束条件都是线性时，我们称其为线性目标规划问题。在这里我们主要讨论线性目标规划问题。 一、目标规划模型的建立,现在工厂领导要考虑市场等一系列其他因素，提出如下目标： （1）根据市场信息，甲产品的销量有下降的趋势，而乙产品的销量有上升的趋势，故考虑乙产品的产量应大于甲产品的产量。 （2）尽可能充分利用工时，不希望加班。 （3）应尽可能达到并超过计划利润30元。 现在的问题是：在
14、原材料不能超计划使用的前提下，如何安排生产才能使上述目标依次实现？,解：（1）决策变量：仍设每天生产甲、乙两种产品各为x1和x2偏差变量：对于每一目标，我们引进正、负偏差变量。 如对于目标1，设d1-表示乙产品的产量低于甲产品产量的数，d1+表示乙产品的产量高于甲产品产量的数。称它们分别为产量比较的负偏差变量和正偏差变量。则对于目标1，可将它表示为等式约束的形式-x1+x2+ d1- d1+ =0 (目标约束)同样设d2-和d2+分别表示安排生产时，低于可利用工时和高于可利用工时，即加班工时的偏差变量，则对目标2，有3x1+2x2+ d2-d2+ =26对于目标3，设d3-和d3+分别表示安排
15、生产时，低于计划利润30元和高于计划利润30元的偏差变量，有：,4x1+3x2+ d3-d3+ =30（2）约束条件：有资源约束和目标约束资源约束：2x1+3x224目标约束：为上述各目标中得出的约束（3）目标函数：三个目标依次为：minZ1=d1- ，minZ2=d2+d2- ，minZ3=d3-,案例2（提级加新问题） 某公司的员工工资有四级，根据公司的业务发展情况，准备招收部分新员工，并将部分员工的工资提升一级。该公司的员工工资及提级前后的编制表如下，其中提级后编制是计划编制，允许有变化，其中1级员工中有8%要退休。公司领导的目标如下： （1）提级后在职员工的工资总额不超过550千元；
16、（2）各级员工不要超过定编人数； （3）为调动积极性，各级员工的升级面不少于现有人数的18%； （4）总提级面不大于20%，但尽可能多提； （5）4级不足编制人数可录用新工人。,问：应如何拟定一具满意的方案，才能接近上述目标？,解：（1）决策变量：设x1,x2,x3,x4分别表示提升到1，2，3级和新录用的员工数。偏差变量：为各目标的正、负偏差变量。（2）约束条件： 1） 提级后在职员工的工资总额不超过550千元； 8(10-108%+x1)+6(20-x1+x2)+4(40-x2+x3)+3(30-x3+x4)+d1-d1+=550,2）各级员工不要超过定编人数 1级有： 10-10 8%+
17、x1+d2-d2+=102级有： 20-x1+ x2+d3-d3+=223级有： 40-x2+ x3+d4-d4+=524级有： 30-x3+ x4+d5-d5+=30 3）各级员工的升级面不少于现有人数的18% 对2级有： x1+d6-d6+=22 18% 对3级有： x2+d7-d7+=40 18%对4级有： x3+d8-d8+=30 18% 4）总提级面人数不大于20%，但尽可能多提x1+ x2+ x3+d9-d9+=100 20%,（3）目标函数： minZ1=d1+ minZ2=d2+d3+ d4+ d5+ minZ3=d6-+ d7-+ d8- minZ4=d9+ d9-,案例3
18、有三个产地向四个销地供应物资。产地Ai(i=1,2,3)的供应量ai、销地Bj(j=1,2,3,4)的需要量bj、各产销地之间的单位物资运费Cij如表2所示。表中，ai和bj的单位为吨，Cij的单位为元/吨。编制调运方案时要求按照相应的优先级依次考虑下列七个目标： P1：B4是重点保证单位，其需要量应尽可能全部满足； P2：A3向B1提供的物资不少于100吨； P3：每个销地得到的物资数量不少于其需要量的80%；,P4：实际的总运费不超过当不考虑P1至P6各目标时的最小总运费的110%，这里的最小总费用利用第三大题中第2小题求出的结果； P5：因路况原因，尽量避免安排A2的物资运往B4； P6
19、：对B1和B3的供应率要尽可能相同； P7：力求使总运费最省。 试建立该问题的运筹学模型。,解：用表上作业法可求得不考虑P1至P6各目标时的最小运费调运方案，相应的最小运费为2950元,（1）决策变量：设Ai运往Bj的物资为xij吨,（2）约束条件：,产量约束,B4销量要满足,销量80%的限制,供应率尽可能相同,二、目标规划的解法由于目标规划有多个目标，各个目标又有相对不同的重要性，求解时是首先满足重要性权数大的目标，再满足重要性权数次大的目标，所以并不能保证所有的目标都能达到，所求的解也不一定是最优解，而只能求出满意解。,（3）目标函数,求解目标规划的仍用单纯形法，但是与线性规划的单纯形法不
20、同的是，此时检验数行不再是一行，而是变化为一个检验数矩阵。,解 （1）取x3，d1-，d2-，d3-为基变量，建立初始单纯形表,迭代的步骤完全与线性规划的单纯形法一样。 （2）满意解的判定：检验数矩阵的每一列从上至下第一个非零元为负数，则解为满意解。迭代的最优表如下：,因而满意解为：x1=24/5，x2=24/5，d2-=2，d3+=18/5 其中第一、三目标已达到最优，第二个目标未达最优。 目标利润 Z=4x1+3x2=168/5,41,层次分析法,一、层次分析法的基本原理层次分析法，又称AHP(Analytic Hirrarchy Process)方法，是美国运筹学家萨蒂(T.Saaty)
21、提出的一种多目标、多准则的决策分析方法。该方法被广泛应用于工程、经济、军事、政治、外交等领域，解决了诸如系统评价、资源分配、价格预测、项目选择等许多重要问题，是一种定量分析与定性分析相结合的有效方法。用层次分析法作决策分析，首先要把问题层次化。根据问题的性质和要达到的总目标，将问题分解为不同的组成因素，并按照因素间的相互影响以及隶属关系按不同层次聚集组合，形成一个多层次的分析结构模型。最终把系统分析归结为最低层（如决策方案）相对于最高层（总目标）的相对重要性权值的确定或相对优劣次序的排序问题，从而为决策方案的选择提供依据。,层次分析法大体分为六个步骤 1）明确问题：为了运用AHP进行系统分析，
22、首先要对问题有明确的认识，弄清问题范围、所包含的因素及其相互关系、解决问题的目的、是否具有AHP所描述的特征。 2）建立层次结构模型：将问题中所包含的因素划分为不同层次。例如，对于决策问题，通常可以划分为下面几个层次： 最高层：表示解决问题的目的，称为目标层。 中间层：表示采取某种措施或政策实现预定目标的涉及的中间环节，一般又分为策略层、准则层等。 最低层：表示解决问题的措施或方案，称为措施层或方案层。如下图所示。,决策目标,准则1,准则1,准则m,子准则1,子准则2,子准则k,方案1,方案2,方案n,目标层,准则层,子准则层,方案层,3）构造判断矩阵 针对上一层某元素，对每一层次各个元素的相
23、对重要性进行两两比较，并给出判断。这些判断用数值表示出来，写成矩阵形式，即所谓的判断矩阵。,其中bij表示对于Ak而言，Bi对Bj的相对重要性，通常bij取1,2,9及它们的倒数，其含义为：,它们之间的数2，4，6，8及各数的倒数有相应的类似意义。显然，对判断矩阵有,因此，对于n阶判断矩阵，我们仅需对n(n-1)/2个元素给出数值。,4）层次单排序及其一致性检验所谓层次单排序，即把同一层次相应元素对于上一层次某元素相对重要性的排序权值求出来。其方法是计算判 断矩阵A的满足等式 的最大特征值 和 对应的特征向量W，这个特征向量就是单排序权值。,可以证明，对于n阶判断矩阵，其最大特征根 为单 根，
24、且 ， 所对应的特征向量均由正数组成。特别地，当判断矩阵具有完全一致性时，有 ，这里，所谓完全一致性是指对于判断矩阵来说，存在,为检验判断矩阵的一致性，需要计算一致性指标,此外，还需要判断矩阵的平均随机一致性指标RI。对于1至9阶矩阵，RI的值如下表。,在这里，对于1,2阶判断矩阵，RI只是形式上的，因为1，2阶判断矩阵总具有完全一致性，当阶数大于2时，判断矩阵的一致性指标CI与同阶平均随机一致性指标RI之比称谓随机一致性比率，记为CR，CR=CI/RI0.10时，即认为判断矩阵具有满意的一致性，否则就需要调整判断矩阵，使其具有满意的一致性。,5）层次总排序计算同一层次所有元素对于最高层相对重
25、要性的排序权值，称为层次总排序。这一过程是最高层次到最低层次逐层进行的。若上一层次A包含m个元素A1,A2,Am，其层次总排序权值分别为a1,a2,am，下一层次B包含n个元素B1,B2,Bn，它们对于元素Aj的层次单排序权值分别为b1j,b2j,bnj（当Bk与Aj无关系时,bkj=0），此时，层次总排序权值为,6）层次总排序的一致性检验。这一步也是从高到低逐层进行的。如果B层次某些元素对于Aj单排序的一致性指标为CIj，相应的平均随机一致性指标为RIj，则B层次总排序随机一致性比率为,类似地，当CR0.10时，认为层次总排序结果具有满意的一致性，否则需要重新调整判断矩阵的元素取值。,10.
26、5 层次分析法的计算问题层次分析法计算的根本问题是如何计算判断矩阵的最大特征根其对应的特征向量.一般来说,计算判断矩阵最大特征根及其对应特征向量,并不需要追求较高的精确定度.这是因为判断矩阵本身相当的误差范围.应用层次分析法给出的层次中各种元素优先排序权值从本质上来说是表达某种定性的概念.因此,从实用性来看,往往希望使用较为简单的近似算法.下面介绍二种称之为方根法和和积法的近似算法.1、方根法的步骤如下: (1)计算判断矩阵B每一行元素的乘积Mi.,(2)计算Mi的n次方根Vi,(3)对向量V=(V1,V2,Vn)T规一化,即,则W=(W1,W2,Wn)T.即为所求的特征向量,(4)计算判断矩
27、阵的最大特征根,式中(BW)i表示向量BW的第i个分量.,容易证明：当正互反矩阵 为一致性矩阵时，方根法可得到精确的最大特征值与相应的特征向量。,证明：设 为一致性矩阵， 为其最大特征值，为相应的特征向量，且是归一化的。,由于,令,显然，归一化后， 于是用公式,求得的最大特征值为n,例题6 某厂准备购买一台计算机,希望功能强,价格低,维护容易.现有A,B,C三种机型可供选择.其中A的性能较好,价格一般,维护需要一般水平;B的性能最好,价格较贵,维护也只需一般水平;C的性能差,但价格便宜,容易维护.首先构成分析层次,如图,购置一台满意的计算机,功能强,价格低,易维护,C,B,A,对于三个准则(S
28、1,S2,S3)关于目标G的优先顺序,根据讨论,该厂在计算机应用上首先要求功能强,其次要求易维护,再次才是价格低.其判断矩阵如下表,用方根法计算这三个准则关于目标的排序权值如下:,一致性检验结果为:,同样,三个方案对于各个准则的判断矩阵以及运算所得的结果分别见表,对准则S1(功能强)来说:,对准则S2(价格低)来说:,对准则S3(易维护)来说:,层次总排序的结果:,从以上结果可知,B型计算机从综合评价来看是最满意的备选机型.,2、和积法： 步骤： 、求（每列归一化） bij=aij / akj i，j=1，2n 、行求和Mi= bij i= 1，2，n 再归一化：Wi=Mi / Mj i= 1
29、，2，n 、max=(1/n) (AW)i/Wi,例： 1 3 1 3/7 3/7 3/7 M1=9/7 A= 1/3 1 1/3 B= 1/7 1/7 1/7 M2=3/7 1 3 1 3/7 3/7 3/7 M3=9/7Mj=3w2=1/7 Aw=(9/7，3/7，9/7)Tw3=3/7 max=3 显然，当A是一致阵时， max=n，对归一化的w aij=wi/wj, w1=3/7,容易证明：当正互反矩阵 为一致性矩阵时，和积法可得到精确的最大特征值与相应的归一化特征向量。,证明：设 为一致性矩阵， 为其最大特征值，为相应的特征向量，且是归一化的。,由于,A矩阵各列的和，,列向量归一化得
30、：,由于bij与下标j无关，即说明当A为一致性矩阵时，求得的bij对 j=1,2,n都相同，于是 ，同时易知最大特征值是,二、残缺判断与群组决策：1、残缺判断及处理方法：应用AHP进行决策时，每个准则应有一个判断矩阵，需进行 n(n-1)/2 次两两比较 (判断矩阵的上或下三角)。当层次很多，因素复杂时，判断量很大，可能出现某个参与决策的专家对某些判断缺少把握，或不想发表意见，使判断矩阵残缺。, 可接受的残缺判断矩阵若任一残缺元素都可通过已给出的元 素间接获得的残缺判断矩阵。根据一致性的条件：间接获得的元素 指，若aij缺少可由aij=aikakj或更一般地 aij=aik ak k ak k ak j得到。,
