1、工程硕士（ GCT）数学模拟试卷 82及答案与解析 一、选择题（ 25题，每小题 4分，共 100分） 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 1 如果一组数据 5,-2,0,6,4,x的平均数为 3，那么 x等于 ( ) （ A） 3 （ B） 4 （ C） 5 （ D） 6 2 计算 (2+1)(22+1)(24+1)(2 64+1)+1=( ) （ A） 2128-1 （ B） 2128 （ C） 2128+1 （ D） 2128+2 3 若实数 a,b满足 |a+b| |a-b|，则 ( ) （ A） a b 0 （ B） b 0 a （ C） 0 b a （ D） ab
2、 0 4 从甲地到乙地，水路比公路近 40km上午 10点，一艘轮船从甲地驶往乙地，下午 1点，一辆汽车从甲地开往乙地，最后船、车同时到达乙地若汽车速度是40km/h，轮船速度是汽车的 ，则甲、乙两地的公路长是 ( ) （ A） 260km （ B） 280km （ C） 300km （ D） 320km 5 如图，将边长分别为 的正方形纸片从左到右顺次摆放，其对应的正方形的中心依次为 A1,A2,A3， 若摆放前 n(n2)个正方形纸片，则图 中被遮盖的线段 (虚线部分 )长度之和为 ( )。 6 某篮球联赛总决赛在甲、乙两队之间进行，比赛采用五局三胜制已知在每场比赛中甲队获胜的概率都是 ，
3、那么甲队以 3:1获胜的概率是( ) 7 若 x3+p2x2+2px+1被 x+1整除，则 p的值是 ( ) （ A） 0 （ B） 1 （ C） 2 （ D） 0或 2 8 下列函数中，既是奇函数又在 -1,1上单调递减的是( ) 9 已知数列 ln(an-1)是等差数列，且 a1=3， a2=5，则( ) 10 11 12 在坐标 平面内，与点 A(-1,2)距离为 ，且与点 B(4,-3)距离为 的直线共有( ) （ A） 1条 （ B） 2条 （ C） 3条 （ D） 4条 13 13.14 如题 14图所示， A是半径为 1的圆 O外的一点， OA=2， AB是圆 O的切线， B是切
4、点，弦 BC OA，连接 AC则阴影部分的面积等于 ( ) 15 平面中 4个点 P1,P2,P3,P4，在某个球面上，且 P1P2=P2P3=P3P4=P4P1=3，已知球心到该平面的距离是该球半径的一半，则该球的体积是( ) 16 设 f(x)在 x=0处可导 ， ，则 f(0)=( ) （ A） -1 （ B） 0 （ C） 1 （ D） 2 17 18 对任意实数 x，恒有( ) 19 设 ，则 f(x)的极值点的个数是 ( ) （ A） 0 （ B） 1 （ C） 2 （ D） 3 20 在下列定积分中，积分值等于零的是( ) 21 如下图所示，连续函数 y=f(x)在 -,)上的图
5、形是 sinx的图形，在 -2,-)和 ,2上的图形是底边长为 ，高为 ，则下列结论正确的是( ) 22 设三阶矩阵 ，三阶矩阵 B满足 BA=B+2E3，则 |B|=( ) （ A） -6 （ B） -4 （ C） 4 （ D） 8 23 设 1=(1,2,-1,2)T， 2=(2,0,0)T， 3=(1,-2,4,)T，则 3是向量组 123线性无关的 ( ) （ A）充分而非必要条件 （ B）必要而非充分条件 （ C）充分必要条件 （ D）既非充分也非必要条件 24 三元线性方程组 Ax=6的系数矩阵 A的秩 r(A)=2，且 x1=(4,1,-2)T， x2=(2,2,-1)T， x3
6、 =(0,3,a)T均为 Ax=b的解向量，则 A=( ) （ A） -1 （ B） 0 （ C） 1 （ D） 2 25 设 A是三阶不可逆矩阵， ,是线性无关的两个三维列向量，且满足 A=，A=，则 ( ) 工程硕士（ GCT）数学模拟试卷 82答案与解析 一、选择题（ 25题，每小题 4分，共 100分） 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 1 【正确答案】 C 【试题解析】 由 ，可得 x=5 故应选 C 2 【正确答案】 B 【试题解析】 (2+1)(22+1)(24+1)(2 64+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(2 64+1)=(24-1)(24+1
7、)(2 64+1)=2 128-1。 可得 (2+1)(22+1)(2 64+1)=2128-1， (2+1)(22+1)(2 641)+1=2128 故应选 B 3 【正确答案】 D 【试题解析】 由 |a+b| |a-b|，可知 (a+b)2 (a-b)2， a2+2ab+b2 a2-2ab+b2，即 ab 0 故应选 D 4 【正确答案】 B 【试题解析】 设甲、乙两地的公路长是 x(km)，则水路长为 x-40(km)汽车以40(km/h)的速度从甲地到乙地需用依题意，可知 求得 x=280(km) 故应选 B 5 【正确答案】 B 【试题解析】 根据对称性，后一个正方形遮盖的线段长恰
8、好是前一个正方形周长的 ，即其边长摆放前 n个正方形纸片所遮盖的线段长度之和为 故选 B 6 【正确答案】 C 【试题解析】 甲队以 3:1获胜的情形是：共比 4局，第 4局甲队胜，且在前 3局中甲队只输掉第 1局、第 2局或第 3局 第 4局甲胜，前 3局中甲输掉任一局的概率是 因而所求概率 故应选 C 7 【正确答案】 D 【试题解析】 设 f(x)=x3+p2x2+2px+1，它能被 x+1整除，即 f(x)含有因子 x+1，f(x)=(x+1)(x2+bx+c)由 f(-1)=0得 -1+p2-2p+1=0，即 p2-2p=0，解出 p=0或 p=2，故选 D 8 【正确答案】 D 【
9、试题解析】 先考查奇函数的条件，熟知 A项为奇函数， B项非奇非偶函数，而C项为偶函数最后看 D项： 所以为奇函数的有 A项和 D项 9 【正确答案】 B 【试题解析】 数列的公差 d=ln(a2-1)-ln(a1-1)=ln4-ln2=ln2 数列的通项 ln(an-1)=ln(a2-1)+(n-1)d =ln2+(n-1)ln2=nln2 所以有 a2=1+22， an+1-an=2n+1+1-(2n+1)=2n， 当 n 时其极限为 1故选 B 10 【正确答案】 C 【试题解析】 把原式改写就可以用平均值定理： 11 【正确答案】 A 【试题解析】 利用三角函数诱导公式及倍角公式得 故
10、选 A 12 【正确答案】 C 【试题解析】 即两圆半径之和所以两圆相切于点 (1,0)，在该点有一条两圆的内公切线 l1通过两圆还有两条外公切线 l2和 l3这三条 切线都是满足题设条件的直线，而且没有其他直线满足题设条件故选 C 13 【正确答案】 B 【试题解析】 14 【正确答案】 B 【试题解析】 15 【正确答案】 D 【试题解析】 由题意可知平面截球面截线为一圆，点几， P1,P2,P3,P4在此圆上，由题意，故四边形 P1P2P3P4为该圆的内接正方形设其中心点为 C(如题 15图所示 )，由球心 O引该平面的垂线，它与该平面的交点必为正方形的中心 C点即|OC|为球心到该平面
11、的距离 16 【正确答案】 A 【试题解析】 因 f(x)在 x=0处可导，所以 f(x)在 x=0处连续，因此 17 【正确答案】 B 【试题解析】 因 f(x)在 x0处是连续函数，只需考虑在 x=0处的情形 18 【正确答案】 C 【试题解析】 取 x=1代入 A和 D中，分别得出错误结论 ，因此不选A和 D。 取 x=-1代入 B中，得出错误结论 e0，因此不选 B；由排除法，选 C。 事实上可以证明 C是正确的设 f(x)=e-x-1+x， x (-,+) 令 f(x)=-e-x+1=0，得x=0而 f(x)=e-x，故 f(0)=1 0所以 x=0是惟一的极小值点，因此也是最小值点
12、最小值为 f(0)=0，于是对一切 x，有 f(x)=ex-1+xf(0)=0，故选 C 19 【正确答案】 B 【试题解析】 令 f(x)=xsup3(x-1)sup2=0，得 x=0和 x=1 f(x)在x=0两侧的符号改变，在 x=1两侧符号没有改变，因此 x=0是 f(x)的极值点但x=1不是 f(x)的极值点，故应选 B 20 【正确答案】 C 【试题解析】 故正确选项为 C 注 本题解答中运用了下面的性质： (1) 若 f(x)是连续函数，则 21 【正确答案】 C 【试题解析】 22 【正确答案】 C 【试题解析】 此题是通过矩阵运算和行列式乘法公式求解由题意 BA=B+2E3得
13、到 BA-B=2E3，提取 B，得 B(A-E)=2E两边取行列式： 因此正确的答案是 C 23 【正确答案】 A 【试题解析】 此题是判断带有参数的三个向量的线性无关性只要 r(1,2,3)=3，即有 1,2,3线性无关为避免带参数的矩阵消阶梯形求秩，根据题意先设 a3，如可取 a=1(特殊值 )，则有 从而得 到 r(1,2,3=3说明 a=3时， 1,2,3仍然线性无关，因此 a3不是1,2,3线性无关的必要条件 故正确的选择应为 A 24 【正确答案】 B 【试题解析】 由已知条件 x1,x2,x3均为非齐次线性方程组 Ax=b的解，故 x1-x2,x2-x3为 Ax=b对应的齐次方程
14、组 Ax=0的解又已知 r(A)=2，故三元方程组 Ax=0的基础解系只包括 n-r(A)=3-2=1个解向量故 x1-x2与 x1-x3是线性相关的它们的对应分量应成比例从而能确定系数 a： 由 x1-x2=(2,-1,-1)T, x2-x3=(2,-1,-1-a)T， 得 ，从而 a=0 故正确的选择应为 B 25 【正确答案】 B 【试题解析】 由已知得 A=， A= 由 + 得 A+A=+，即A(+)=1?(+)又已知 ,线性无关，故 +0 所以 1=1是 A的一个特征值 由 - 得 A-A=-，即 A(-)=-1?(-)同理 -0，所以 2=-1是 A的第 2个特征值 又已知 A是不可逆矩阵，故 |A|=0，则 3=0是 A的第 3个特征值 由于三阶矩阵具有 3个不同的特征值 1=1,2=-1,3=0，故 A可对角化，且 故正确的选择应为 B
