第5章 二维几何变换.ppt
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1、第5章 二维几何变换,基本变换 矩阵表示 其他特殊变换 复合变换 坐标系间的变换 变换的光栅方法,5.1 基本变换,几何变换的定义:改变对象坐标描述的变换称为几何变换,例如改变对象的方向、尺寸和形状。 在坐标系不变的情况下,由形体的几何位置或比例改变等引起的变换,5.1 二维基本变换,基本几何变换的类型 平移 旋转 变比,5.1.1 平移,平移 定义: 对象沿直线运动产生的变换 平移是一种钢体变换 参数:平移向量(Tx, Ty) 公式:x=x+Txy=y+Ty,矩阵表示: 使用列向量表示坐标位置x x tx P= P= T=y y tyP = P + T,5.1.1 2D平移,50,100,5
2、0,100,(-20,20),30,80,70,120,x,y,x,y,2D平移 举例,平移向量,5.1.2 旋转,旋转 定义: 对象沿园弧路径运动产生的变换 参数:旋转角,约定:逆时针为正 旋转点(xr,yr),5.1.2 旋转,针对坐标原点旋转公式:x=x*cos- y*sin y= x*sin+ y*cos,5.1.2 旋转,矩阵表示x x cos -sin P= P= R=y y sin cos P= R P,5.1.2 旋转,5.1.2 旋转,5.1. 2 旋转,针对任意点(Xr,Yr)旋转x= xr(xxr)*cos (yyr)*sin y= yr(xxr)*sin(yyr)*co
3、s 旋转变换的计算效率 改进:若很小cos 1,sin 注意累积误差的控制,旋转是一种钢体变换,x,y,变比 定义: 改变对象尺寸的变换 参数:缩放系数(Sx, Sy), 固定点(Xf,Yf) 公式:针对坐标原点 针对固定参考点(Xf,Yf)x=x*Sx x=Xf+(x-Xf)*Sxy=y*Sy y=Yf+(y-Yf)*Sy,5.1.3 2D 缩放 (变比,比例变换),矩阵表示x x sx 0 P= P= S=y y 0 sy P = S P,5.1.3 2D 缩放 (变比),1,1,缩放变换 (2,1),1,2,x,y,x,y,1,2D缩放 举例,2D缩放讨论,如果|Sx|或|Sy|大于1,
4、则表示图形在X轴方向或Y轴方向放大; 如果|Sx|或|Sy|小于1,则表示图形在X轴方向或Y轴方向缩小; 如果|Sx|=|Sy|,则表示均匀缩放; 如果|Sx|Sy|,则表示差值缩放;(非均匀缩放) 如果|Sx|或|Sy|等于1,则表示图形在X轴方向或Y轴方向不变; 如果Sx或Sy小于零,则表示图形在X轴方向或Y轴方向作镜面变换。,2D缩放讨论,缩放变换后,对象可能被重定位,1,1,缩放变换 (2,1),1,2,x,y,x,y,1,5.2 2D变换的矩阵表示,点 (x,y) (x, y, 1)T 2D 图形 3xn 基本变换参数 3x3 2D 图形变换坐标计算: 最终坐标 = 变换矩阵* 原坐
5、标,平移变换 x 1 0 tx xy = 0 1 ty y1 0 0 1 1P=T(tx,ty)*P,2D变换的矩阵表示,旋转变换 x cos - sin 0 xy = sin cos 0 y1 0 0 1 1P=R()*P,2D变换的矩阵表示,变比变换 x sx 0 0 xy = 0 sy 0 y1 0 0 1 1P=S(sx,sy)*P,2D变换的矩阵表示,通用变换方程: x A B C xy = D E F y1 0 0 1 1P=T*P,2D变换的矩阵表示,连接特性 A*B*C = (A*B)*C = A*(B*C)A*B B*A,通用变换矩阵 x rsxx rsxy trsx xy
6、= rsyx rsyy trsy y1 0 0 1 1计算效率,5.3 复合变换,连续平移 连续旋转 连续变比 针对任意点的变换 针对任意方向的变换 实现,5.3.1 连续平移,(tx1,ty1),(tx2,ty2),. (txn,tyn)P = T(txn,tyn)*.* T(tx2,ty2) * T (tx1,ty1 )* PT(tx2,ty2)*T(tx1,ty1)=T(tx1+tx2, ty1+ty2),5.3.2 连续旋转,(1), (2), (n) P = R(n)* .* R(2) * R(1) * PR(2)*R(1) = R(1+2),5.3.3 连续变比,(sx1,sy1)
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