1、1,第一讲 评价相对有效性的DEA模型运筹学的新领域1978年由著名的运筹学家A.Charnes(查恩斯), W.W.Cooper(库伯), 及E.Rhodes(罗兹)首先提出了一个被称为数据包络分析（Data Envelopment analysis, 简称DEA模型）的方法，用于评价相同部门间的相对有效性（因此被称为DEA有效）.他们的第一个模型被命名为C2R模型.从生产函数的角度看,这一模型是用来研究具有多个输入,特别是具有多个输出的“生产部门”同时为“规模有效”与“技术有效”的十分理想且卓有成效的方法.1985年查恩斯,库伯,格拉尼(B.Golany),赛福德(L.Seiford)和斯
2、图茨(J.Stutz)给出另一个模型(称为C2GS2模型),这一模型用来研究生产部门间的“技术有效性”.,2,1987年查恩斯,库伯,魏权龄和黄志明又得到了称为锥比率的数据包络模型C2WH模型。这一模型可用来处理具有过多的输入及输出的情况,而且锥的选取可以体现决策者的“偏好”.灵活地应用这一模型,可以将C2R模型中确定出的DEA有效决策单元进行分类或排队.数据包络分析是运筹学的一个新的研究领域.查恩斯和库伯等人的第一个应用DEA的十分成功的案例,就是评价为弱智儿童开设公立学校项目的效果.在评估中,输出包括“自尊”等无形的指标;输入包括父母的照料和父母的文化程度等,无论哪种指标都有无法与市场价格
3、相比较,也难以轻易定出适当的权重(权系数),这也是DEA的优点之一.DEA的优点吸引众多的应用者,应用范围已扩展到美国军用飞机的飞行,基地维修与保养,以及陆军征兵,城市,银行,3,等方面.目前,这一方法应用的领域在不断地扩大.它也可以用来研究多种方案之间的相对有效性(例如投资项目的评价);研究在决策之前去预测一旦做出决策后它的相对效果如何(例如建立新厂后,新厂相对于已有的一些工厂是否为有效).DEA是对其决策单元（同类型的企业或部门）的投入规模、技术有效性作出评价，即对各同类型的企业投入一定数量的资金、劳动力等资源后，其产出的效益（经济效益和社会效益）作一个相对有效性评价。 为了说明DEA模型
4、的建模思路，我们看下面的例子,4,例1： 某公司有甲、乙、丙三个企业，为评价这几个企业的生产效率，收集到反映其投入（固定资产年净值x1、流动资金x2、职工人数x3）和产出（总产值y1、利税总额y2）的有关数据如下表,由于投入指标和产出指标都不止一个，故通常采用加权的办法来综合投入指标值和产出指标值。,5,对于第一个企业，产出综合值为60u1+12u2,投入综合值4v1+15v2+8v3，其中u1 u2 v1 v2 v3分别为产出与投入的权重系数。,我们定义第一个企业的生产效率为：总产出与总投入的比,即,类似，可知第二、第三个企业的生产效率分别为：,6,我们限定所有的hj值不超过1，即 ，这意味
5、着，若第k个企业hk=1，则该企业相对于其他企业来说生产率最高，或者说这一生产系统是相对有效的，若hk1，那么该企业相对于其他企业来说，生产效率还有待于提高，或者说这一生产系统还不是有效的。,即,因此，建立第一个企业的生产效率最高的优化模型如下：,这是一个分式规划，需要将它化为线性规划才能求解。,7,设,则此分式规划可化为如下的线性规划,其对偶问题为,8,设vi为第i个指标xi的权重，ur为第r个产出yr指标的权重，则第j个企业投入的综合值为 ，产出的综合值为 其生产效率定义为: 于是问题实际上是确定一组最佳的权变量v1,v2,v3和u1,u2，使第j个企业的效率值hj最大。这个最大的效率评价
6、值是该企业相对于其他企业来说不可能更高的相对效率评价值。,我们限定所有的hj值(j=1,2,3)不超过1，即maxhj1。这意味着，若第k个企业hk=1，则该企业相对于其他企业来说生产率最高，或者说这一系统是相对而言有效的；若hk1，那么该企业相对于其他企业来说，生产率还有待于提高，或者说这一生产系统还不是有效的。,9,根据上述分析，可以建立确定任何一个企业（如第3 个企业即丙企业）的相对生产率最优化模型如下：,1、评价决策单元技术和规模综合效率的C2R模型设有n个同类型的企业（也称决策单元），对于每个企业都有m种类型的“输入”（表示该单元对“资源”的消耗）以及p种类型的“输出”（表示该单元在
7、消耗了“资源”之后的产出）。这n个企业及其输入-输出关系如下：,10,每个决策单元的效率评价指数定义为：,j=1,2,n,11,而第j0个决策单元的相对效率优化评价模型为：,上述模型中xij,yrj为已知数（可由历史资料或预测数据得到），vi,ur为变量。模型的含义是以权系数vi,ur为变量，以所有决策单元的效率指标hj为约束，以第j0个决策单元的效率指数为目标。即评价第j0个决策单元的生产效率是否有效，是相对于其他所有决策单元而言的。,12,这是一个分式规划模型，我们必须将它化为线性规划模型才能求解。为此，令,则模型（1）转化为：,（2）,13,（2）,写成向量形式有:,14,其对偶问题为：
8、,（3）,写成向量形式有：,15,设问题（4）的最优解为*，s*-,s*+,*，则有如下结论：,（1）若*=1，则DMUj0为弱DEA有效（总体）。 （2）若*=1，且s*-=0,s*+=0，则DMUj0为DEA有效（总体） （3）令 0=*x0- s*-, 0=y0+ s*+,则为在有效前沿面上的投影，相对于原来的n个DMU是有效（总体）的。,（4）若存在j*(j=1,2,m),使 =1成立，则DMUj0为规模效益不变；若不存在j*(j=1,2,m)，使 =1成立，则 1 DMUj0为规模效益递减。,16,有效解的解释：F(X)=f1(X),f2(X),fn(X) 如对于求极大(max)型，
9、其各种解定义如下： 绝对最优解：若对于任意的X，都有F（X*）F(X) 有效解：若不存在X，使得F（X*） F(X) 弱有效解：若不存在X，使得F（X*)F(X),17,18,P63例28 以1997年全部独立核算企业为对象,对安徽、江西、湖南和湖北四省进行生产水平的比较。投入要素取固定资产净值年平均余额(亿元),流动资金年平均余额及从业人员(万人),产出要素取总产值(亿元)和利税总额(亿元).,19,1. 建立评价湖南省的DEA模型如下,求解结果为:,调整方案为:,20,2、具有非阿基米德无穷小的C2R模型 在评价决策单元是否为DEA有效时,如果利用原线性规划问题,需要判断是否存在最优解 ，
10、 满足,如果利用对偶线性规划,需要判断它的所有最优解都满足,无论是对于线性规划还是对于对偶规划，这都是不容易做到的。因此Charnes 和Cooper引入了非阿基米德无穷小的概念，利用线性规划方法求解。去判断决策单元的DEA有效性。,21,令是非阿基米德无穷小量，它是一个小于任何正数、且大于零的数。考虑带有非阿基米德无穷小的C2R模型：,对偶问题为：,其中,22,5、DEA有效性的经济含义 考虑投入量为 ，产出量为 的某种生产活动。我们的目的是根据所观察到的生产活动（xj,yj),j=1,2,n,去描述生产可能集，特别是根据这些观察数据去确定哪些生产活动是相对有效的。,生产可能集定义为： T=
11、(X,Y)|产出向量Y可以由投入向量X生产出来,因此，生产可能集可确定为：,23,有效性定义：对任何一个决策单元，它达到100%的效率是指：在现有的输入条件下，任何一种输出都无法增加，除非同时降低其他种类的输出；要达到现有的输出，任何一种输入都无法降低，除非同时增加其他种类的输入。一个决策单元达到了100%的效率，该决策单元就是有效的，也就是有效的决策单元。,无效性定义： （1）对任意（X，Y）T，并且 ，均有 （2）对任意（ X，Y）T，并且 ，均有 这就是说，以较多的输入或较少的输出进行生产总是可能的。,24,既是技术有效,也是规模有效,下面我们以单输入单输出的情况来说明DEA有效性的经济
12、含义。首先叙述生产函数的概念。生产函数Y=f(X）表示在生产处于最好的理想状态时，当投入量为X,所能获得的最大输出.因此,生产函数图象上的点(X表示输入,Y表示输出)所对应的决策单元,从生产函数的角度看,是处于“技术有效”的状态.一般来说生产函数的图象如下:,既不是技术有效,也不是规模有效,技术有效,但不是规模有效,25,我们现在来研究在模型C2R之下的DEA有效性的经济含义.检验决策单元j0的DEA有效性,即考虑线性规划问题:,由于 ,即 满足,可以看出,线性规划是表示在生产可能集T内,当产出Y0保持不变的情况下,尽量将投入量X0按同一比例减少.如果投入量X0不能按同一比例减少,即线性规划的
13、最优值=1,在单输入与单输出的情况下,决策单元j0既为技术有效,也为规模有效.反之,如果投入量X0能按同一比例减少,即线性规划的最优值1,在单输入与单输出的情况下,决策单元j0不为技术有效,或不为规模有效.,26,例题: 下面是具有3个决策单元的单输入数据和单输出数据.相应决策单元所对应的点以A,B,C表示,其中点A、C在生产曲线上,点B在生产曲线下方。由3个决策单元所确定的生产可能集T也在图中标出来。,2 4 5,2 1 3.5,输入,输出,A(2,2),B(4,1),C(3,5),Y=Y(X),对于决策点A,它是“技术有效”和“规模有效”,它所对应的C2R模型为,其最优解为:,27,2 4
14、 5,2 1 3.5,输入,输出,A(2,2),B(4,1),C(3,5),Y=Y(X),对于决策点B,它不是“技术有效”,因为点B不在生产函数曲线上,也不是“规模有效”,这是因为它的投资规模太大.,其最优解为:,其对应的C2R模型如下:,由于1,故B点不是DEA有效,由 ,知该部门的规模收益是递减的.,28,2 4 5,2 1 3.5,输入,输出,A(2,2),B(4,1),C(3,5),Y=Y(X),其最优解为:,对于决策点C,因为点C是在生产函数曲线上,它是“技术有效”,但由于它的投资规模太大,所以不是“规模有效”.,其对应的C2R模型如下:,由于1,故C点不是DEA有效,由 ,知该部门
15、的规模收益是递减的.,29,二、评价技术有效性的C2GS2模型 考虑一对线性规划对偶问题：,(P),(D),该模型计算出的DMU效率是纯技术效率，反映DMU的纯技术效率状况，称为纯技术效率。设问题的最优解为*，s*-,s*+,*，则有如下结论：,(1)若*=1，则DMUj0为弱DEA有效（ C2GS2纯技术）。 (2)若*=1，且s*-=0,s*+=0，则DMUj0为DEA有效(C2GS2纯技术)。,30,线性规划(D)的经济解释是:在生产可能集T内,当产出Y0保持不变的情况下,尽量将投入量X0按同一比例减少.如果投入量X0不能按同一比例减少,即线性规划的最优值=1,在单输入与单输出的情况下,
16、决策单元j0既为技术有效.反之,如果投入量X0能按同一比例减少,即线性规划的最优值1,在单输入与单输出的情况下,决策单元j0不为技术有效.,C2GS2模型的经济解释:,(D),在这里之所以与C2R模型的情况不同,是因为生产可能集T的构成不满足“锥性”的公理假设. “锥性”的公理假设:对任意(X,Y)T,及数k0,均有这就是说,若以投入量X的k倍进行输入,那么产出量也以原来产出Y的k倍产出是可能的.,31,具有非阿基米德无穷小的模型为:,(P),(D),32,例题:考虑具有一个输入和一个输出的问题,它们由下表给出:,1 3 4,2 3 1,输入,输出,考察决策单元1,相应的线性规划模型为:,其最
17、优解为:,知决策单元1为DEA有效(C2GS2),33,1 3 4,2 3 1,输入,输出,考察决策单元2,相应的线性规划模型为:,其最优解为:,知决策单元2为DEA有效(C2GS2),34,1 3 4,2 3 1,输入,输出,考察决策单元3,相应的线性规划模型为:,其最优解为:,知决策单元3不为DEA有效(C2GS2),T,(1,2),(3,3),(4,1),35,1 3 4,2 3 1,输入,输出,对于决策单元2,为DEA有效(C2GS2),但却不是DEA(C2R)有效.,其最优解为:,知决策单元2不为DEA有效(C2R),T,(1,2),(3,3),(4,1),T,(1,2),(3,3)
18、,(4,1),其C2R模型为:,36,三、评价第j0决策单元DMU纯规模效率模型为：,（6）,根据DEA的理论，总体效率*、纯技术效率*、纯规模效率s*三个参数之间存在（6）式所述的关系，由（6）可直接计算DMU的纯规模效率。,37,四、具有锥比率的C2WH模型 假设有n个决策单元对应的输入数据和输出数据如下,X,Y,1 2 n,则C2WH模型如下：,38,则C2WH模型如下：,(P),结论:(1)若规划P存在最优解 ,满足,(D),则称决策单元j0为弱DEA有效(C2WH),(2)若规划P存在最优解 ,满足,则称决策单元j0为DEA有效(C2WH),39,使用凸锥去度量决策单元的DEA有效性
19、时,相应的生产可能集为:,其中,若令,则锥比率模型(P)和(D)化为C2R模型,(P),(D),可见C2WH模型是C2R模型的推广.,40,例题:考虑具有二个输入和一个输出的问题,它们由下表给出:,3 3 4 10 1 3 2,1 1 2 1,输入,输出,在使用C2R模型评价时,决策单元1,2,3均为DEA有效(C2R).以决策单元2为例.其C2R模型为:,其最优解为故为DEA有效(C2R),41,我们知道,在使用DEA方法评价部门间的相对有效性时,变量v表示对输入的权系数,它表示各种不同输入之间的相对重要;变量u表示对输出的权系数,表示各种不同输出之间的相对重要性.于是,在C2R模型中的线性
20、规划(P)中的和也具有同样的意义.在求线性规划问题(P)的最优解时,实际上是选取对决策单元j0最为有利的权系数.在很多实际问题中,每项输入(或输出)的重要性是不尽相同的(例如某项生产活动中输入可以是黄金和煤炭的情况).因此,权系数的选取应该满足一定的限制.在上述例子中,决策单元2是DEA有效(C2R)时,表示输入项目1和输入项目2的重要性之比是,如果事先认为第一项输入与第二项输入的重要性之比为,则必须使用C2WH模型,此时,对决策单元2,有:,42,其中,求解结果为,不为DEA有效(C2WH),下面讨论当V,U,K为多面凸锥时的C2WH模型.令,则有,43,AX1 AX2 AXn,By1 By
21、2 BYn,1 2 n,因此,将DEA模型转化为具有 个输入和具有 个输出的DEA问题.,而原始的模型转化为:,(P),(D),因此,适当地选取多面凸锥V和U,以及K=En+,锥比率的模型C2WH相当于将原来的输入-输出数据左乘矩阵A和B之后,新的“输入-输出数据”AX和BY的C2R模型.这种模型对于输入项目或输出项目过多的情况是特别有效的.,44,因为我们可以取A的行数 小于它的列数m,相应的取B的行数 小于它的列数s ,即取,此时的输入数目缩小为 个,输出数目缩小为 个.DEA有效等价于一个具有输入数与输出数之和(m+s)个目标的多目标规划问题的pareto有效解.一般来说,目标函数的个数
22、增多, pareto有效解集合要扩大.因此,过多的输入和输出数目,用C2R模型进行效率评价时,往往会出现绝大多数的决策单元都有是DEA有效.,45,例题:考虑具有二个输入和一个输出的问题,它们由下表给出:,3 3 4 10 1 3 2,1 1 2 1,输入,输出,在使用C2R模型评价时,决策单元1,2,3均为DEA有效(C2R).假如对两种不同类型的输入,它们 重要性不同,可以认为重要性之比为:,则取,46,因此,C2R模型的新的输入-输出数据为:,1 1 2 1,输入,输出,例如,当k2=1时,结果分类如下: (1)当 时,决策单元1、2、3为DEA有效； (2)当 时,决策单元1、3为DEA有效； (3)当 时,决策单元1为DEA有效；,也就是说随着k1的增大,第一种输入比第二种输入越来越重要.因此,如果不断地加强偏好信息,可以将C2R模型中的DEA有效决策单元进行分类或排队.,
