1、第八章 欧氏空间,8.1 向量的内积 8.2 正交基 8.3 正交变换 8.4 对称变换和对称矩阵,课外学习9：实现正交化过程的新方法,惠州学院数学系,在几何学中（编者按:在数学中），没有专门为国王设置的捷径。 -欧几里德(Euclid ,约前325 - 约前265),惠州学院数学系,8.1 向量的内积,一、内容分布 8.1.1向量的内积、欧氏空间的定义 8.1.2向量的长度、两非零向量的夹角 8.1.3两向量正交、正交向量组的定义、性质 二、教学目的： 1准确理解并掌握以下概念及其基本性质：向量的内积、欧氏空间、向量的长度、单位向量、两非零向量的夹角、两向量正交、两向量的距离 2掌握常见的几
2、种欧氏空间；会用向量的内积及欧氏空间的定义判断向量与的内积，以及向量空间关于这个内积构成欧氏空间 3掌握,及其它不等式，并会用它来证明另,三、重点难点： 1.准确理解并掌握向量的内积、欧氏空间及两向量正交的概念;,2.不等式,的灵活运用.,一些不等式,惠州学院数学系,8.1.1向量的内积、欧氏空间的定义,1),2),3),惠州学院数学系,惠州学院数学系,惠州学院数学系,惠州学院数学系,8.1.2 向量的长度、两非零向量的夹角,惠州学院数学系,惠州学院数学系,注：一个实数a与一个向量的乘积的长度等于a的绝对值与的长度的乘积.,(7),(7)式称为柯西(Cauchy)不等式.,惠州学院数学系,(8
3、),(8)式称为施瓦兹(Schwarz)不等式.,（7）和（8）在欧氏空间的不等式（6）里被 统一 起来. 因此通常把(6)式称为柯西-施瓦兹 不等式.,惠州学院数学系,惠州学院数学系,8.1.3 向量的正交,惠州学院数学系,惠州学院数学系,8.2 正交基,一、内容分布 8.2.1正交组的定义、性质 8.2.2标准正交基的定义、性质及存在性 8.2.3子空间的正交补 8.2.4正交矩阵的概念 8.2.5 n维欧氏空间同构的概念及判别 二、教学目的： 1准确理解和掌握正交向量组、n维欧氏空间的标准正交基等概念及基本性质 2能熟练运用施密特正交化方法，由一个线性无关向量组求出一个标准正交向量组 3
4、能掌握一个向量与一个非空子集正交、子空间的正交补的概念及基本性质，并会求某些子空间的正交补 4掌握正交矩阵的概念及其与标准正交基的关系 5掌握n维欧氏空间同构的概念及基本理论 三、重点难点：正交向量组、n维欧氏空间的标准正交基等概念; 子空间的正交补的概念及基本性质;施密特正交化方法,惠州学院数学系,8.2.1正交组的定义、性质,定义1 欧氏空间V的一组两两正交的非零向量叫做V的一个正交组,如果一个正交组的每一个向量都是单位向量, 这个正交组就叫做一个标准正交组.,1正交组的定义,惠州学院数学系,惠州学院数学系,事实上，我们有,惠州学院数学系,把（1）中每一向量除以它长度，我们就得 C0，2的
5、一个标准正交组,惠州学院数学系,2正交组的性质,惠州学院数学系,8.2.2标准正交基的定义、性质及存在性,1标准正交基的定义,惠州学院数学系,惠州学院数学系,（3）,其次，令,惠州学院数学系,2标准正交基的性质,惠州学院数学系,取,因而,惠州学院数学系,3标准正交基的存在性,惠州学院数学系,惠州学院数学系,取,得,惠州学院数学系,所以,定理得证。,惠州学院数学系,定理8.2.3 任意n（n 0）维欧氏空间 一定有正交基，因而有标准正交基.,惠州学院数学系,第二步，先取,然后令,惠州学院数学系,第三步，取,再令,惠州学院数学系,惠州学院数学系,8.2.3 子空间的正交补,1. 向量与一个非空子集
6、正交,惠州学院数学系,惠州学院数学系,惠州学院数学系,定理8.2.5 设W 是欧氏空间V 的一个有限维子空间，是V 的任意向量，是在W 上的正射影，那么对于W 中任意向量， 都有,惠州学院数学系,于是,所以,即,我们也把向量在子空间W上的正射影叫做W到的最佳逼近。,惠州学院数学系,惠州学院数学系,惠州学院数学系,惠州学院数学系,惠州学院数学系,叫做f (x)的富利叶系数.,惠州学院数学系,8.2.4 正交矩阵的概念,定理8.2.6 n 维欧氏空间一个标准正交基到另 一标准正交基的过渡矩阵是一个正交矩阵.,惠州学院数学系,惠州学院数学系,8.2.5 n维欧氏空间同构的概念及判别,1n维欧氏空间同
7、构的定义,惠州学院数学系,2n维欧氏空间同构的概念及判别,定理8.2.7 两个有限维欧氏空间同构的充分且 必要条件是它们的维数相等.,思考题,惠州学院数学系,8.3 正交变换,一、内容分布,8.3.2 正交变换的等价条件,8.3.1 正交变换的定义,1掌握并会用正交变换的概念及几个等价条件,3掌握并会用正交矩阵的某些性质,二、教学目的：,2掌握,的正交变换的全部类型,三、重点难点：正交变换的概念及几个等价条件,惠州学院数学系,8.3.1 正交变换的定义,惠州学院数学系,例3 欧氏空间V的一个线性变换是正交变换的充要条件是使任意两个向量的距离保持不变,即对一切, 都有.,惠州学院数学系,8.3.
8、2 正交变换的等价条件,定理8.3.1 欧氏空间V 的一个线性变换是正交变换的充分且必要条件是：对于V 中任意向量 ， .,证明 条件的充分性是明显的. 因为（1）中 取=，就得到 ，从而 .反过来，设是一个正交变换，那么对于, V，我们有,惠州学院数学系,然而,由于,比较上面两个等式就得到：,惠州学院数学系,定理8.3.2 设V 是一个n维欧氏空间，是V 的一个线性变换，如果是正交变换，那么把V 的任意一个标准正交基仍旧变成V 的一个标准正交基；反过来，如果把V 的某一标准正交基仍旧变成V的一个标准正交基，那么是V 的一个正交变换.,定理8.3.3 n 维欧氏空间V的一个正交变换关于V的任意
9、标准正交基的矩阵是一个正交矩阵；反过来，如果V的一个线性变换关于某一标准正交基的矩阵是正交矩阵，那么是一个正交变换.,惠州学院数学系,例6 将 的每一向量旋转一个角的正交变换（参看例1）关于 的任意标准正交基的矩阵是,惠州学院数学系,惠州学院数学系,设是 的一个正交变换，关于 的一个规范正交基 的矩阵是,由第一个等式，存在一个角，使 a = cos ，c = sin,惠州学院数学系,由于 cos = cos()， sin = sin（） 因此可以令 a = cos ，c = sin 这里 =或 . 同理，由（4）的第二个等式，存在一个角使 b = cos，d = sin 将a, b, c, d
10、代入（4）的第三个等式得 Coscos + sinsin = 0 或 cos(+) = 0,惠州学院数学系,最后等式表明， 是/ 2的一个奇数倍. 由此 得,所以,或,惠州学院数学系,在前一情形中，是将 的每一向量旋转角的旋转；,这样， 的正交变换或者是一个旋转，或者是关于一条过原点的直线的反射.,如果是后一情形，我们可以取这条直线上一个单位向量 和垂直于这条直线的一个单位向量 作为 的一个规范正交基.,惠州学院数学系,而关于基 的矩阵有形状,现在设是 的一个正交变换. 的特征多项式是一个实系数三次多项式，因而至少有一个实根r . 令 是的属于本征值r 的一个本征向量，并且 是一个单位向量.
11、再添加单位向量 使 是的一个规范正交基，那么关于这个基的矩阵有形状,惠州学院数学系,由于U 是正交矩阵，我们有,于是,由U的正交性推出，矩阵,是一个二阶正交矩阵.,惠州学院数学系,由上面的讨论，存在一个解使,在前一情形：,在后一情形，根据对 的正交变换的讨论，我们可以取 的一个规范正交基 使关于这个基的矩阵是,惠州学院数学系,如果在T中左上角的元素是1，那么重新排列基向量，关于 的矩阵是,如果左上角的元素是 1 ，那么关于基 的矩阵是,惠州学院数学系,这样， 的任意正交变换关于某一正交基 的矩阵是下列的三种类型之一：,在第一种情形,是绕通过 的直线 的一个旋转；在第二种情形,是对于平面 的反射
12、；第三种情形,是前两种变换的合成.,惠州学院数学系,思考题 设 是欧氏空间V的一个标准正交基,试求正交变换,使适合,惠州学院数学系,8.4 对称变换和对称矩阵,一、内容分布8.4.1 对称变换的定义8.4.2 对称变换和对称矩阵之间的关系 8.4.3 对称变换的性质 二、教学目的：1掌握对称变换的概念，能够运用对称变换和对称矩阵之间的关系解题 2掌握对称变换的特征根、特征向量的性质3对一个实对称矩阵，能熟练地找到正交矩阵，使 为对角形 三、重点难点： 1.对称变换和对称矩阵之间的关系;对称变换的特征根、特征向量的性质; 2.对实对称矩阵，能熟练地找到正交矩阵，使 为对角形,惠州学院数学系,8.
13、4.1 对称变换的定义,定义1 设是欧氏空间V的一个线性变换，如果对于V中的任意向量 ，等式成立，那么就称是一个对称变换.,例1 以下 的线性变换中,指出哪些是对称变换?,惠州学院数学系,8.4.2 对称变换和对称矩阵之间的关系,定理8.4.2 设是n维欧氏空间V的一个对称变换，如果关于一个标准正交基的矩阵是对称矩阵，那么是一个对称变换.,证 设关于V的一个规范正交基 的矩阵 是对称的，令 是V的任意向量。那么,惠州学院数学系,同样的计算可得,因为,所以,即是一个对称变换。,惠州学院数学系,8.4.3 对称变换的性质,定理8.4.3 实对称矩阵的特征根都是实数.,证 设 是一个n 阶实对称矩阵
14、.令是A 在复数域内一个特征根。于是存在不全为零的复数 使得,（2）,惠州学院数学系,等式（3）两端取轭复数，注意 是实数。得,（4）,惠州学院数学系,又因为 且等式（3）与等式（4）左端相等，因此,而 不全为零，所以 是一个正实数，所以 ，是实数。,惠州学院数学系,定理8.4.4 n 维欧氏空间的一个对称变换的属于不同特征根的特征向量彼此正交.,证 设是n维欧氏空间的一个对称变换，是的本征值，且 。令和分别是属于和的本征向量： （）= ，（）= 我们有 = = = = = 因为 , 所以必须 = 0.,惠州学院数学系,定理8.4.5 设是n维欧氏空间V的一个对称变换，那么存在V的一个标准正交
15、基，使得关于这个基的矩阵是对角形式.,定理8.4.6 设A是一个n阶实对称矩阵，那么存在一个n阶正交矩阵U，使得 是对角形.,惠州学院数学系,为了求出U,我们可以用以下方法.首先由于U是正交矩阵,所以因此 与A相似.于是可以利用7.6所给的步骤求出一个可逆矩阵T,使得 是对角形式,这样求出的矩阵T一般来说还不是正交矩阵,然而注意到T的列向量都是A的特征向量,A的属于不同特征根的特征向量彼此正交,因此只要再对T中属于A的同一特征根的列向量施行正交化手续,就得到 的一个规范正交组,以这样的规范正交组作列,就得到一个满足要求的正交矩阵U.,惠州学院数学系,惠州学院数学系,再 把正交化，得,惠州学院数学系,第三步，以 为列，作一个矩阵,惠州学院数学系,那么U是正交矩阵，并且,例3 设是n维欧氏氏空间V的一个线性变换,证明: 为对称变换的充分必要条件是有n个两两正交的特征向量.,
